一题多解背后的形式化思考

●洪昌强 陈淑丽

(台州市第一中学 浙江台州 318000)

解题是数学学习的重要活动之一.在解题教学中，教师经常给学生提供较多的解题方法，试图通过一题多解，提高学生的解题能力，激发数学学习的兴趣.但往往事与愿违，教师的好意学生不但不领情，反而常常听到一些学生的抱怨：“这么多种方法，我都不知道该用哪一种，方法越多反而解题思路越混乱.”学生的抱怨值得反思：为什么教师提供多种解法反而造成茫然的感觉？在解题的教学中，是否仅仅是为了“多解”而“多解”?是否缺乏必要的反思和系统化的过程？人教A版《数学(必修4)》(以下简称教科书)导引所言：学习始于疑问,学而不思则罔.笔者以2013年浙江省数学高考理科第6题为例，谈谈对一题多解的一些思考.

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1 探索不同的解法

解法1 原式2边平方，得

由椭圆的定义得

则

图5 图6

解法5 如图6，由抛物线y2=4x知F(1,0)，|KF|=p=2，过点M作MD⊥x轴，垂足为D.设|MF|=d,则

图7

(2013年江西省数学高考试题)

由图7可知

即

解得

p=6.

3cos2α+4sin2α=0,

则

解法2 原式2边平方，得

3tan2α-8tanα-3=0，

解得

从而

解法3 先移项，再2边平方，解得

下略.

解法4 原式化简为

得

解法5 设x=cosα，y=sinα,由

得

下略.

解法6 对于解法5的方程组也可以从解析几何角度去审视.

图1 图2

从而

解法8 当α为锐角时，如图2，作Rt△ABD,其中∠ABD=90°,AB=2,BD=1,再作∠BAE=α,过点B作BC⊥AE,垂足为C,过点D作DE⊥AE,垂足为E,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则

∠DBF=α,

从而AE=AC+CE=AC+DF=

2 比较方法的异同

以上各种解法涉及到两角差的正(余)弦公式、同角三角函数关系式、向量的数量积、点到直线距离公式及勾股定理等知识.这些涉及到三角函数、解析几何、向量、平面几何等不同板块的不同解法，貌似没有什么联系，其实在这些知识背后都存在着逻辑联系.

3 探究知识间的联系

对于解法6，在单位圆中利用了点到直线之间的距离公式及直线斜率等知识，其中点到直线距离公式发挥了重要作用.那么，点到直线的距离公式能否由向量数量积导出呢？

又因为

所以

所以

即

3.3 方法简捷的根源在哪

图3

4 不该停止的思考

看似平淡的一道题，但平淡背后却蕴含着火热的思考.在解题的教学中,不能只停留在找到答案或得到泛泛的解题方法之上.教师必须站在更高的层面，以更宽的视野、更理性的眼光去思考数学问题、领悟数学哲理，然后引导学生对各种解题方法进行差异比较，追根求源.通过对问题的不断深入思考,让学生的思维触角从一题多解的背后延伸到台前,从而对数学知识的来龙去脉看得更清、把握更准,最终让学生站得更高、走得更远.