利用单调性和微分中值定理证明不等式

唐晓芙

【摘要】本文用单调性和微分学中值定理对不等式给出了4几种证明证明方法，明确如何用微分中值定理、函数单调性证明不等式。提高了思维多样性和灵活性，从多方面分析并解决问题。

【关键词】不等式 中值定理 单调性 驻点

证明： 。

证明方法一：（利用罗尔定理）令

显然 在 上连续， 内可导，且有 ，

由罗尔定理可知

取 ，则有 ，

所以当 则有 即 ；

同理取 ，则有下列等式 ，

当 时，则有 ，即 ，即 ；

当 时， ，

综上所述，当 时，有 恒成立。

证明方法二：（利用拉格朗日中值定理）设函数 ，

令 ，得驻点 ，

显然当 时，有 ；

当 时，有 。

我们先考虑 ， 在 上连续， 内可导，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ，由上式推出 ；

再考虑 ， 在 上连续， 内可导，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ， ，由上式推出 ；又已知 ，

綜上所述，当 时，有 ，即 。

证明方法三：（利用柯西中值定理）取定函数 ， ， ，设 ，

显然 ， 在 上连续， 内可导，由柯西中值定理可知

，即 ，即 ；

又设 ，显然 ， 在 上连续， 内可导，

由柯西中值定理可知 ，

即 ，即 ；又已知 ，

综上所述，当 时，有 。

证明方法四：（利用函数单调性判别法）设函数 ，驻点 ，显然 在 上连续， 内可导，在 内显然有 ，由函数单调性判别法可知， 在 上单调增加，即有 ；

同理 在 上连续， 内可导，在 内显然有 ，由函数单调性判别法可知， 在 上单调减少，即有 ；又已知 ，

综上所述，当 时，有 ，即 。