数学课程的实践与反思

邵曼

伴随《义务教育数学课程标准（2011年版）》的正式颁行，我国这一课程标准已实施数年，自然也产生了不少有关数学课程的教学实践与教学反思。为此，北京教育学院张丹教授、成都大学张晓霞教授、南京师范大学马复教授、首都师范大学刘晓玫教授、西南大学黄燕苹教授、北京师范大学曹一鸣教授及江苏省教研室李善良教授和其他数学教育工作者一道对1—12年级的数学课程实践进行探讨，总结与提炼我国小学与初高中数学教育的经验，反思存在的问题。

一、1—6年级数学课程的实践与反思

1.关于小学数学课程及教师专业发展

广西师范大学副教授叶蓓蓓开场就谈起她的研究“新中国小学数学课程内容知识量的演变”的动机主要源于她的导师——吕世虎教授的研究，她表示吕教授曾研究过中学数学课程内容知识量成“多少多少”这样的正弦曲线变化，所以她很希望了解小学数学内容的知识量是否也呈现相同的变化趋势。在她的研究中，她尝试回答了这样三个问题，即新中国小学数学课程内容知识量的发展变化、这些发展变化所具有的特点及其对当今小学数学课程内容改革的启示。她选定1952年12月教育部颁布的《小学算术教学大纲（草案）》和《小学珠算教学大纲（草案）》）（简称52大纲，以下用简称）、63大纲、78大纲、86大纲、92大纲，2001年7月教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（简称01标准，以下用简称）、11标准等大纲作为具有代表性的小学大纲，以文献分析的形式形成课程内容知识量分析框架，梳理课程内容知识量的变化情况，思考课程内容知识量的变化对小学数学课程改革的启示。

她表示，沿着其导师吕世虎（2012）的研究思路，在定义了课程内容的“知识领域”、“知识单元”、“知识点”等概念的基础上，可以提出“知识领域”和“知识单元”之间的“知识块”概念，得到小学数学课程内容知识量的分析框架，包括数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等4个知识领域，数与计算、代数初步、量与计算、平面几何、立体几何、统计初步、概率初步、应用题、实践活动等9个知识块以及包括整数的认识在内的21个知识单元。并且，她对代表性的课程大纲（课程标准）进行了系统的内容分析。经过分析，发现1949年至今的小学数学教学大纲（课程标准）已涵盖了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等4个知识领域。除了保持不变的知识单元，如整数的认识、整数的四则运算、分数的认识、分数的四则运算、小数的认识、小数的四则运算、百分数度量单位的认识、度量单位的相互转化、平面几何的认识、平面几何的相关计算、立体几何的认识、立体几何的相关计算、应用题等外，其他知识单元在代表性大纲中的趋向是逐步增加的。另外，在她的研究中，还会发现小学数学课程内容知识点的发展并不按照正弦走向，在63大纲达到顶峰后开始减少，因此，她认为小学数学课程内容知识量的变化在一次剧增、剧减过程后基本上保持稳定，“数与代数”知识领域下的“数与计算”是小学数学课程的主要内容，“数与计算”知识块下的“整数的四则运算”知识单元占据大部分的内容量。“量与计量”是小学数学课程特有的内容，且一直保持着相对稳定的知识量，“平面几何”知识块下的“平面图形的认识”是小学几何知识的主要内容。“应用题”知识块（单元）作为中国小学数学课程的独有内容在历年改革中得到保留，这是因为对课程内容知识量演变的探讨最终还是要回归到教学实践的实际意义上来。鉴于此，她认为在小学数学课程内容的选择上，我们应处理好传统与现代的关系，使内容的现代化与小学生的认知水平相适应，而且小学数学课程内容知识类型的拓展应处理好“陈述性知识”向“过程性知识”的渐进。知识类型的拓展应与小学教师的专业知识水平相适应，在小学数学课程内容知识量的确定方面，应该通过广泛的调查与恰当的试验等多种方式，要结合我国小学数学的实际。

小学数学课程的操作离不开教师的努力，有关教师教学专业性的研究也日益得到关注，香港中文大学讲师张侨平的报告主要围绕小学数学教师教育中的MPCK（数学学科教学知识）研究而展开。他表示，小学学生和教师对待诸如“写一个尽可能大的数”这样的问题的看法会不尽相同，因为这个年龄段的学生很可能是凭借直觉去感知问题的。但是，他强调说，一些学生出于直觉感知而出人意料的做法往往会被教师的“常规性”抹杀掉。他以化简分数的例子作进一步的解释说明，如在化简时，很多学生凭借直观将分子、分母的6划去，得出的结论，类似的还有，分子、分母同时划去6，得到。这些做法在教师看来是非常规的，因此很容易将孩子的创造性抹杀掉。他指出，由于数学与学生纯粹的生活经验之间存在一定的断裂性，学生们也总会产生很多的疑问，如数学的“0”是无，中文的“零”为何是有？0是自然数吗，是又如何，不是又如何？为什么“0”作除数是没意义的呢，什么叫没意义？小学生，尤其是低年级的学生对数学的兴趣掺杂着与他们原有生活经验相异的好奇，因此我们在培训教师时应让他们适当地考虑学生自己的理解。生活的语言到数学的语言再到符号之间是存在缝隙和裂痕的，教师应该起到桥接和填补的作用，如为什么要先乘除后加减，为什么要先通分才能运算，为什么是三角形、四边形，而不是三边形、四角形等，这些看起来稀松平常的知识，细想起来却很难回答。那么，教师如何才能算尽职？他借用韩愈的话总结道，教师除了授业，最终还是要解惑的，即教师须有足够的知识储备为学生解疑答惑，并针对这些疑惑设计教学。那在教学中应该如何促进学生的理解？他表示我们要关注不同学生的层次需求，可以进行“做表”教学，将表格的内容分成四大部分，分别是学生的疑惑、教师的装备、如何带领学生、教学如何发展。最后，他指出，教学要时刻注意对教学方法和成效的反思，加深对一些基本问题的认识，多用自省模式发问，如“有数感、空间感这回事吗？能教吗？怎么教？”他认为，MPCK是随着教师的发展而逐渐积累的，这种教学经验由新手的只能把一堂课教完，可以慢慢地过渡到挥洒自如的状态，需要一个长时间的过程。

关于小学数学教学思想的问题，美国天普大学助理教授丁美霞与美国威得恩大学助理教授李小保在对比中、美两国的教材后有了新的理解。什么是基本数学思想？丁美霞指出，在他们的研究中，这个概念指的是基本原则、性质、关系、结构等，如等值概念、基本运算定律、逆运算之间的关系等。那为什么将研究的重心聚焦于基本数学思想呢？她指出，有些学生不能理解复杂概念的原因往往可以追溯到他们在小学阶段对这些基本数学思想的肤浅或不完整的理解。学生，甚至有些教师对基本数学思想尚不能完全理解。李小保则用具体的事例解释了他们的研究缘起，他表示2008年他们曾做过一项对比研究，即分别考查美国和中国的小学生“8+4=？+5”这个问题。研究发现，美国从幼儿园到六年级的145个学生中无一人做对，同样的问题在对安徽、江苏等省的学生考查时却得到了截然相反的结果，因为大部分的学生都可以得出正确答案。据此，他分析道，这有可能是中、美两国数学教材的不同引起的差异性。另外，他还指出，很多美国职前教师普遍混淆结合律和交换律，特别是不能用文字题来说明和演示乘法结合律。那么，如何优化学生的学习环境，更好地发展他们对基本数学思想的理解，从而为后继的学习打好基础呢？鉴于教材提供的学生学习以及教师增长知识的机会，他认为教材是学习环境中的关键因素之一，对教材的比较研究尤为重要，可以打破本土化教学的局限性，给数学教学带来更为广阔的视野。

基于此，他们对比研究了美国教材改革之前和改革之后的不同版本的教材，以及中国的人民教育出版社版（以下简称人教版）、江苏教育出版社版（以下简称苏教版）、北京师范大学出版社版（以下简称北师大版）的数学教材，主要研究等于号、乘法分配律、结合律、逆运算关系。综合这几个研究，他们发现中、美两国教材在意义的初始学习（情境支持）、明确化的学习（数学基本思想）、跨时间的学习（结构联系）等三个方面存在着差异。美国大多数的小学数学教材甚至是在教师用书中，等于号往往被处理为运算符号，而不作为关系符号，因此他们在面对如“5=5”正确与否的问题时，总会产生疑惑，因为在他们的思维中，“5+0=5”这个命题才是真正成立的。我们可以看出，等于号在他们的思维中并没有形成关系的概念，仅仅停留在运算层面，很难架构其以后要学习的方程概念。与此相比，中国的教材（主要是人教版、苏教版、北师大版）把等于号放在一个比较的故事情境中介绍，明确等于号属于关系符号，这种处理方式有利于学生对等于号的理解，并为日后学习方程概念奠定基础。对于明确化的学习研究层面，他们表示美国在学习这一部分内容时，会教给学生不同的拆分组合策略，但具体解法背后隐藏的数学基本思想并没有得到很好的揭示，而中国四年级的教材会通过深度问题的提出，亮出数学的基本思想。在第三个层面，即跨时间的学习研究中，他们表示，中国的教材会随着学生学习的深入有明显的重点转移，如中国的教材编排是先学加减后学乘除，但美国并没有这样的转移，他们的学生在四年级时会加减乘除一起学。最后，他们指出他们下一步的研究方向是将中国教材对数学基本思想的呈现与实际课堂教学、学生学习成绩、亚洲国家的教材相联系，提炼和传播中国教材对数学基本思想呈现的方法以及其他教学实践模式，在全球化的背景下建立跨国合作的研究模式。

