数列求和的几种方法和技巧

童西香

【摘要】数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。对学生来说这部分是一个难点，但只要找准规律这类问题也就会迎刃而解，下面，就根据几个例题来谈谈数列求和的几种方法和技巧。

【关键词】数列前n项求和方法技巧

【中图分类号】G633.62 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）07-0152-02 一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1.等差数列求和公式：Sn=■=na1+■d

2.等比数列求和公式：Sn=na1 (q=1)■=■(q≠1)

3.Sn=■k=■n(n+1)

4.Sn=■k2=■n(n+1)(2n+1)

5.Sn=■k3=[■n(n+1)]2

二、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an).将Sn=a1+a2+…+an与Sn=an+an-1+…+a1两式相加,如果得到一个常数列,其和为A,那么Sn=■.

例1：已知f(x)满足x1,x2∈R,当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=■,若求Sn=f(0)+f■+f■+…+f■+f(1),n∈N,求Sn

由f(x1)+f(x2)=■知只要自变量x1+x2=1即成立,又知0+1=1·■+■=1,…,则易求Sn.

解：因为Sn=f(0)+f■+f■+…+f■+f(1),①

所以Sn=f(1)+f■+…+f■+f(0).②

①+②,得

2Sn=[f(0)+f(1)]+f■+f■+…+[f(1)+f(0)]

=■

=■(n+1).

所以Sn=■(n+1).

例2：求证：C■■+3C■■+5C■■+…+(2n+1)C■■=(n+1)2■

证明： 设Sn=C■■+3C■■+5C■■+…+(2n+1)C■■①

把①式右边倒转过来得

Sn=(2n+1)C■■+(2n-1)C■■+…+3C■■+C■■ （反序）

又由C■■=C■■可得

Sn=(2n+1)C■■+(2n-1)C■■+…+3C■■+C■■②

①+②得2Sn=(2n+2)(C■■+C■■+…+C■■+C■■)=2(n+1)·2n（反序相加）

∴Sn=(n+1)·2n

三、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。

例3：如已知数列{an}：an=(2n-1)·3n，求数列{an}前n项和Sn

解：Sn=1×31+3×32+5×33+…+[2(n-1)-1]·3n-1+(2n-1)·3n①

在上式两边同乘以等比数列{3n}的公比3，得

3Sn=1×32+3×33-5×34+…+[2(n-1)-1]·3n+(2n-1)·3n+1②

由①～②（两等式的右边错位相减）

2Sn=1×31+(3×32-1×32)+(5+33-3×33)+…+{(2n-1)3n-[2(n-1)-1]3n}-(2n-1)3n+1

=1×31+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)3n+1

=1×31+2(32+33+…+3n)-(2n-1)3n+1

=3+(3n+1-9)-(2n-1)·3n+1

=(2-2n)3n+1-6

∴Sn=(n-1)·3n+1+3

点评：在①式两边也可以同时除以等比数列的公比3，得到式子与①式错位相减也可求出Sn.

四、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

常见的裂项方法有：

1．■=■(■-■)

2．■=■(■-■)

3．■=■[■-■]

4．■=■(■-■)

例4：求数列■,■，…，■的前n项和

解：设an= ■=■-■(裂项）

则Sn=■+■+…+■（裂项求和）

＝(■-■)+(■-■)+…+(■-■)

＝■-1

五、分組法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例5：求数列的前n项和：1+1，■+4，■+7，…，■+3n-2，…

解：设Sn=(1+1)+(■+4)+(■+7)+…(■+3n-2)

将其每一项拆开再重新组合得

Sn=(1+■+■+…+■)+(1+4+7+…+3n-2)（分组）

当a＝1时， Sn＝n+■=■（分组求和）

当a≠1时，Sn＝■+■=■+■

点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

例6：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+cos178°+cos179°的值

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+cos178°+cos179°

∵cosn°=-cos(180°-n°)（找特殊性质项）

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°（合并求和）

＝ 0

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法。

例7：求1+11+111+…+■之和.

解：由于■=■×■=■(10k-1) （找通项及特征）

∴1+11+111+…+■

＝■(101-1)+■(102-1)+■(103-1)+…■(10n-1) （分组求和）

＝■(101+102+103+…+10n)-■■

＝■·■-■

＝■(10n+1-10-9n)

八、组合数法

原数列各项可写成组合数形式，则可利用公式C■■+C■■=C■■求解。

例8：求1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n的和

由1+2+3+…+n=■n(n+1)=C■■知可利用“组合数法”求和

解 Sn＝1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)

=1+3+6+■

=C■■+C■■+C■■+…C■■

=C■■+C■■+C■■+…C■■

=…

=C■■

=■n(n+1)(n+2)

数列求和问题,一般说来方法灵活多样,解法往往不止一种,很难说尽求全。本文中所介绍的这几种求和方法,主要是给出一些解题的思路和方法,若把握好解题思路,则可以熟练掌握数列求和的一般方法。