分段处理思想在求解数学问题中的应用

康旺强

摘 要 分段处理法是数学分析中的一种重要的解题方法。分段处理法就是根据已知的条件将所要求解的式子或函数的定义域分成两段或几段，再对分段所得的结果求解，最后将每段解得的结果综合。数列极限问题、函数一致连续问题和定积分的计算问题中有广泛应用。

关键词 分段处理法 积分中值定理 数列极限 定积分

中图分类号：O172 文献标识码：A

Application of Segmentation Idea in Solving Mathematical Problems

KANG Wangqiang

（Lijiang College of Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541006）

Abstract Segmentation method is an important method of solving problems in mathematics analysis. The segmentation method is based on the conditions known take the domain of required formula or function into two or a plurality of sections， then solve every segmentation's problem and gather result of all each section finally. Segmentation method is widely used in the problem of sequence limit， uniformly continuous function and calculation of definite integral.

Key words segmentation method； integral mean value theorem； uniform continuity

0 引言

在很多数学分析的相关书籍与文献中，对于“分段处理法”都没有全面的介绍，本文运用举例说明的方法对能运用分段处理法解答的三种类型的题目做了一个总的概括。一是用定义证明数列极限的题目，将所要求的式子分段，再分别对分段所得的式子进行证明；二是证明函数一致连续的题目中，将原区间分成两个分区间，在分别证明该函数在这两个分区间上一致连续，从而由定理及相关推论知，该函数在整个区间上一致连续；三是在解答定积分的题目中，将积分区间分段，然后分别对函数在分段所得的积分区间内进行求解。

1 符号、基本定义与引理

本节我们主要介绍本文用到的主要术语与基本定义、定理及推论。

定义1 若 = 0，则称当→时为的高阶无穷小量，记作 （）= （ （））（→）

定义 2 设为定义在集合上的函数。若对任意>0 ，存在>0 ，任意，且∣∣<。有∣ （） （）∣<，则称 在集合上一致连续。

引理1 （归结原则）设函数 在（；）内有定义， （）存在的充要条件是：对任何含于（；）且以为极限的数列{}，极限 （）都存在且相等。

引理2 （积分第一中值定理）若在闭区间[，]上连续，则至少存在一点[，]，使得 （） = （）（）。

引理3 （推广的积分第一中值定理）若与都在闭区间[，]上连续，且 （）在[，]上不变号，则至少存在一点[，]，使得 （） （） = （） （）。

引理4 （stolz定理）设{}严格递增，且 = +；又 = 。则 = （其中可以是0、有限数或）。

2 分段处理法在解题中的应用

2.1 分段处理法在求数列极限中的应用

在关于数列极限的证明题中，为了要证明一个数列收敛，我们常常会将该数列拆分为两段（或几段）数列。一般地，对于其中一段（或几段）数列，通常是有界的，而另一段通常是无界的，然后再分别利用定义、性质或条件证明拆分后所得的数列收敛，进而得到整个数列收敛。在对数列进行拆分时，常常会用到“加一项，再减这一项”的方法。

例1 设{}是一数列，且 = 0，

证明 = 0。

证明：由 = 0有：对任意>0 ，存在>0，当>时，有∣∣<。记 = ∣∣，当>时，有

注意到： = 0。从而对上述>0 ，存在>0，当>时，有∣ ∣<。

取 = {，}则当>时，有∣∣< + <。由定义知， = 0。

从上述例题的证明过程中，我们发现，当我们要运用定义来证明关于数列极限的题目时，分段处理法起到了很大的作用。同样地，分段处理的思想方法也可以运用于函数极限的证明题中。

例2 设 （）= 0， （） （） = （）（>1），求证：（） = （）。

证明：由条件有得，对任意>0，存在>0，当0<∣∣<时，有 = 0，即∣0∣<∣∣·。

从而

令→+，由（） = 0及归结原则知，（） = 0。 ∣∣≤∣∣· + 0，即∣0∣≤ 。从而 = 0所以（） = （）。

2.2 分段处理法在一致连续上的应用

为了证明某函数（） 在区间上一致连续，通常将区间拆分为两个区间，，再分别证明该函数（）分别在区间，上一致连续，从而可得到该函数 （）在区间上一致连续。拆分所得的区间，可重叠，亦可不重叠。在具体的举例之前，我们需要以下定理。