丁美霞和李小保两位助理教授研究的数学基本思想是泉州师范学院副教授苏明强报告中指出的“四基”中的“一基”，其他“三基”为基础知识、基本技能与基本活动经验。苏副教授详细解释了“四基”中每一基的含义：基础知识指的是概念、性质、公式、法则、定律定理等，基本技能指的是运算、测量、画图与问题的解决，基本思想指的是抽象思想、推理思想、建模思想等数学思维能力，基本活动经验指的是操作活动、思维活动与实践活动。他认为，“四基”由“双基”进一步规划、发展而来，其内涵产生了新的变化。那么“四基”之间是什么关系呢？基本活动经验形成基本思想，促进学生对基础知识与基本技能的掌握，学生在基础知识储备的增加与基本技能的巩固过程中不断积累的基本活动经验，又成为获取基本思想的源泉。他和他的团队认为，“四基”应该至少在教材分析、学情分析、教学设计、评价反思等4个范围内应用，但他不无遗憾地表示，“四基”的思想虽然早已提出，但仍有大多数教师愿意用“双基”思想来观察课堂。这里，他举出3个案例来进一步阐述如何用“四基”思想进行教学。第一个案例是“关于0的认识”，他表示苏教版、人教版、北师大旧版的教材是给出情境，然后马上给出符号“0”，缺少中间过程；而北师大新版教材对“关于0的认识”这一课作了一些改进，不但给出小猫钓鱼的情境，还给出具体的情境，把关注点从猫转移到鱼的数量上面。尽管如此，他认为这其中还缺少一步，即以三角形、圆圈或者其他符号去代替猫，只有有了这样的一个过程，才能真正化具体为抽象，从生活真正进入数学。第二个案例是“同分母分数的加法”，他认为同分母分数的加减法与整数加减法有所不同，加并不等于，小学生在这方面的学习有违于以往的认知，因此须以一定的操作活动辅助教学，让学生在实际的生活中慢慢地了解和认识一定的数学规则。第三个案例是我们在学习“平行四边形的面积”时，很多人弄不清楚周长一样的图形，其面积是否一样，周长相等的长方形与平行四边形的面积是否一样。在启发学生探究“平行四边形的面积”时，他倾向于设计这样的问题：如果这是什么图形就好了？这种设问符合小学学生的心理，将未知转化为已知，按照以往的熟悉图形进行转化，如转化为长方形，在转化过程中体会虽然“图中的平行四边形与跟它周长相同的长方形底长是相同的，但由于高不同，面积也就不同”的道理。学会这种转化思想，在切换到立体图形时，学生也会潜移默化地根植这样的函数思想，这便是张丹教授所说的“一种数学直觉”。

2.关于小学数学教学研究及特色实践

不论是小学数学课程的内容还是教师对教学思想的把握，最终都要回归到教学实践中，台南市盐水小学教师何凤珠、北京教育学院教授张丹、北京市海淀区教师进修学校小学数学教研室主任孙京红、绍兴文理学院讲师俞宏毓以及山东省日照市教学研究室副主任李军在教学实践过程中形成他们不同的教学特色。

何凤珠老师出场幽默地表示，“以上几位教师都是讲数学课程的，我在这里让大家放松一下，让大家品尝一下数学里的小点心，挑动一下数学的味蕾”。她首先展示了红青蛙棋、跳棋、迷宫轨道等益智玩具的图片，指出使用益智玩具进行数学教学，充分地利用孩子爱玩的天性，可以激发出他们的创造性，培养他们的观察能力、推理能力、操作能力、想象能力以及思维能力。此外，她举例说，我们可以将益智游戏引入四则运算的课堂教学活动中，让学生将1～9的数字放入格子中，锻炼他们自我设计题目、自主运算的能力，还可以将五连块巧用在空间几何中，增进学生对面积、周长等的理解。在她看来，这些置于教室角落中的益智类玩具可以将数学的氛围带入课堂，使学生在玩耍中充分思考数学玩具的精髓，促进他们逻辑推理能力的提高。同时，何老师指出，她们学校还推出了亲子同乐活动，鼓励学童周末或假日借益智玩具与家人共同研究，写出玩具分享心得。她感慨道，很多她想了很久都没有想出的玩具破解办法竟然轻而易举地被学生在短短的几天就破解出来了，而且利用这些零碎的时间体会数学思想的存在，可以提高学生发现问题和解决问题的能力。

张丹教授随即抛出了她在教学实践中发现的一个有趣现象——分数教学的悖论问题。她以一个课堂实例进一步地解释这种悖论，她说，在五年级讲分数的意义时，教师基本上会将分数的意义等同于分数的定义，即把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或基本的数，叫做分数。基于这样的定义，她抛出了如何理解诸如这样的假分数呢？按照这种定义，似乎并不应该有假分数的存在，学生也容易产生困惑。基于此，她认为整体把握分数的意义应该要从四个维度来考量，使学生对分数的理解从部分与整体的关系转移到两个量之间的关系，从数量比转移到分数比。也就是说，既可以将分数理解为是分数单位的累加，如就是用作为单位测量三次的结果，又可以将分数看成是一种运算过程，还可以将分数作为一种运算结果。经过对海淀区3所学校的教学测试，她发现这种对分数意义的整体教学设计还是会取得良好的效果。最后，她表示这个研究只是一个开始，系列活动设计的有效性还需要得到更多群体的检验，对分数的“运算”和“商”的理解还需要加强，对小学阶段学生在分数的理解方面要进行更为精细的个案研究。

俞宏毓老师则认为研究要回归到课堂的具体实践，她以“长方形、正方形的面积与周长”作为小切口，探寻教学过程中的逻辑顺序问题。她认为在小学数学中，“面积与周长”问题是受中西方数学教育界普遍关注的教学主题之一。2012年下半年，在顾泠沅教授的主持下，上海青浦教师进修学院的科研员和教研员、青浦实验小学的数学教师以及她本人，以“长方形、正方形的面积与周长”为教育主题，在青浦实验小学进行教学指导活动，以青浦实验小学三年级6个平行班的基础相当的学生为研究对象，以教师发展指导者、执教教师、研究人员为主要参与者进行研究。俞老师表示，她的研究主要运用课堂和指导会议录像、录像带分析法、前后测试卷、量的统计加质的分析、访谈录音、质的分析等数学分析方法，采用研究准备会、前测、访谈学生、课后指导会议、后测的形式对两位教师——年轻教师PN与经验教师PE的执教情况进行跟踪记录和研究分析。在对两位教师的后测结果进行比较分析后，她发现，教师PN经教师发展指导者指导后，其课堂教学的效果差异显著。而教师PE拘泥于教材，没有完全接受教师发展指导者的改进思路，教学效果并不理想。从后测来看，教师PN三次课的成绩差异显著，教师PE后两次课执教班级的测试成绩明显不如教师PN执教班级的。

关于面积运算正确率的比较，俞老师表示在第一次课后指导会议上，指导者便指出正方形是长方形的特殊情形，建议教学要从长方形突破，将正方形的面积放到练习中，但在测试中发现，第一次课时，两位教师的正确率都不高，而第二和第三次课时，教师PE的课堂练习中的应用题和后测试题一模一样，而教师PN的课堂练习中没有出现应用题，但在第三次课，教师PE的正确率并不比教师PN高。她还发现，在教学中，教师PE倾向于就事论事，在周长和面积的教学中局限于长方形和正方形，学生遇到组合图形时会手足无措；而教师PN经指导改进后，在教学中会强调周长的“一段一段相加”和面积的“一块一块相加”的本质，学生在理解周长、面积三要素的本质后，不仅会求组合图形的周长与面积，而且还会出现几种不同的求法。最后，俞老师提出了她自己的建议。她认为：第一，教学应遵从儿童的认知发展规律，即应遵从儿童认知从简单到复杂、从规则到不规则这样一个发展规律。在教学概念和方法的学习上，应该是从一维到二维再到三维，先有周长再有面积和体积，先加减再乘除进行运算。第二，数学教学中应注重数与形的结合。从前测的结果及访谈内容可以看出，小学数学中数与形结合得并不够好，学生在学数和运算时和形是脱离的，应该尝试数和形的有机结合。第三，数学教学中应该注意学习方法的迁移，如数学概念、处理问题的方法等都可以进行类比学习和迁移。

