目标导向 关注本质 才能使课堂变得简约而厚重———浙教版6.2节“线段、射线、直线”课例研究

●吴增生

(仙居教育局教研室 浙江仙居 317300)

浙教版教材把线段、射线、直线的内容安排在6.1节“几何图形”之后，是在学生经历了几何图形以及点、线、面、体等概念学习，初步从整体上认识几何图形后，在小学学习线段、射线、直线的基础上，进一步学习构成几何图形的一类基本要素——线段、射线和直线及其表示法.

1 课例再现

1.1 回顾旧知，引入新课

师:上一节课，我们学习了什么内容？

生1:几何图形.

师:几何图形是怎样来的?

生2：点、线、面、体(教师的提问学生无法回答，出现答非所问的情况).

师:我们知道，几何图形是从实际生活(更准确地讲是“实物”)中抽象出来的，那么线是怎样来的？

生(齐):点动成线.

师：对，线可以看成是由点组成的，生活中有各种各样的线(PPT展示生活中各种线的形象:直线形、曲线形),大家能把它们分分类吗？

(学生把这些线分成直线和曲线.)

师:小学阶段，我们学过什么线？

生(齐)：直线、射线、线段.

师:今天，我们将在小学学习的基础上进一步学习线段、射线和直线.

(板书课题.)

1.2 新课教学

(1)线段、射线、直线的辨析.

师:说说下面生活景象中的线段、射线和直线的形象(展示图片)：①筷子；②光柱；③笔直的铁轨.

(在学生说出后，教师追问为什么.)

生3：①线段，因为它不能无限延伸；②射线，因为它可以向一个方向无限延伸；③直线，因为它可以向2个方向无限延伸.

师:生活中还有哪些可以看作直线、射线和线段呢？

生4：课桌的边缘可以看作线段，光(应该是灯发出的光线)是射线，灯光向2个相反的方向射出可以看作直线.

师:你会画线段、射线和直线吗？

图1

(学生在黑板上画出如图1所示的3条线，教师对学生标注不清的地方进行说明.)

师:这3条线有什么区别？

教师引导学生列表比较,如表1.

表1 线段、射线、直线的区别

师:总结：线段有始有终，射线有始无终，直线无始无终，那么线段、射线、直线有什么关系呢？也就是说，线段怎样才能变成射线？怎样变成直线？

生5：线段去掉一个端点就变成了一条射线，线段去掉2个端点就变成了直线.

师:用粉笔为模型折掉一个端点,线段去掉一个端点就变成了射线吗？

生6：线段向1个方向无限延长就构成了射线、向2个方向无限延长就构成了直线.

(2)线段、直线、射线的表示.

图2

师:我们知道，可以用一个大写字母表示点(如图2)，也可以用这种方法对线段、射线、直线进行描述.因为线段的2个端点很特殊，有始有终，所以可以用2个大写字母表示.类似地，我们也可以用大写字母表示射线和直线，大家会吗？

请用文字语言和符号语言表示如图3所示的图形：

图3

师:为了交流方便，有时也用一个小写字母表示(如图4).

图4

师:在用2个字母表示线段、射线和直线时，要注意什么？它们有什么不同？请小组讨论.

生7(小组讨论2分钟后)：射线有次序，而表示线段和直线的2个字母的位置可以互换.

师:用大写字母表示时，有几个字母？

生(齐)：2个.

师:用小写字母表示时，有几个字母？

生(齐)：1个.

师(总结)：为了更好地交流，我们可以用图形、文字和符号表示线段、射线和直线(如表2).

表2 线段、射线和直线的3种语言表示

1.3 练一练

(1)请你表示图5中的线段.

图5 图6

生8:线段AB,BC,AC.

师(教师补充后面的“线段”2个字后)：能用一个小写字母表示吗？

生9:线段AB叫线段a,线段BC叫线段b，线段AC叫线段c.

(教师重新按照三角形对边与对角对应习惯让学生说出线段BC叫线段a，线段AC叫线段b，线段AB叫线段c.)

(2)在第(1)小题中，在AB上找一个点D，联结AD，则出现了哪几条新的线段(如图6)？

生10:线段AD,线段BD,线段CD.

(3)请用2种方法表示图7中的直线.

生11：直线OA,直线OB;或直线m和直线n.

