习惯不一定自然 常理不一定合理——记一道竞赛不等式证明题的困惑与收获

●江战明

(德清县高级中学 浙江德清 313200)

基本不等式在高中数学中的运用是广泛的，意义是重大的，特别是在比较大小、最值问题和不等式证明中,其快捷、高效的实用价值更是不言而喻.正是由于基本不等式的“屡试不爽”，以致于当基本不等式运用失效时，总会给人一种“难以置信”的错觉和“莫名”的困惑.下面以笔者亲历的一道不等式证明题为例，谈谈当基本不等式运用失效时，所采取的一些方法和措施，以期抛砖引玉，为不等式证明教学增添“色彩”.

1 案例呈现

在一次课外辅导后，有一名高二文科学生带来了一道不等式证明题，她觉得她的证明已经比较“巧妙”了，但不知道为什么结果“正好”与结论相反，因此她感到很困惑.具体问题如下：

给出学生的证明如下：因为a,b,c>0，所以

2 案例分析

其实在上述证明过程中，缩小3个因式分母的想法“没问题”，但用基本不等式逐个去缩小分母，确实会因为过度放大而导致证明无法完成，这意味着光靠基本不等式难以完成证明，需另辟蹊径.

3 案例研究

为了计算方便，把例1改写为：已知a,b,c∈R+，a+b+c=3，求证：

因为a≥b≥c>0,a+b+c=3,所以abc≤1，bc≤1，即4-4bc≥0，2a2-b2-c2≥0，从而f(a,x,x)-f(a,b,c)≥0成立，即f(a,b,c)≤f(a,x,x).

至此，问题终于得到了解决，但如此“有悖常理”的方法、如此复杂的计算，怎样去向高二文科学生解释呢？是否还有其他更为简单、自然的解法呢?于是笔者继续进行研究并查阅相关资料，终于功夫不负有心人，在茫茫题海中发现2011年浙江省高中数学竞赛附加试题的最后一题与本题相似．

下面给出原题及初等解法.

(2011年浙江省高中数学竞赛第22题)

成立，显然当a=b=c=1时等号成立.