李军副主任同样在课堂的具体实践上下足功夫，他的研究是围绕着数学小课题进行的。他表示，课程改革的新观念深入人心，但新课程倡导的自主探索、合作交流、动手实践却很难落到实处。这种落差不但有评价机制、教师素质、观念没有切实转变等原因的影响，还有教师在课堂上没有给学生留有充分的时间和空间去经历数学过程的作用。他指出，有的学生通过提前预习会对所学的知识有个大概的了解，有的学生则会人云亦云，不会有自己的思想，还有的学生浅尝辄止、研究不深，这就使得很多内容仅仅停留于形式上。另外，他表示，在学生眼中，数学往往等同于做练习题，将课本内容教好是教师教学的唯一目的。那么怎样才能学好数学呢，借用荷兰数学家弗赖登塔尔“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造”的思想，他认为可以通过提出数学问题，形成研究课题，使学生经历、体验数学研究的过程来实现。在这个过程中，学生不断地找到有用的数学方法、数学原理，经历数学概念的形成过程，不断地提升数学素养。为了更好、更深入地实施新课程，从有利于学生的发展、有利于日常教学相结合、有利于提高教师的研究水平和教学水平出发，我们要不断地提高教学效率，倡导学校和教师积极的参与，边实践边调整，经常进行交流和总结，不断扩大战果。他认为教师在教学时要注意以下一些教学原则，如注意课上与课下相结合、课本内容与课本外内容相结合、因材施教与面向全体相结合等。基于这些教学原则，他认为更应该重视课堂的作用、学生的作用、教师的作用以及研究成果的展示交流。课堂应用于课前，学生在课前可以进行初步的预习研究，而课堂更多的是起到展示、交流和提升的作用。他认为，课堂不能仅仅是学生展示交流研究的成果，还要辅之以补充练习。另外，数学小课题研究的课堂数学不能代替全部的常规课堂教学，常规教学也发挥着不可替代的作用，二者互相补充，才能相得益彰。最后，他解读了小学数学小课题研究的意义，认为小课题研究可以增强教师的课程意识和指导学生的能力，使学生真正经历发现和提出问题、分析和解决问题的完整过程，培养学生的创新精神、数学精神、表达与交流能力，改变单一的课堂教学组织形式，使自主探究、合作交流、动手实践等学习方式产生实效。

传统的常规教学不易看出学生在问题研究能力上的差异，通过研究成果的展示交流，学生可以在互相讨论中引发更深入的思考。特色教学提倡学生和教师在课堂上的互动，教师在学生的研究过程中提供针对性的指导，对出现的问题进行解释、说明，与学生一道进行梳理、总结、补充、完善，甚至与学生进行激烈的辨析。

二、7—9年级数学课程的实践与反思

随着学生年级的升高，其认知水平也会发生一定的变化，那么从小学升入初中，数学课程教学实践会有哪些不同，初中学生学习数学会有哪些特点与规律，这些都是值得我们深入思考的问题。

1.有关中学数学教科书的思考

教材是教师教学的主要依据，但教师往往会选择其他的学习材料进行教学补充，补充材料与教材之间会有一些差异，基于此，澳门大学教育学院助理教授江春莲就初中数学教科书呈现问题与课堂教学实际使用问题的难度进行分析，认为可以引申出两个大问题，一是数学教科书呈现问题与课堂教学实际使用问题的难度有何差异，二是这些实际呈现问题的来源除教科书外，还有哪些。她通过选取长春某中学初二年级的3位教师，在问题、探究、背景、推理、运算、知识点等维度的框架下，对他们的勾股定理教学过程进行观察，发现这些教师在课堂上实际使用问题是教材给出问题的3～5倍，并且在背景与推理的维度下，教师补充题目与教材题目难度相当，而在其他维度，尤其是运算维度上存在差异。她认为，就教师某一堂课的实际教学来说，基本上会遵循由易到难的规律，这是比香港版教材强的地方。然而，她也不无遗憾地表示，通过收集学生的课后作业，就会发现很多课外参考书的练习题不是按照由易到难的顺序编排的，不太符合学生的认知顺序，而且教材中的题目在数量上不能满足学生的要求，教师提供的问题在探究和运算两个维度上显著高于教材难度。她饶有兴趣地讲述了自己在华中师范大学第一附属中学的工作经历，提出教师之间布置作业量的分配以及占用学生多少学习时间的问题也是一个很有趣的研究方向。

江春莲以丰富的课堂实战经历以及较为详实的课堂数据剖析了教科书与课堂教学使用问题难度之间的关系，而人民教育出版社中学数学室主任李海东则从编者的角度，对教科书应该起到的“彰显育人价值、提升数学素养”的作用为教科书的编者点明了应该努力的方向。他认为，教材是非常重要的教学资源，不论是课程改革还是教材改革都离不开教材。在回顾了十八大提出“立德树人”这一教学根本任务后，他指出教育界也都在做一些立德树人的研究，但都是在一些大教育的框架下。对数学教育来说，育人目标的核心是学生的数学素养，但对数学素养的研究虽多，却鲜有明确的结论，大都停留在知识技能层面、数学能力层面、情感态度价值观层面或者混合前三者进行多维度表述。那么为了提升学生的数学素养，我们的教科书应该怎么编呢？他认为应该按照大纲的具体教学要求呈现知识和技能，在此基础上，思考如何去体现教科书的教育价值。第一，突出重点和主线，构建符合数学逻辑和学生心理的教科书体系。这种体系可以让学生在浩如烟海的数学知识中看到它们之间的联系，注意各领域内容的前后顺序、内容之间的联系与综合、数学内容与相关学科内容的联系以及核心的数学概念和重要的数学思想方法，循序渐进。从这个角度来看，良好的体系结构是教科书育人的载体。第二，加强学习方法的引导，使学生逐步地领悟数学研究的“基本套路”。在教科书的编写过程中，注意挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的抽象过程，从中体会数学研究方法，领悟数学研究的“基本套路”。这其实是要发挥数学核心知识本身蕴含的教育价值，有些数学知识本身就有其发生发展的过程，让学生体会这一研究过程，必须进行学习方法的指导。比如在研究几何问题时，教师要时刻地注意学生对图形性质、判定等概念的理解程度，重视从何种角度切入，要遵循从实验到论证、从一般到特殊的规律，利用性质和判定的互逆关系，以便为学生思考问题提供落脚点。第三，反映背景，重视过程，加强应用，以便使学生获得数学基本思想。第四，发挥章引言的“先行组织者”和章小结的“概括提升”作用，体现知识的整体性。他特别重视小结的作用，认为这对帮助学生“由厚到薄”地再认识本章内容、帮助教师提升教学的思想性具有重要的作用。第五，加强探究，重视“综合与实践”，积累数学基本活动经验，培养创新意识。最后，他重申，教科书是重要的学习资源，而教材建设是一个长期的过程，希望在大家的共同努力下，可以编写出高质量、利教利学的数学教科书，提升学生的数学素养，为发挥数学的育人功能作出更大的贡献。

2.有关数学学习方式与基本活动经验的研究

课程改革不但要关注教材的改良和提升，还应致力于扭转学生的学习方式，四川省成都市教育学会中学数学专业委员会副理事长王富英、山东省青岛市普通教育教研室教研员安志军在这个层面上谈起了自己的教学心得。

教师讲数学，学生跟在后面被动思维，这是中国课堂十分普遍的课堂教授形式，学生在这种形式下往往是知其然而不知其所以然。王富英副理事长认为，我们要尽快地脱离这种独白式、问答式、对话式的教授阶段，转变为解释性的、启发式的和对话性的学生讲数学阶段。何为学生讲数学呢？他指出，学生讲数学是指在课堂上围绕一个共同的数学问题，学习者用口头语言向他人表达和解释自己的理解、想法与发现，教师与同伴通过倾听、提问、质疑、评价等方式与之对话交流的学习活动方式。学生讲数学的过程是对话交流和视域融合的过程，是在学习共同体内完成的，同时讲数学的过程也是一个理解的过程。此外，他认为学生讲数学的基本环节包括独学、讲解及评价。学生自己进行学案导读、课上讲解，与其他不讲课的学生形成共鸣，同时得到反馈和启示，从而使讲课的学生和不讲课的学生都更能清晰明了地认识数学问题。经过这样一个过程，学生讲数学就解决了“学什么”、“怎样学”、“学得如何”这三个问题。他从学生以讲数学的形式学习一元二次方程的实战教学说起，指出学生讲数学是一种更为丰富、能够充分发挥学生学习主体性的学习活动，并不是简单地回答教师所提出的问题，而是在自己独立思考和组内讨论的基础上，以个性化的方式展示和解释他们的思维过程及其思想特点，同时，教师和其他学生以其各自的视角和理解参与这一知识意义的建构过程。这种“导学讲评式教学”融合了东西方的教育理念，既关注学生的参与，又传承中国数学课堂中注重数学本质与思想方法的优秀传统，改变国外学者对中国课堂教学的看法，这是国际学者对这一学习方式的看法，他如此总结道。教育部中小学教材审定委员马复教授指出，这种教学方式的重心在于学生的学，有效地整合了多种学习方式，使我们看到中国人自己建构的教学模式。