图7 图8

(4)请你表示图8中以O为端点的射线.

生12:射线OA,OB,OC.

(教师提示学生在字母前要说明是线段、射线，还是直线.)

师:图8中射线AO与射线AC是同一条射线吗?

生13:不是.

生14：是.

(教师评价略).

师:以B为端点的射线有几条？

生15：2条.

1.4 探究基本事实

师:请画一画：过一点A能画几条直线？过点A,点B能画几条直线？由此有什么猜想？

生16：经过2个点只有1条直线.

师:对于直线，有以下基本事实：经过2个点有1条而且只有1条直线，或者说，2个点确定1条直线.能用这一事实解决一些问题吗？

(1)怎样种出一排笔直的树？

(2)要固定一根木条，至少需要几枚钉子，为什么？

1.5 课堂小结

师:今天我们学习了什么？

生17:线段、射线、直线；2个点确定一条直线.

师:怎样表示线段、射线和直线？表示时要注意什么？

生18:可以用2个大写字母表示，也可以用1个小写字母表示，用大写字母表示射线时要注意端点字母应写在前面.

2 课例的特点

2.1 通过丰富多彩的图形，让学生辨别线段、射线和直线的特点

在辨别曲线与直线中，在线段、射线、直线的举例说明中，教师都发挥了实物图片的作用，让学生直观地感受图形的特征；在区别线段、射线、直线的活动中，教师引导学生画出图形，结合图形思考它们的区别和联系.

2.2 重视3种语言的教学

数学具有自己独特的语言符号体系.文字语言、图形语言和符号语言是3种基本的语言，文字语言具有通俗性特点，图形语言具有直观性特点，符号语言具有准确性和简约性特点.课堂教学中，教师在引导学生明确线段、射线、直线的特点后重点进行了用3种语言表示线段、射线、直线的活动；通过列表比较用3种语言分别表示独立的点、线段、射线、直线等特点，帮助学生体会用大小写字母表示线段、射线、直线的方法和注意点;通过针对具体图形的表示练习，进一步巩固线段、射线、直线的表示方法，而且对其难点(用2个字母表示射线)和易错点(只写字母、忽略名称)进行了特别强调.不过,在本课，还是不要出现“文字语言、图形语言、符号语言”这几个词为好，因为学生不理解.

2.3 重视动手操作

在介绍线段、直线、射线的概念后，教师让学生自己画线段、射线和直线，从实践中体会这3种线的区别与联系；在探索“两点确定一条直线”这一基本事实活动中，引导学生经过1个点、2个点分别画直线,让学生充分体会经过1个点画直线能画出无数条，经过2个点画直线只能画出1条而且只能画出1条，为理解基本事实提供操作经验的支撑.

3 值得商榷的地方

纵观本课，整体感觉容量偏大，学生思考不够深入和从容,也就是说，课堂教学活动的设计不够简约，又因为缺乏基于数学内在逻辑的思考而显得不够厚重.

(1)学生在小学阶段已经初步学习过线段、射线和直线，知道线段、射线、直线的端点个数分别为2,1,0；射线可以向一端无限延伸，直线可以向2端无限延伸；线段可以量出长度，而射线、直线不能，但没有涉及到这3种线之间的关系.初中阶段学习线段、射线和直线与小学的主要区别是:初中阶段要让学生掌握基本事实“两点确定一条直线”,2种表示方法“用2个大写字母(或1个小写字母)表示线段、直线、射线”，理解射线和线段是直线的一部分.课例从回顾点、线、面、体以及点动成线出发，引导学生详细回顾了上一节课的相关知识，花了很多时间通过教师PPT展示、学生举例、画图操作等活动辨别线段、射线、直线，而真正用到重点内容“一个基本事实”、“2种表示方法”的学习时间(除去练习)不到15分钟.具体表现是引入新内容学习的“引子”太长，从开始到表1总结，大概用了10分钟，再加上在线段、射线、直线的联系教学中，出现了学生认识偏差(认为线段去掉1个端点就变成了射线、去掉2个端点就变成了直线)，教师进行矫正教学又花去了2分钟左右.很显然，前面的回顾与复习教学时间太长，占用了课内宝贵的时间(学生注意力最集中的时间)，使重点学习内容延迟到学生注意力消退期，课堂前半部分变得臃肿低效.

