高数教学中如何培养学生的逆向思维和逻辑思维

杨年西

【摘要】高等数学中很多定理的逆命题往往是不成立的,但从数理逻辑理论分析，命题的逆否命题肯定是正确的，高数教学中教师通过对逆命题和逆否命题的讨论和讲解，不但能使同学能够对高等数学知识的掌握地更加牢固，而且更好地培养学生的逆向思维和逻辑思维.

【关键词】逆向思维；逆命题；逆否命题；逻辑思维

一、绪 论

我们知道，在数理逻辑中，原命题“若p，则q”，那么逆否命题“若 q，则 p”，逆命题“若q，则p”，但很多同学不完全很清楚，什么情况下命题为真命题，什么情况下为假命题，因为真命题有多种形式，给同学理解命题带来一定难度.在数理逻辑上命题为真有三种形式[参考文献1]：①若p为真，则q为真；②若p为假，则q为真；③若p为假，则q为假.命题为假只有一种形式：若p为真，则q为假.因为| -(p→q)( q→ p)，所以原命题和逆否命题是等价的，因为| -(q→p)( p→ q)，所以逆命题和否命题是等价的.从逻辑理论分析，需要证明一个定理为真，我们只要证明定理的逆否命题为真就行了.

思维又可分为顺向思维与逆向思维，如果把从A到B的思考问题的过程称为顺向思维，那么由B到A的反向思考问题的过程就是逆向思维[2].在高等数学教学过程中，讲解定理，要使同学更好地掌握定理，经常要分析定理逆命题和否命题是否成立，命题条件是否是充分必要条件.而大部分定理逆命题和否命题是不成立的.而又容易引起学生混淆，在高数中通过实例讲解来培养学生的逆向思维和逻辑思维.

二、高数中如何理解和应用一些定理的逆否命题

在数理逻辑上，命题和逆否命题是等价的，定理的逆否命题肯定是正确的，所以我们可以把定理的逆否命题不需证明，直接运用.例1：如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界[3]；那么它的逆否命题：如果数列xn无界，那么数列xn一定发散.例2：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则函数在该点必连续；那么它的逆否命题：函数y=f(x)在点x0处不连续，那么：函数在该点必不可导.通过两个实例，知道定理的逆否命题可以直接应用.

我们教学中要注重教导学生学会用逆否理论来证明一些命题，例3: 设级数∑∞n=1xn收敛，则必有limn→∞xn=0，它的逆否定理，若limn→∞xn≠0，则级数∑∞n=1xn发散；如证明级数∑∞n=1sinn发散，利用逆否定理证明它，因为 limn→∞sinn≠0，所以级数∑∞n=1sinn发散.在高数教学中，教导学生一些原定理和它的逆否定理是等价的，可以直接利用，借以培养和发展学生的灵活思维能力.

但有时候发现一些正确的命题，似乎逆否命题不正确.参考文献[4]所讨论问题:例4：若k<0，则方程x2+(2k+1)x+k=0必有两相异实根.但它的逆否命题：若方程x2+(2k+1)x+k=0没有两个相异实根,则k≥0.我们知道如果方程x2+(2k+1)x+k=0没有两相异实根，则Δ<0，由计算得Δ=4k2>0与要求Δ<0是否矛盾?因为方程x2+(2k+1)x+k=0没有两个相异实根条件是假的，所以结论Δ<0也是假的，根据“若假p，则假q ”是真命题.高数教学中，让学生掌握一些数理逻辑知识是必需的，充分的运用逻辑思维和方式来分析数学命题，才能更好地学习数学.

三、高数教学过程中如何理解和分析定理的逆命题和否命题

数学定理有可逆和不可逆的，教材中有的给出了逆定理，但有许多定理未讨论它的可逆性.经常提醒学生不要随意用定理的逆命题,我们都知道,高等数学中要证明一个命题是正确的,需要非常严密的论证过程,而要说明一个命题是错误的,只需举出一个推翻结论的例子即可,高等数学中很多定理的逆命题往往是不成立的，在关于定理的教学中，讲了定理后，常常要让学生思考逆命题是否成立.例5：如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界；它的逆命题：如果数列xn有界，那么数列xn一定收敛，如xn=sinn有界，但xn发散，所以逆命题是不正确的.例6：可导函数f(x) 的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点.在教学中，要教导学生反向思考，引导学生深入分析命题，不正确的逆命题，找出反例.充分地挖掘学生的思维潜力，促进学生思维能力的全面发展，达到提高学生数学能力和水平的目的.逆命题和命题的条件之间的关系，如果定理的逆定理成立，那么定理的条件是充分而必要.例如函数f(x)在x0处的极限存在，那么f(x)在x0处的左极限和右极限存在且相等；它的逆命题：f(x)在x0处的左极限和右极限存在且相等，那么函数f(x)在x0处的极限存在的，这个逆命题是正确的.如果定理的条件是充分而非必要时，这个定理的逆命题就不成立，如果定理的条件是充分而必要时，这个定理的逆命题是正确. 逆命题和否命题之间互为等价命题，在思考数学问题时，研究逆命题适当地注意从问题的反向或否定方面进行数学逆向思维，把握数学知识的内在联系，从而对数学知识和技能的掌握产生一个质的飞跃，数学中严谨的推理和一丝不苟的计算，使得每一个数学结论不可动摇. 四、结论与建议 一般情况下，在思考数学问题时，人们把习惯思维的方向叫作顺向思维，而与它相反的方向探索称为逆向思维，如果课本上的定理没有指出条件是充要的，一般说它的逆命题是不正确的，我们在教学中引导学生冲破僵硬的单向推理模式，适当地注意从问题的反向或否定方面进行数学逆向思维，如对高等数学中的定理的逆命题的思考，和采用证明逆否命题方式来证明定理，这样学生会更好地学习高等数学，也能够更好地培养他们的逆向思维和逻辑思维. 【参考文献】 [1]石纯一．数理逻辑和集合论[M]．北京：清华大学出版社，2002. [2]胡佑增．在高数教学中培养学生的逆向思维能力[J]．交通高教研，1995(2）：21～22. [3]同济大学数学系．高等数学(第三版)[M]．北京:高等教育出版社，2006. [4]金莹．逆否命题与原命题真假相同吗? [J]． 数学通讯，2007(7)：23～23.