青岛作为国家级实验区，自2001年课程改革以来，就重视对数学学习方式的转变，在践行新课程理念方面作出富有创意的探索。他们的工作不仅体现在实践及对实践的思考，也浓缩成富有经验的实践成果，来自青岛市普通教育教研室的安志军教研员带来了他们系统性的实践经验。安教研员指出，中国的数学教育，既要发扬自家之长，又要牢记“他山之石，可以攻玉”。她认为，在经济时代，学会学习才是最重要的，努力转变学生的学习方式应成为教师教学的首要目标。她代表青岛市初中数学教师从四个方面分享了她们的研究过程。

第一，重视学生的主体地位，提升学生的主动性。学生是学习的主体，要为自己的活动代言，他们只有积极地参与到数学活动中，才会有思维的飞跃，形成自己解决问题的策略。结合北京师范大学出版社出版的教材，她的团队进行了一系列的探索。在考察乡村学校后，她们发现在这个没有电脑、电子白板、实物展示台，也无法打印纸张的课堂，依然体现出学生自主学习的探究过程。即使在农村，即使没有现代化的手段，新课程改革的理念依然得到贯彻。她以一道教学实例给予进一步的解释，如“求测池塘AB的距离”这道习题，参考答案仅仅是利用全等或相似三角形来求解，但学生却会综合运用三角形、四边形、勾股定理、中位线等。这说明只要我们肯给学生一个更自由的空间，学生的思维可能会更开阔。此外，安教研员还给出了一些学校会运用的典型的教学方式，如一生一师教学法、和谐互助教学法、猜想探索教学法等。在小组活动中，教师要重视学生主观能动性的发挥。和谐互动教学法共有五个环节，包括交流预习、互助探究、分层提高、总结归纳、巩固提高。猜想探索教学法主要立足于已有的知识，是对所要学的知识的猜想，然后综合运用这些知识进行探究。综合以上来看，安教研员总结道，“我们的课堂形式有了很大的变化，教师对学生主体的认知有了很大的变化”。

第二，开展数学建模活动，促进教与学方式的转变。安教研员认为，要充分利用教学资源，引领学生慢慢感悟教学思想。在建模活动中，教师秉承北师大新世纪数学教材的新课程理念，提供大量的实际背景，逐步地渗透和引导学生不断地感悟，使学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程，通过数学建模改善学习方式。比如，在教授“抛物线”这一课时，教师可以让学生进行小组合作制作所设计的桥梁模型，通过展示小组同学的绘图作品，通过具体的情境设置，让学生在绘图过程中慢慢地感知抛物线的顶点等相关概念。另外，她也指出，教师要使学生经历数学建模的过程，积累数学活动经验，通过建模活动、数学建模竞赛等形式，进一步发展学生的数学建模思想。

第三，注重信息技术与课程内容的整合，提升学习品质。她认为，信息技术与学科整合研究的目的是要充分发挥信息技术的优势，逐步实现教育内容的呈现方式、教师的教学方式、学生的学习方式和师生互动方式的变革。她指出，基于技术所作的翻转课堂的一些教学材料，把单纯的知识讲述变成对问题的指导和解决，会使学生的学习方式发生很大的变化，很多学生在家时会利用电子书包按照其自身需要进行学习。

第四，运用多种评价方式，落实“双基”。安教研员认为，针对传统评价方式的单一性和封闭性，我们采取开卷、闭卷两种形式进行评价，在每一节课、每一周、每一个月都会进行这样的评价。一个分数或等级所能反映出来的信息毕竟有限，但评语却可以弥补评分的不足，对用分数或等级难以反映的问题，可以用评语来反映。因此，他们为章节测验和期中、期末阶段性评价设计了开放的评价结果——试卷成绩（或等级）+卷后感悟+卷后100分，引导师生用发展的态度对待每一次数学测验的分数或等级，给学生更多的机会。在实际运用中，她表示对学习有困难的学生，卷后100分会极大地鼓舞他们学数学的兴趣和热情，有助于更好地落实“双基”。与此同时，她指出还应注意运用多种评价形式对过程、思想方法、情感态度、价值观等进行评价，通过口试、动手操作、设计题目、数学小论文、数学手抄报、成长记录等多种形式、多角度的检测，全面地了解学生，给予有针对性的分析和指导，使学生的语言表达能力、实践能力、思辨能力、分析问题、解决问题的能力得到有效的锻炼与提高。

最后，安教研员发出感言，“忙碌伴随着充实，汗水孕育了丰硕。今天，当我们在岁月的从容中驻足回望，静静沉思，我们发现，欣喜和叹惋已葱茏了我们曾经的旅程。我们不知道岁月还将对我们有哪些馈赠，但我们坚信：在穿行岁月的脚步中，我们将继续坚持进行学生学习方式转变的实践与研究”。

很多教师会注意要转变学生的学习方式，让学生自主思考问题，经历数学学习的活动过程，而学生对数学学习的这种内化离不开在数学基本活动经验中习得的知识与能力。北京师范大学副教授郭玉峰就此问题向大家作了报告。她指出，截止到2014年4月13日，关于数学活动经验的文献检索非常多，但对其内涵界定、特征、分类、实践以及如何落实等方面有各种各样的看法。她从数学活动基本经验最重要的一个方面，即为何在义务教育数学课程标准中提出数学基本活动经验的问题进行系统深入的研究。那么，数学基本活动经验既然作为人类文化发展经验中的一种，是否能够被传承和改造呢？也就是说甲的数学基本活动经验是否可以传承给乙，成为乙的数学基本活动经验呢？对这个问题，她认为讲给学生听的数学在一定程度上不是他自己的数学，学生学习数学不能依靠传递的方式，必须经过自己的探究思考形成自身内化的数学。经验与能力因带有各自的个性色彩和特征，向来是教学研究中的一个热点，那么经验可否与能力一样成为研究对象呢？她表示，数学基本活动经验同样可以成为研究对象，也有外显特征，从行为上讲是形成一种习惯，从思维上讲是形成一定的思维方式或思维模式。

郭玉峰副教授诚恳地谈道，诚如大家所知的，数学基本活动经验包括实践和思维经验，并指出她将自己的研究限定在思维经验方面。如何理解“基本”呢？从大的方面讲，即是数学的归纳和演绎这两种最基本的推理活动。学生需要经历这两种推理活动，从中感悟数学概念、命题等，在逐步的归纳推理中得到某种猜想，进而证明猜想的过程；从小的方面讲，指在观察联想的基础上，在多个特例的基础上得到一般规律的猜想，或类比不同的事物，发现某些共同特征，进而提出猜想，对猜想不断地调整，并试图证明猜想。在此思维活动过程中，我们可以获得一定的经验，长期经历后沉淀形成一定的数学思维方式或思维模式，这是她研究界定的数学基本活动经验。基于这样的前提，才有可能有操作性的定义，才有可能对学生的思考问题方式进行研究。

在这种界定下，她从水平、竖直两个维度给出两种研究的基本框架。水平维度是指数学基本活动经验包含的具体层面或包含因子，分为观察联想、归纳猜想、表达、验证或证明。观察联想指的是观察并联想事物的共性、特性以及事物之间的关系，这是很多教师所欠缺的，归纳猜想指的是从特例中归纳出一半。此外，她指出还有类比，即从两类不同的事物中得出相似性，得到另一类事物的特征。猜想过后需要表达，借助口头、符号、文字表达和归纳猜想的结论。以上即为水平维度的框架。竖直维度的指标，即层次水平的假设，有三个假设，第一个层次水平为“模仿阶段”，即没有形成有效的思维方式，不能有意识地观察和想象，也不会从特例入手探求规律和结论，只会模仿；第二个层次水平可定义为“性质阶段”，可以进行一定的归纳推理，但并不深入，只是流于事物表面；第三个层次水平为“实质阶段”，学生可以进行有目的的观察，发现一般规律，对归纳猜想的结论进行推翻、验证或证明，由此及彼、触类旁通地展开联想。在这种操作性定义和量化指标之下，她指出自己曾在2011年底对1 295名初中学生的数学基本活动经验进行考查，研究发现，学生数学基本活动经验的水平现状表现总体一般，这与2011年义务教育课程标准所表述的“中国学生在基础知识、基本技能的掌握做得较好，能力培养方面次之，经验的培养和积累是远远不够的”的结论相吻合。基于此，她认为，初中学生的抽象水平还很有限，演绎推理不宜过早地接入，大跨度联想应是我们进一步培养的目标。她强调这种数学基本活动经验的积累是形成学生一定判断能力的基础，也是学生学会一眼“看”出结果的基础，更是学生实现未来大跨度联想的基础，但这一研究任务任重而道远，它的出现不是空穴来风，是基础知识、基本技能等数学课程目标发展到一定阶段的产物，是时代的产物，需要进一步的研究。