(2)课堂教学活动缺乏逻辑联系，缺乏基于数学内在逻辑的思考.本课教学很明显可以分成以下3个阶段：①复习旧知，引入新课阶段.这一阶段主要复习点、线、面、体,点动成线，线段、射线、直线的区别.②介绍线段、直线、射线的表示方法阶段.③探究“两点确定一条直线”基本事实阶段.复习旧知活动虽然松散冗长，但还是引入了线段、射线、直线这些研究对象，起着逻辑铺垫作用.“两点确定一条直线”这一事实是用2个大写字母表示一条直线的逻辑基础.因为点可以用一个大写字母表示，“两点确定一条直线”保证了经过2个点的直线的存在性和唯一性，是可以用2个大写字母表示直线的逻辑基础.数学中用一种符号表示某一对象，首先要保证符号所指的对象是存在的而且是唯一的.因此，把“两点确定一条直线”放到最后进行独立探究，就破坏了数学思考的内在逻辑性，课堂结构就变得像“水果拼盘”.

(3)缺乏能让学生理解概念本质的教学设计.在线段、射线、直线之间联系的教学中，当教师完成线段、射线、直线的辨别后，总结出“线段有始有终；射线有始无终；直线无始无终”，提出问题：线段、射线、直线有什么关系呢？也就是说，线段怎样变成射线？怎样变成直线？学生的回答是：把线段去掉1个端点后变成射线，把线段去掉2个端点后变成直线.学生的这一回答出乎教师的意外，教师用粉笔为教具，在掐掉端点后，指出还是线段，不是射线和直线.万一学生说教师掐去了一个点还有一个端点，教师怎么解释？其实，这个学生的思考是富有数学想象能力的，是根据教师给出的概念“射线是向1个方向无限延伸”、“直线向2个方向无限延伸”作出的判断.从点集的观点看，线段[a,b]去掉一个端点b后变成[a,b)，意味着线段可以无限接近端点b但始终不能到达b，从这一点看，是符合向1个方向无限延伸这一条件的.同样，线段去掉2个端点后，也具有向2个方向无限延伸的特点.可惜的是，教师没有认真倾听和理解学生的本意，没有发掘学生思维的闪光点，没有把握住极好的教育契机.事实上，问题出在学生对“无限延伸”意义理解的偏差，在线段、射线、直线中，所谓的“无限延伸”指的是向1个方向可以不断延长，要多长有多长；而学生的理解是“无限逼近”.当学生出现理解偏差时，教师用“掐去粉笔端点”演示说明不了任何问题，而应该先让学生说出自己的理解，问学生“你是怎样理解无限延伸的？”“从线段到射线和直线的无限延伸是什么意思？”通过引导学生正确理解从线段到射线和直线的“无限延伸”的本质含义，才能让学生在欣赏自己的数学想象力的同时对错误观念进行自我矫正.如果要回避出现这种理解偏差，只要采用先整体再部分的提问方式“线段、射线、直线有什么联系？给你一条直线，能得到射线和线段吗？这说明它们之间有什么关系”即可.

4 改进建议

从初中几何内容学习考虑，线段、射线、直线是在认识点、线、面、体的基础上对一类基本几何对象的研究.从学生的学习经验看，是在小学初步认识线段、射线、直线基础上的进一步研究，而本课内容的重点应该是基本事实和基本表示方法.基于此，本课教学应该是在引导学生回顾小学学习经验(线段、射线、直线的区别)基础上，学习基本事实和表示方法.“两点确定一条直线”是直线表示方法的基础；类似地，“2个端点确定一条线段”是线段表示法的基础，“端点和任意一点确定一条射线”是射线表示方法的基础.由于线段、射线是直线的一部分，并与直线相类似，因此，可以不必单独研究线段和射线的确定条件，只要让学生类比直线的表示方法，结合它们的区别即可.这样，就可以得到以下本课教学的基本思路.

4.1 回顾知识，提出问题

引言：点、面、体是几何的基本图形，在平面图形中，点和线是最基本的图形，是构成其他图形的基础.地图上的2个城市可以看作2个点，连接2个点之间的路径叫做线，线有曲直之分.本节课，主要学习线段、射线、直线及其表示方法.

问题1 在平面上画2个点，用字母表示它们，并用线段联结它们.

师生活动 教师引导学生先画出点，用字母表示(如点A,点B)，再用线段连接.