定理1 设区间与区间为任意区间（， 可分别为有限或无限区间）， 在和上一致连续，且 ∩≠，则 在 = ∪上也一致连续。

证明：由于 在上一致连续，则对任意>0，存在>0，当，且∣∣<时，有∣ （） （）∣<。

由于 在上一致连续，故对上述>0，存在>0，当，且∣∣<时，有∣ （） （）∣<。取点∩，则且。所以 （）在处连续，所以对上述>0，存在>0，当∣∣<时，有∣ （） （）∣<。

故取 = {，，}，当，且∣∣<时，

1叭？或时，都有：∣ （） （）∣<。

2叭？，此时有：∣∣≤∣∣<<， ∣∣≤∣∣<<。则∣ （） （）∣≤∣ （） （）∣+∣ （） （）∣< + = 。

从而 （）在上一致连续。

定理2 设区间与区间为任意区间（，可分别为有限或无限区间）， 在 = 上连续且分别在和上一致连续，则在∪上也一致连续。

证明：由定理1，我们只要证明∩ = 的情形。

当（，）>0时，由于在上一致连续，则对任意>0，存在>0，当，且∣∣<时，有∣ （） （）∣<。由于 在上一致连续，故对上述>0，存在>0，当，且∣∣<时，有∣ （） （）∣<。

令 = （，），则可取 = {，，}，对任意，∪且∣∣< 时，若，不同时属于或，不妨设，，则∣∣≥（，）≥，与所要求的∣∣< 矛盾，故此种情况不存在。即，只能同时属于或。

则当，或时，都有：∣ （） （）∣<，所以当 （，）>0时， 在∪上一致连续。

若（，） = 0，则，有公共端点，设∩ = {}。不妨设位于的左边，位于的右边，则存在>0，满足（，） ，（，） 。

由于 在 = 上连续，且[，] ，则 [，]上一致连续。又因为∩[，]≠，所以 在∪[，]上一致连续。同理，由于∩[，]≠，所以 在∪[，]上一致连续。又（∪[，]）∩（∪[，]）≠，所以由定理1知，当（，） = 0时， 在（∪[，]）∪（∪[，]） = ∪上一致连续。

综上所述， 在∪上一致连续。

由定理2可得到推论3。

推论3 设区间与区间为开区间（，可分别为有限或无限区间），∩ = {}， 在 = 上有定义且 分别在和上一致连续，则 在 = ∪上也一致连续。

下面我们运用以上两个定理以及推论3来研究关于一致连续的证明问题。

2.2.1 区间没有重叠的情况

若区间为无限区间，即形如 = [，+）或（，+）。而在无限区间上又难以统一处理，所以转化为一个便于处理的无限子区间与剩下的有限闭区间上两部分问题分别处理。一般地可取一个正数划分[，+）为[， ]∪[，+）或（，+）=（，]∪[，+）），再分别证 在这两个区间上一致连续，同时要说明 在点处连续。由定理1得 在区间上一致连续。例3与例4就是运用定理1来证明。

例3 讨论 （） = （≥0，）在（0，+）上一致连续性。

解：（1）当0≤≤1时

1耙字？（）在上（0，1]一致连续。

2耙蛭？[1，+）时，由拉格朗日中值定理知，存在（， ），有∣ （） （）∣=∣ （）（）∣= ∣∣。

由于0≤≤1，， [1，+），（， ），所以有<1，即∣ （） （）∣≤ ∣∣。所以对任意>0，取 = ，只要， [1，+）且∣∣<，就有∣ （） （）∣≤ ∣∣<。由定义知， （） = 在[1，+）上一致连续。