3.中国数学比较研究

数学这种极具抽象的学科怎样才可以作为一种语言来表达？北京十一学校教师章巍给予了解答，他表示他的研究源于一次教研活动中对一个问题的讨论，教研组教师在讨论“如果题目不给出图形，学生的理解是否会有偏差”这个问题时争执不下，这让他敏感地感知到，这不仅是去掉一个图形的问题，而是去掉一种数学语言形式的问题。那么，究竟哪种语言对学生的影响最强，强到什么程度，这些数据对教师今后的教学有什么作用，这些问题构成她研究的支撑点。章老师指出，无论用什么方式引导学生，都必须要让学生独立自主地去读数学，阅读实际上是数学教学的核心环节，而数学阅读与一般的文字阅读不同。著名的数学家克莱因曾说过，“数学语言是一种慎重的精心设计的有益的有很高的抽象性的语言”，认为我们所理解的中小学的数学语言一般分为三种形式，即文字语言、符号语言、图形语言，而在描述一种数学问题时，往往会采用三种语言并行的方式。那么，如果我们只呈现一种或两种语言，对学生的数学学习会产生什么影响，每种语言在数学学习中起到的作用又是如何？他将被试群体选定为北京某中学八年级的学生，通过全区的调研成绩，对学生的成绩进行差异性分析，分成高、中、低三个组，选择四个数学对象，对每一种对象用2～3种数学语言进行表达，排列组合后，构成不同的测试卷。章老师回忆道，对“最距离”的定义方式，第一种是文字表达，第二种是借助数学符号表达式，第三种是用图形（线段长度）来表达，三种方式的基本含义相同，提出的问题也是相同的。研究发现，当文字语言与符号语言两相比对时，学生更容易接受文字语言而不是符号语言，中、低等学生，特别是中等学生对语言转换的反应最强烈；把文字语言和图形语言放在一起时，整体差异不是很大，只有在高分组的其中一个数学对象表现出显著差异；将符号语言和图形语言作整体分析时，发现差异明显，学生对图形语言的数学理解优于对符号语言的，特别是在中、低等学生身上，受影响较为强烈。因此，她认为，与我们正常的生活语言不同，数学文字作为语言方式传递时有特定的语言表达习惯，文字语言对学生有一定的影响，符号语言则是最难理解的语言形式，这是由符号的抽象性造成的。最后，章老师指出，图形语言是最易理解的语言形式，几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学过程中都发挥着重要的作用。此外，他认为教师应该教给学生必要的数学阅读方法，既要把握阅读速度，又要体味编排意图，充分地鼓励学生进行数学表达。

如何看待中国与美国初中数学课程教学任务特征的不同，北京师范大学博士研究生邵珍红对课堂教学、高质量教学以及课堂中的教学任务作了深入研究，并利用中、美两国初中教学之间的差异，以期在这种知彼为己的研究方式中探究中、美两国初中课堂数学的任务特征。她选取的研究对象包含中国2011—2012年5个城市学区109位教师的218节初中数学课以及美国2011年4个城市学区224节初中数学课，并选出中、美两国各15节高质量的数学课。她指出，本研究通过比较相对高质量的中、美数学课堂中的数学任务，进而探求以下一些问题，如数学任务中“实际生活”背景知识的使用有何异同、数学任务的表现形式有何异同、数学任务的认知水平有何异同……通过对比，她发现同样是15节课，中国129个数学任务中有84%解决的是纯数学问题，仅有的解决实际生活的问题大多起到新课引入的作用；而美国39个教学任务中大部分解决的都是实际生活问题。在任务表现方面，邵珍红强调，中国的联系任务稍多于学习任务，而美国的学习任务占了60%，联系任务仅占12.5%。关于中、美数学任务认知水平的异同，数据显示，中国占据较大比重的是“无联系的程序型”类任务，其次为“联系的程序型”类任务；美国占较大比重的是“做数学”，其次为“联系的程序型”类任务，可以看出中、美两国的数学学习任务均是高认知水平的数学任务占多数。在这里，她强调，数学任务特征之间存在差异是很正常的，这个研究只是实然地反映了客观事实，并未断定孰是孰非、孰优孰劣。她认为，即便如此，中国的数学课堂教学研究如能了解国际、立足本土、不断完善，便更能提高课堂教学的质量。

4.数学教师观念变化的调查研究

义务教育课程从20世纪末、21世纪初开始酝酿，2001年开始试点，一直到2003年数学课程改革才在全国范围内铺开，10多年来课程改革到底给我们的数学教育带来了怎样的变化，这是值得我们深入反思的。重庆师范大学副教授童莉以此为切入点，对课改10多年来初中数学教师课堂教学观念的变化作了调查研究。她解释说，“我最终选择回归课堂角度，是因为教师的课堂教学观念是一个十分重要的视角，从中可以窥见教学课程的理念如何落实、学生如何反馈”。她的研究范围主要包括以下几个问题，如数学课改前初中数学教师有着怎样的课堂教学观？课改10年后初中数学教师课堂教学观念有了什么变化？对比课改前后，初中数学教师的课堂教学观念发生了怎样的变化？基于这样的研究，她及她的团队选择问卷调查法与课堂观察法进行研究，今天主要跟大家交流的是问卷调查法，即以问卷形式对比10年课改前后数学教师的课堂教学观念的变化，选择经历10年课程改革的重庆市初中数学教师，共210位，男女比例基本一致。她认为，课堂是教育情境中的师生与环境（教室及其中的设施）互动而构成的基本系统。而课堂教学生态系统，就是在一定的教学时空内，由教室中的教师、学生与其教学环境之间相互作用、相互影响而构成的动态开放的系统。在这个体系中，数学课堂教学观念是数学教师对课堂教学生态系统的认识，是数学教师思考数学课堂教学问题所获得的结果，包括数学教师对数学课堂教学的认识及其思维方式，也包括数学教师认为应该“如何教学”的价值和选择结果。通过问卷的调查数据，我们可以看出77.5%的初中数学教师认为自己的课堂教学观念发生了很多或较大的变化，其中新课程改革对数学教师的师生观和教学观的影响巨大，而对教师的课程观、评价观和环境观的影响相对来说要稍小一些。

三、10—12年级数学课程的实践与反思

1.有关课程实施和课程标准的研究

课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，体现国家对不同阶段的学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的基本要求。西北师范大学教授吕世虎、中国人民大学附属中学特级教师周建华、北京师范大学教授曹一鸣与在读博士生严虹、首都师范大学教授王尚志、常州市科学教育研究院教研员孙福明等围绕高中新课程实施、课程标准以及新课标之下的数学教材发表了他们各自的看法。

高中数学新课程已经实施10年，高中数学新课程教与学的现状如何，教师和学生有哪些变化？针对这些问题，吕教授对我国高中数学新课标的实施现状进行调查研究，并与之前的相关研究进行比较，旨在积累新课标实施的过程性研究资料，为高中数学新课标的修订和完善提供借鉴。他的研究主要选择13个省、自治区、市的446位教师和5 685位学生，从八个维度对他们进行教师和学生的问卷考查，并进行数据分析，与2001年的研究结果相比照，指出高中数学新课程实施以来，教师的教学方式在很大程度上已经由传统的“以讲授为主”逐渐转变成“师生共同探究”和“小组合作”等多元化的方式。综合来看，他认为高中数学新课程倡导的目标多数的实现情况较好，师生对数学新教材的整体评价较好，但高中数学课程的选择性并没有得到很好的落实，教材容量和习题数量及难度需要调整。虽然教师的教学方式发生了积极的转变，但教师给学生自主学习的空间仍然不足，评价仍受考试制约，评价体制需要进一步完善，实现多元评价等。此外，他也指出当前学生的负担依然较重，要实现学生学习方式的多样化，增加教师培训的机会。

必修课与选修课相结合是课程改革的重要思想，也是课程标准的重要要求。特级教师周建华指出，大多数教师开设选修课是因为学校的任务驱动，但实际上选修课的教学价值体现为提升学生思维逻辑的严谨性，提高教师自身的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，拓展学生的知识面，增强他们的逻辑推理能力，加强优化意识，培养自主探究学习。同时，他表示开设选修课的困难在于数学课时紧、任务重，导致教师教授进度快，而且教材缺失，资料有限，难度大，又不是高考的内容，这些都直接导致了学生缺少学习选修课的动力。在开设选修课的收获方面，他认为教师的最大收获在于可以丰富自身的知识，使得知识系统化，加深对数学的理解，拓展视野，促进教师合作，更好地发现学生的数学潜力，提升学科素质。对学生来说，选修课对提升他们的自主学习能力起着非常大的作用，可以培养他们独立思考、研究问题、组织问题的能力。另外，不少教师会采用新的教学方法开设选修课，如采用小组合作讨论的形式，每节课让小组围绕一个主题汇报和互相提问。此外，他指出，一些教师认为开设选修课有利于学生数学思维的培养，激发他们的学习兴趣，补充必修课程探索与研究中的相关问题，拓展数学视野，在学习形式和相关知识与方法上有促进的作用。但部分教师也认为，要想提高选修课的教学质量，应该适当地增加选修课的课时，给教师充足的备课时间，出版校本教材，尽可能地进行分层教学，在教学中多选一些有实际背景且有一定趣味的问题。