追问1 你能画出以A为端点的射线吗？你能画出经过点A,B的直线吗？

设计意图 通过画图引导学生回顾线段、直线和线段.为学习基本事实和线段、射线、直线表示法作铺垫.

问题2 小学中，已经学习过线段、射线、直线，你能说说它们的区别吗？

(问题2中的学习活动可以安排学生课前进行.)

师生活动 让学生独立回顾并整理相关知识，列表比较，完整说出自己的整理结果.

设计意图 回顾旧知，引出新知识.

追问1 给你一条线段，你是怎样画出射线和直线的？反之，如果给你一条直线，你怎样得到射线和线段？

追问2 直线、射线、线段有什么联系？

设计意图 让学生认识到射线、线段是直线的一部分.

4.2 探究事实，表示直线

问题3 想一想，在墙上用一枚钉能固定一根很长的木条吗？要想固定木条，至少需要几枚钉子？

画一画 在平面上先画一个点A，再画经过点A的直线，这样的直线有几条？

在平面上先画2个点A,B，再画经过这2个点的直线，这样能画出几条直线？

师生活动 教师引导学生边想边画，想画结合，体会基本事实.

追问 你能用自己的语言总结得到的结论吗？

师生活动 教师引导学生得出基本事实.

设计意图 通过生活经验和动手操作，让学生充分理解和体会基本事实.

问题4 因为经过2个点的直线有且只有1条，因此我们可以用这2个点的字母表示这条直线，把经过点A,B的直线叫直线AB.你能画出经过点C,D的直线并用2个字母表示吗？

师生活动 教师引导学生用2个字母表示直线.在此基础上介绍用一个小写字母表示直线的方法.

设计意图 在基本事实的基础上给出直线的2种表示法.

4.3 类比思考，表示射线和线段

问题5 我们知道，线段与射线是直线的一部分，与直线有联系也有区别，联结点E,F的线段有几条？你能分别用2个字母和1个字母表示这条线段吗？

师生活动 教师引导学生类比直线表示法用字母表示线段.

问题6 要确定一条射线，需要确定射线上哪几个点？你能画出一条射线并类比直线用字母表示吗？

师生活动 教师引导学生画出一条射线并类比直线用字母表示.

追问 射线OA与射线AO是同一条射线吗？为什么？在用字母表示射线时，与表示直线有什么相同点和不同点？

4.4 辨别应用，巩固新知

图9

(1)如图9，平面上有4个点A,B,C,D.

①过点A,C画直线；

②以A,B为端点画线段;

③以A为端点，画经过点D的射线;

④联结CD;

⑤请分别用2个字母和1个字母表示①～④得到的线.

(2)线段AB和线段BA,直线AB和直线BA，射线AB和射线BA分别都表示同一条线吗？

(3)要种出一排笔直的树林，怎么种？这样种的依据是什么？

师生活动 学生独立完成，教师组织评价和纠错.

4.5 总结提升，分享收获

(1)通过本节课的学习，你对线段、射线和直线有了哪些新的认识？

(2)你会用字母表示线段、射线和直线吗？它们的表示法有什么特点？

(3)直线的确定条件是什么？

(4)用字母表示线段、射线、直线有什么好处？

5 基于课例的思考

每一堂课都有特定的学习内容及学习目标，课堂教学设计只有基于特定的内容和目标，有侧重点地设计教学活动，才能使课堂变得简约高效.追求简约是数学本质的体现，真正有效的教学应该让学生简约而深刻地思考问题，突出教学重点.当前的课堂教学中，忽视目标现象并不少见.教师往往对教学内容和目标理解不到位，不能把握重点，把大量的课堂时间花在非核心内容上，顾左右而言他；甚至为了突出某一种理念或模式而忽视课堂教学的本来任务，这是造成课堂臃肿、浪费时间的主要原因.

在简约的课堂中引导学生自然、合理、深刻地思考，是实现课堂教学高阶认知目标的根本要求.这需要教师认真分析教学内容及学习目标，理解内容的数学本质，理清内容本身的逻辑关系，把握知识形成过程中的核心思维，并据此重点设计能体现数学育人价值、与内容和学情相匹配的认知操作活动系列，实现用较少的内容和活动承载更多数学教育价值，从而使课堂变得简约而厚重.