由1埃？爸？≤≤1时， （） = 在（0，+）上一致连续。

（2）当>1时

1耙字？（）在（0，1]上一致连续。

2耙蛭盵1，+）时，存在>0，对任意>0，取 = ， = + ，尽管∣∣= → 0（→+），由拉格朗日中值定理知，存在（， + ），有∣ （） （）∣= ∣ （）（）∣= 。

又由于>1，所以>0，>≥1，所以有>，故 ∣ （） （）∣= ≥· = >1。即当→+时，∣ （） （）∣不趋向于0。故 （） = （>1）在[1，+）上不一致连续。

由1埃？爸保？时， （） = 在（0，+）上不一致连续。

综上所述，当0≤≤1时， （） = 在（0，+）上一致连续；当>1时， （） = 在（0，+）上不一致连续。

例4 证明 （） = 在[0，+）上一致连续。

证明：1坝捎？（） = 在[0，1]上连续，则 （） = 在[0，1]上一致连续。

2暗？[1，+）时，由拉格朗日中值定理知，存在（，），有

对于任意>0，取 = 2，对任意的，[1，+），只要∣∣<，就有∣∣≤<。

所以 （）= 在[1，+）上一致连续。

由1埃？暗？（）= 在[0，+）上一致连续。

例5 （）在[]，[]上分别一致连续，其中>，则 （）在[]上一致连续。

证明 由定理3可证。

2.2.2 区间有重叠的情况

前面阐述了区间没有重叠的情况，包括定理1与定理3出现的情况，现在研究区间有重叠的情况。这两种情况既有区别又有联系。后者是由前者引申得出的，在很多时候，两种情况都可相互转化，只是当把区间分为没有重叠的情况的时候，要处理好拆分所得的两个分区间的端点c，即要求点c连续，而区间有重叠的情况则不需考虑这一点。

例6 设 （）在[， +）上一致连续而（）在[， +）上连续，且（ （）（）） = 0。证明：（）在[， +）上一致连续。

分析：分别证（）在[， +1]， [，+）上一致连续。

证明：1坝捎冢ǎ┰赱， +）上连续，故（）在[， +1]上连续，从而（）在[， +1]上一致连续。

2坝桑？（）（）） = 0知：对任意>0，存在 >0，当，>且∣∣<时，有∣（ （）（））（ （） （））∣<。

又由 （）在[， +）上一致连续，故对上述>0，存在>0，

当，[， +）且∣∣<时，有∣ （）（ （）∣<。所以取 = {，}，当，[， +）∣∣<时，有

所以（）在[，+）上一致连续。

由定理2得（）在[， +） = [， +1]∪[， +） = [， +）上一致连续。

2.2.3 分段处理在定积分上的应用

我们常常利用定积分的性质求极限，而当被积函数含有三角函数，且这些三角函数又不是初等函数的时候，我们便可利用三角函数的周期性，将被积区间分段，进而再运用其他定义或性质进行计算或证明。

例7 证明 = 0。

注：这是著名的黎曼公式，证明这个公式的方法很多，在这里我们运用分段处理的方法来证明。

证明：对任意>0，因为

要证（） = 0，只要∣（）0∣= ∣（）∣≤。即∣（）∣≤。

两边取对数，有 （）≤ 。

取 = ，当>时，有∣（）∣<。

由迫敛性知， = 0。从而

0< = + < + = 2，

即∣0∣<2。所以 = 0。

从上述几个例子中，我们可得出运用分段处理法进行解题的一般思路。在用定义来证明数列收敛时，可用“加一项减一项”的方法，将所求的式子分成两部分，然后根据条件分别利用定义及性质证明其收敛，从而证明整个数列收敛。在证明函数一致连续的题目中，将函数定义域所表示的区间分成两个重叠或不重叠的分区间，然后分别证明该函数在这两个分区间内一致连续，从而得到该函数在两个分区间的并集上一致连续，即函数在整个定义域上一致连续；而在有关定积分的题目中，可根据一些已知条件或隐含条件（如三角函数的周期性），将积分区间分段，从而用定义及性质对分段所得的式子进行求解。

总之，分段处理法能使题目更易于处理，解题思路更为开阔。因此，分段处理法在解题中具有广泛的应用。

参考文献

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