严虹在回顾了20世纪80年代后期以来的基础教育改革之后，认为课程标准或教育标准被放置在突出的位置上，“标准”一词一时间成了基础教育改革，尤其是课程改革的关键词，并指出她和曹一鸣教授的研究基于包括我国在内的遍及5大洲12个国家现行的高中数学课程标准文本，对高中数学课程内容分布从知识领域、单元领域、知识主题三个层面进行比较研究。基于知识领域内容、单元领域、知识主题分布的比较研究和分析，她认为，从内容条目数量来看，我国仅在“微积分”领域低于12个国家的平均水平，其他领域均高于平均水平，其中“其他”的内容条目是平均水平的2倍。从内容条目比重来看，我国在内容条目比重中，其中“图形与几何”、“统计与概率”与平均水平相当，在“数与代数”、“微积分”上略低于平均水平，在“其他”中比平均水平高出较多。从知识领域分布内容来看，我国的数学课程整体上分布比较合理。从知识单元内容分布来看，我国数学课程较为重视“函数”、“解析几何”、“统计”等内容，也比较重视“算法初步”、“集合”、“基本逻辑用语”、“向量”、“推理与证明”等工具性数学知识的内容。从知识主题内容的分布来看，我国数学课程重视“数学文化”的渗透及工具性知识的学习。

“立德树人”工程主要围绕培养什么人、怎样培养人这一核心，统筹推进好学校的品德、语文、历史、艺术、体育五个学科，科学设置好小学、初中、高中、本专科、研究生五个阶段，统筹运用好教育专家、管理干部、教研人员、一线教师、社会力量五个资源，统筹利用好课堂、校园、社团、家庭、社会五个阵地。王尚志教授的研究即源于此，他认为课程是落实这个举措的主要载体，高中课程标准是近期的突破口，并指出他的研究背景基于下列四个方面，一是21世纪中国学生应具备的核心素养是修订课标的基础，二是考试与课时的脱节以及谁决定谁的问题，三是数学课程应体现数学、数学教育的作用及特点，四是学生、教育、教学是构成数学课程的三个基点。此外，他认为《成功的基础》（美国总统数学顾问委员会报告）表明，引导社会发展需要数学能力，数学能力将会给国家在医学健康、技术商业、航行太空、防御金融等方面带来发展优势，而数学教育也会在个人的发展中起到十分重要的作用，在与数学有密切联系的科学和工程方面，劳动力需求的增长速度和总的职业需求增长速度相比的比值为3：1。但借R.柯朗的话，他指出，今天数学教育的传统地位陷入了严重的危机，数学教学有时也变成了空洞的解题训练，而不能导入真正的理解与深入的独立思考，过分专门化和强调抽象的趋势忽视了数学应用与其他领域的联系，而数学学科不是一系列的技巧，技巧不能代表数学。基于此，王教授指出，解决数学教育问题是个系统工程，需要跳出数学教育的圈子来解决数学教育的问题。《国家中长期教育改革与发展规划纲要（2010-2020年）》指出，创造条件开设丰富多彩的选修课，提高课程的选择性，促进学生全面而有个性的发展。那么，高中数学课程怎样才能在国家课程、地方课程与校本课程中体现出选择性？他认为，不同的专业方向需要不同的数学，选择性应是此次高中课程改革的核心，但也要关注整体性的问题。他指出，这种整体性主要是高中课程结构与内容的整体与关联、高中数学课程与其他课程的联系、高中数学课程与义务数学课程的关系……基于此，我们对模块的称呼应该有所变化，以便与课程内容挂钩，如可以用“变量与函数”、“向量与代数”这样的模块名称。对校本课程，王教授建议，可以分为分析类课程、代数类课程、几何类课程、统计概率类课程、应用类课程、离散数学类课程、数学文化类课程等。对大学非数学系的数学课程，他认为应该突出主线，按照数学的课程内容进行“微积分与微分方程”、“线性代数”等类别划分。随后，王教授又点明说我们需要研究国际比较、历史沿革，确定数学核心素养原则等一系列内容，并且认为数学核心素养能力包括通识能力、抽象概括能力、推理能力、建模能力在内的数学基本能力和高中学段的基本能力。

伴随新课程改革，问题引领课堂教学成为提高课堂教学效率的不二选择。孙福明教研员引用孔子“开而弗达”的教育思想以及弗赖登塔尔强调的“学习数学的唯一方法是实行‘再创造”引出“问题”的重要性，表明“问题”是教师引导和帮助的载体，是学生再创造的材料和台阶。那么，什么是问题引领课堂呢？孙教研员指出，根据教学目标的若干要求，围绕核心问题，设计若干个有逻辑关联、有层次梯度的子问题组成的系列问题，作为教学活动的主要方式，变成课堂互动的材料。他指出，教材呈现的是固化的知识形态，教师要把内隐在结果中的研究动机还原成研究问题，把内隐在结果知识中的研究方法还原成认知工具，把静态的结果还原成动态的思考过程，以问题链接展示问题及问题解决背后蕴含的思维价值，引发学生感悟知识发生、发展过程中的方法与思想。此外，他还进一步强调，倘若教师能将课标规定的知识体系转换为连续的问题链，就能使教学过程成为循序渐进、逻辑建构的认知途径，使教学活动成为围绕问题解决的一种能动性的主题建构活动。20世纪80年代流行的建构主义的四大要求，即情境、协作、会话、意义建构都离不开问题的线索、桥梁、支撑、助推作用。问题产生矛盾，问题让学生积极反思、改善自己的认知结构，促使已有图式的扩展和更新。对于问题链的形式，他认为可以分为两种类型，一类是指问题链在思维序列上依次加深，环环紧扣，推动学生思维不断爬坡的递进式，另一类是指问题链在逻辑关系上并列的并列式。以“抛物线的标准方程”这一问题为例，他向大家解释了如何按照“唤醒、关联、诱思、明题、提升”等五大方面层层设问，并给出设计问题链条的几条原则。第一，要思考教学问题中有哪些是牵一发而动全身、最能体现教学目标或概念本质的问题，如动机性问题、模块性问题。第二，要围绕核心问题设计问题链，以核心问题为主线，子问题要围绕核心问题顺势展开，螺旋上升。这就要求我们要合理地选择节点，尽可能地在最有价值的环节设计问题，确定的子问题之间的逻辑关系要尽可能地贴近学生的思维区间，确保难度梯度在学生的“最近发展区”。第三，问题链的设计应体现育人理念，为学生服务，针对学生的障碍点，指向学生的发展点，培养学生的问题意识和提出问题的思维习惯。最后，他强调在反思问题引领课堂的研究过程后，教师要科学地确定问题链的核心，统筹确立问题链的节点，有效地控制问题链的难度，以及合理地设置问题链的台阶。

2.中国学生的数学素养

由于党的教育方针的贯彻执行、素质教育的落实、中国国际竞争力的提升，核心素养的基础研究被日益重视起来。那么，学生数学素养的研究有何必要性？华南师范大学教授何小亚认为，虽然数学新课程改革已实施10余年，但“知识+解题能力”的应试教育依然大行其道，素质教育仍然没有得到真正的落实。何教授认为素质教育缺失的原因主要是因为我们会把笔试成绩作为评价学生、教师、校长、局长能力的唯一标准，而且在数学课程与数学教学中缺失数学素养，在课程标准及其解读中并不对数学素养的内涵、要素和要求进行界定。此外，数学课程标准的修订需要数学素养顶层设计方面的指导。何教授指出，可以利用文献分析和系统分析的方法对国内外有关数学素养的研究进行梳理，回答什么是数学素养、数学素养由哪些要素组成、中国学生数学素养的具体要求有哪些类别等问题。他认为，文献收集主要基于两条线索，一是基于学生的数学素养研究，二是基于学校培养未来公民的数学素养研究。

何谓“素养”？“素质”既有先天的条件，又有后天的养成；而“素养”则只是后天学习获得的结果，即“素质”包含“素养”。不仅如此，何教授还表示，国内对数学素养的界定与分类有几种，一是由素养（素质）的概念出发，演绎出“素养（或素质）+数学教育术语”式的定义，二是考虑数学学科的特殊性，表现为“知识”取向的数学素养观、“知识+能力”取向的数学素养观、“多维度”取向的数学素养观。国外学者对数学素养内涵的界定有哪些呢？何教授表示他们会给出一些相关的术语，主要有Numerate、Numeracy（数字计算），Literacy（知识能力：读、写、算），Quantitative Literacy（数量方面的知识能力），Mathematical Literacy（数学知识能力）等。对“数学素养”的解释，不同时期有所不同，即使在同一时期，不同的国家与组织机构、不同学者的理解也是不同的。何教授指出，国内有关数学素养的研究可以分为三个阶段：第一阶段，20世纪70年代末以前，并没有提出“数学素养”这一名词，只是讨论与数学素养相关的问题，如“双基”、三大能力培养；第二阶段，20世纪70年代到1983年以前，使用“数学素养”的名词，但没有给出明确的定义；第三阶段，1983年以后，国内将“数学素养”作为一个研究对象，直接讨论“数学素养”的含义。此外，何教授认为，数学素养还应分为不同的层次水平，包括数学过程与方法层次以及数学情感态度价值观层次，前者是通过数学学习过程，把握数学思想方法，形成数学能力，发展数学思维和数学意识，提高问题解决能力，积累教学活动经验；后者则是指个体对数学学科、数学活动、数学对象的兴趣爱好、立场观念等心理倾向。

3.教师专业发展的调查研究

关于教师专业发展的问题似乎已经数见不鲜，香港大学博士研究生鲁小莉另辟蹊径，从师徒制的角度对上海高中数学新教师的专业发展问题作了调查研究。她首先阐释了教师专业发展的定义，认为是教师在情境中的学习过程，并总结了其他研究者探索出的影响教师情境学习的各种因素，认为教师的情境学习可以从认知、建构主义、情境三个研究视角来切入。因此，她基于教师信念、教师知识、教师实践来刻画教师的专业发展，那么高中数学教师职初两年会在教师专业上获得哪些发展，师徒制在新教师专业发展过程中的作用是什么，有哪些其他因素会影响新教师的专业发展，这是她带给我们的问题。之后，她指出她以以学校、教师为单位的嵌入式案例研究和相关文件、半结构式访谈、观察等作为数据资源，并将上海作为抽样地点，选择不同区的重点高中以及高中新数学教师作为研究对象，她解释说这是为了保证研究具备强大的师资力量、良好的教师专业发展环境以及丰富的背景资源。经过研究，她发现不同的学校以不同的形式实施师徒制，不同教育背景的新教师的教师信念、教师知识以及教学实践等都会表现出不同的特点。最后，她希望所作的研究对教师学习理论、教师学习与社会文化因素之间的关系有一些理论指导的意义，在教师教育、新教师学习、指导教师工作与学习方面具有实践指导的意义。

4.高中数学教材试验研究

深受常州市科学教育研究院教研员孙福明的思想影响，人民教育出版社主任编辑俞求是向大家阐述了高中数学教材的试验研究，着重强调在新的课程标准下高中数学内容的顺序问题。他回顾了高中数学课程标准实验教材在试验期间亟须解决的一些问题，如必修模块的教学顺序问题，模块化教材的结构问题，映射、函数、反函数的数学问题，立体几何的结构与教学要求问题，极限概念与微积分初步的教学问题，初中数学和高中数学的衔接问题，内容多、课时紧的矛盾以及内容体系的其他问题，指出强调概述已有的研究，并对这些问题作进一步的研究和分析是他进行试验探究的初衷。他要在概述当前部分教材试验中存在的问题中，对这些问题给予进一步的分析，提出解决问题的对策，以期对课程标准、实验教科书的修订和完善有所启示。

有关必修模块的教学顺序问题，他指出，《普通高中数学课程标准（实验）》对必修的5个模块的教学顺序没有作出明确的规定，但这是高中数学教材试验期间必须要研究确定的问题，而且在教材试验中也出现了一些突出的问题，如某些地区连续三年按照不同的模块顺序进行教学，教师普遍认为不好把握这些模块的顺序。江苏省常州市教育局教研室教研员孙福明也指出，按照常规的理解，教材必修1～5的模块应是有顺序的，而且这种顺序应该体现编者的整体意图和编者对高中数学的整体认识，但课程标准制定组提出以数学模块1为基础，其余4个模块在不影响相关联系和知识储备的条件下，学校可以根据学生的选择和本校的具体情况进行安排，原则上没有顺序要求，而且纵观各地的教学秩序，几乎都回归到老教材原有的以学科体系为主的顺序，例如有些地方的教学顺序是必修14523，有些地方是必修15423等。他还表示说，在教材体系方面，知识块的前后位置不尽妥当，这会给教学带来不便，如三角知识安排在必修4及必修5中讲授，但必修2的立体几何及平面解析几何中都会用到三角知识，这就造成立体几何中对一般三角形的计算不能进行，而且高一物理学科也必须用三角知识。对此，俞求是阐述道，为了解决5个必修模块的教学顺序问题，许多教师也作了深入的研究，回顾数学1到5的必修模块的相关内容，认为这5个模块比较好的顺序为14523，同时，他认为这一教学顺序也有一个突出的问题，即课程标准提出的将算法思想贯穿于整个课程中的设想不能很好的落实，应在后续的教学中加以弥补。鉴于此，他认为，可调整必修2和必修3的顺序，按照必修数学14532的顺序进行教学，也可考虑把算法的基本内容提前教学来解决此问题。

除模块顺序的选择问题外，俞求是指出，教师还对改变高中课程模块化设置和调整教学内容的安排体系提出了意见。模块教学难以使青年教师系统、整体、有一定高度地把握教材，客观上会影响青年教师的培养，同时模块教学会关注一般学生的学习状态，但也会影响优秀学生对知识深刻与系统的认识和理解。孙福明教研员也如此认为。广东省深圳外国语学校教师谢增生也曾表示，高中教材亟待解决的一个问题是模块教学与知识体系的问题，模块教学要求小步走，螺旋式上升，这种做法会使知识体系被打乱，一种知识被分成几个不同的部分，分散于不同的模块，导致跳跃式地教授知识，也会使许多工具性的内容或后置或删除。对此，俞求是认为由于一个模块的课时限制会导致教材内容与结构的逻辑性大大降低，从而影响教和学，他猜测如果进一步把模块课时统一减少，会对教材内容的安排增加更多的困难，影响教材内容的系统性和逻辑性。

映射、函数、反函数的数学问题，这是俞求是认为的当前教材存在的第三个问题。映射和函数的安排顺序、反函数概念的数学要求问题是高中新数学课程教学研究和讨论较多的两个问题。安徽省萧县教育局教研室的吴仲奇指出，经过对比试验发现，“函数”与“映射”这两个概念的逻辑顺序与学生接受这两个概念的难易顺序并不一致。另外，对“函数”概念，新教材上给出的就是“映射”观点下的定义，从这个角度看，教师应先讲授“映射”的概念为宜。对学生来说，因为不能知其所以然，其学习兴趣明显不高。与此同时，新课程标准倡导合情推理与演绎推理相结合，对直线和平面平行、平面和平面平行等判定定理的处理仅仅通过操作确认而不加以证明，俞求是对这一点不敢苟同，他认为合情推理只是确认得到结论成立的一种猜测，结论的正确性与否还有待严格的证明。

针对1—6年级、7—9年级、10—12年级的数学课程实践，围绕数学课程对发展公民核心素养的责任与贡献、学生学习数学的特点与规律、数学课程内容的选择与呈现、数学课程教学的过去与现在等问题，众多的数学教育工作者与数学教师进行了深入的对话与交流，对我国数学课程的实施、数学教育的经验进行总结与反思，这一任务重大而艰巨，但在这么多的数学教育者的努力下，一定会将我国的数学教育做得越来越好。

（作者单位：北京师范大学历史学院）

（责任编辑：孙建辉）

4.高中数学教材试验研究

深受常州市科学教育研究院教研员孙福明的思想影响，人民教育出版社主任编辑俞求是向大家阐述了高中数学教材的试验研究，着重强调在新的课程标准下高中数学内容的顺序问题。他回顾了高中数学课程标准实验教材在试验期间亟须解决的一些问题，如必修模块的教学顺序问题，模块化教材的结构问题，映射、函数、反函数的数学问题，立体几何的结构与教学要求问题，极限概念与微积分初步的教学问题，初中数学和高中数学的衔接问题，内容多、课时紧的矛盾以及内容体系的其他问题，指出强调概述已有的研究，并对这些问题作进一步的研究和分析是他进行试验探究的初衷。他要在概述当前部分教材试验中存在的问题中，对这些问题给予进一步的分析，提出解决问题的对策，以期对课程标准、实验教科书的修订和完善有所启示。

有关必修模块的教学顺序问题，他指出，《普通高中数学课程标准（实验）》对必修的5个模块的教学顺序没有作出明确的规定，但这是高中数学教材试验期间必须要研究确定的问题，而且在教材试验中也出现了一些突出的问题，如某些地区连续三年按照不同的模块顺序进行教学，教师普遍认为不好把握这些模块的顺序。江苏省常州市教育局教研室教研员孙福明也指出，按照常规的理解，教材必修1～5的模块应是有顺序的，而且这种顺序应该体现编者的整体意图和编者对高中数学的整体认识，但课程标准制定组提出以数学模块1为基础，其余4个模块在不影响相关联系和知识储备的条件下，学校可以根据学生的选择和本校的具体情况进行安排，原则上没有顺序要求，而且纵观各地的教学秩序，几乎都回归到老教材原有的以学科体系为主的顺序，例如有些地方的教学顺序是必修14523，有些地方是必修15423等。他还表示说，在教材体系方面，知识块的前后位置不尽妥当，这会给教学带来不便，如三角知识安排在必修4及必修5中讲授，但必修2的立体几何及平面解析几何中都会用到三角知识，这就造成立体几何中对一般三角形的计算不能进行，而且高一物理学科也必须用三角知识。对此，俞求是阐述道，为了解决5个必修模块的教学顺序问题，许多教师也作了深入的研究，回顾数学1到5的必修模块的相关内容，认为这5个模块比较好的顺序为14523，同时，他认为这一教学顺序也有一个突出的问题，即课程标准提出的将算法思想贯穿于整个课程中的设想不能很好的落实，应在后续的教学中加以弥补。鉴于此，他认为，可调整必修2和必修3的顺序，按照必修数学14532的顺序进行教学，也可考虑把算法的基本内容提前教学来解决此问题。

除模块顺序的选择问题外，俞求是指出，教师还对改变高中课程模块化设置和调整教学内容的安排体系提出了意见。模块教学难以使青年教师系统、整体、有一定高度地把握教材，客观上会影响青年教师的培养，同时模块教学会关注一般学生的学习状态，但也会影响优秀学生对知识深刻与系统的认识和理解。孙福明教研员也如此认为。广东省深圳外国语学校教师谢增生也曾表示，高中教材亟待解决的一个问题是模块教学与知识体系的问题，模块教学要求小步走，螺旋式上升，这种做法会使知识体系被打乱，一种知识被分成几个不同的部分，分散于不同的模块，导致跳跃式地教授知识，也会使许多工具性的内容或后置或删除。对此，俞求是认为由于一个模块的课时限制会导致教材内容与结构的逻辑性大大降低，从而影响教和学，他猜测如果进一步把模块课时统一减少，会对教材内容的安排增加更多的困难，影响教材内容的系统性和逻辑性。

映射、函数、反函数的数学问题，这是俞求是认为的当前教材存在的第三个问题。映射和函数的安排顺序、反函数概念的数学要求问题是高中新数学课程教学研究和讨论较多的两个问题。安徽省萧县教育局教研室的吴仲奇指出，经过对比试验发现，“函数”与“映射”这两个概念的逻辑顺序与学生接受这两个概念的难易顺序并不一致。另外，对“函数”概念，新教材上给出的就是“映射”观点下的定义，从这个角度看，教师应先讲授“映射”的概念为宜。对学生来说，因为不能知其所以然，其学习兴趣明显不高。与此同时，新课程标准倡导合情推理与演绎推理相结合，对直线和平面平行、平面和平面平行等判定定理的处理仅仅通过操作确认而不加以证明，俞求是对这一点不敢苟同，他认为合情推理只是确认得到结论成立的一种猜测，结论的正确性与否还有待严格的证明。

针对1—6年级、7—9年级、10—12年级的数学课程实践，围绕数学课程对发展公民核心素养的责任与贡献、学生学习数学的特点与规律、数学课程内容的选择与呈现、数学课程教学的过去与现在等问题，众多的数学教育工作者与数学教师进行了深入的对话与交流，对我国数学课程的实施、数学教育的经验进行总结与反思，这一任务重大而艰巨，但在这么多的数学教育者的努力下，一定会将我国的数学教育做得越来越好。

（作者单位：北京师范大学历史学院）

（责任编辑：孙建辉）

4.高中数学教材试验研究

深受常州市科学教育研究院教研员孙福明的思想影响，人民教育出版社主任编辑俞求是向大家阐述了高中数学教材的试验研究，着重强调在新的课程标准下高中数学内容的顺序问题。他回顾了高中数学课程标准实验教材在试验期间亟须解决的一些问题，如必修模块的教学顺序问题，模块化教材的结构问题，映射、函数、反函数的数学问题，立体几何的结构与教学要求问题，极限概念与微积分初步的教学问题，初中数学和高中数学的衔接问题，内容多、课时紧的矛盾以及内容体系的其他问题，指出强调概述已有的研究，并对这些问题作进一步的研究和分析是他进行试验探究的初衷。他要在概述当前部分教材试验中存在的问题中，对这些问题给予进一步的分析，提出解决问题的对策，以期对课程标准、实验教科书的修订和完善有所启示。

有关必修模块的教学顺序问题，他指出，《普通高中数学课程标准（实验）》对必修的5个模块的教学顺序没有作出明确的规定，但这是高中数学教材试验期间必须要研究确定的问题，而且在教材试验中也出现了一些突出的问题，如某些地区连续三年按照不同的模块顺序进行教学，教师普遍认为不好把握这些模块的顺序。江苏省常州市教育局教研室教研员孙福明也指出，按照常规的理解，教材必修1～5的模块应是有顺序的，而且这种顺序应该体现编者的整体意图和编者对高中数学的整体认识，但课程标准制定组提出以数学模块1为基础，其余4个模块在不影响相关联系和知识储备的条件下，学校可以根据学生的选择和本校的具体情况进行安排，原则上没有顺序要求，而且纵观各地的教学秩序，几乎都回归到老教材原有的以学科体系为主的顺序，例如有些地方的教学顺序是必修14523，有些地方是必修15423等。他还表示说，在教材体系方面，知识块的前后位置不尽妥当，这会给教学带来不便，如三角知识安排在必修4及必修5中讲授，但必修2的立体几何及平面解析几何中都会用到三角知识，这就造成立体几何中对一般三角形的计算不能进行，而且高一物理学科也必须用三角知识。对此，俞求是阐述道，为了解决5个必修模块的教学顺序问题，许多教师也作了深入的研究，回顾数学1到5的必修模块的相关内容，认为这5个模块比较好的顺序为14523，同时，他认为这一教学顺序也有一个突出的问题，即课程标准提出的将算法思想贯穿于整个课程中的设想不能很好的落实，应在后续的教学中加以弥补。鉴于此，他认为，可调整必修2和必修3的顺序，按照必修数学14532的顺序进行教学，也可考虑把算法的基本内容提前教学来解决此问题。

除模块顺序的选择问题外，俞求是指出，教师还对改变高中课程模块化设置和调整教学内容的安排体系提出了意见。模块教学难以使青年教师系统、整体、有一定高度地把握教材，客观上会影响青年教师的培养，同时模块教学会关注一般学生的学习状态，但也会影响优秀学生对知识深刻与系统的认识和理解。孙福明教研员也如此认为。广东省深圳外国语学校教师谢增生也曾表示，高中教材亟待解决的一个问题是模块教学与知识体系的问题，模块教学要求小步走，螺旋式上升，这种做法会使知识体系被打乱，一种知识被分成几个不同的部分，分散于不同的模块，导致跳跃式地教授知识，也会使许多工具性的内容或后置或删除。对此，俞求是认为由于一个模块的课时限制会导致教材内容与结构的逻辑性大大降低，从而影响教和学，他猜测如果进一步把模块课时统一减少，会对教材内容的安排增加更多的困难，影响教材内容的系统性和逻辑性。

映射、函数、反函数的数学问题，这是俞求是认为的当前教材存在的第三个问题。映射和函数的安排顺序、反函数概念的数学要求问题是高中新数学课程教学研究和讨论较多的两个问题。安徽省萧县教育局教研室的吴仲奇指出，经过对比试验发现，“函数”与“映射”这两个概念的逻辑顺序与学生接受这两个概念的难易顺序并不一致。另外，对“函数”概念，新教材上给出的就是“映射”观点下的定义，从这个角度看，教师应先讲授“映射”的概念为宜。对学生来说，因为不能知其所以然，其学习兴趣明显不高。与此同时，新课程标准倡导合情推理与演绎推理相结合，对直线和平面平行、平面和平面平行等判定定理的处理仅仅通过操作确认而不加以证明，俞求是对这一点不敢苟同，他认为合情推理只是确认得到结论成立的一种猜测，结论的正确性与否还有待严格的证明。

针对1—6年级、7—9年级、10—12年级的数学课程实践，围绕数学课程对发展公民核心素养的责任与贡献、学生学习数学的特点与规律、数学课程内容的选择与呈现、数学课程教学的过去与现在等问题，众多的数学教育工作者与数学教师进行了深入的对话与交流，对我国数学课程的实施、数学教育的经验进行总结与反思，这一任务重大而艰巨，但在这么多的数学教育者的努力下，一定会将我国的数学教育做得越来越好。

（作者单位：北京师范大学历史学院）

（责任编辑：孙建辉）