几何直观：渗透数学思想方法的重要途径

居海霞

[摘 要] 国家检测试题导向和《课标》中提到的教材编写、设计试题等，都围绕着十个核心词，几何直观是其中之一. 几何直观的介入，可以扶持概念表述、丰盈计算算理、明晰解题思路，能帮助学生渗透相关的数学思想方法.

[关键词] 几何直观；渗透；思想方法

在2012国家基础教育质量监测中，有这样一道小学数学题：

下面4幅图中，阴影部分能用表示的是（ ）

这是一道几何直观题. 几何直观是2011年版《数学课程标准》中提出的十个核心词之一. 关于“十个核心词”，《数学课程标准》在第61页指出：“它们是义务教育阶段数学课程内容的核心，也是教材的主线. ”同时，在第59页指出：“在设计试题时，应该关注并且体现本标准设计思路中提出的几个核心词. ”可见，不管是国家检测试题导向，还是《课标》中提到的教材编写、设计试题等，都围绕着相关核心词. 几何直观作为其中之一，对学生数学思想方法的培养起着重要作用.

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，帮助学生直观地理解数学. 笔者试图从以下几方面阐述如何利用几何直观渗透数学思想方法.

几何直观——扶持概念表述

数的概念，比如小数、分数、百分数等，对于学生来说比较抽象，但借助几何直观，可以有效帮助学生构建概念.

夏青峰老师在“认识小数”一课中，是如下通过几何直观帮助学生构建“小数”概念的.

课中，师生一起得出：把整数“1”平均分成10份，其中的一份是0.1. （如图1所示）

接着，教师举了这样的反例和正例：

可以发现，第（1）（2）小题不是把整数“1”平均分成10份，所以其中的一份不能表示为“0.1”，第（3）小题是正例. 接下来，教师把图2中的（3）和之前的“0.1图”（图1）对比，学生发现表示0.1的两个图形不一样，但都表示把整数“1”平均分成10份，表示其中的一份. 这样，通过反例衬映、正例凸显，学生找到了“0.1”所表示的意义. 在此基础上，再将之前“0.1图”放大，启发学生思考：放大图中的阴影部分，表示的还是0.1吗？

这样，表示“0.1”的图可以不一样，也可以是同一幅图“放大”或“缩小”，但变来变去，部分与整体的关系不变，从而突出小数的概念本质. 这里，几何直观起到了视觉化、形象化的效果.

几何直观同样可以帮助学生认识分数、百分数等数的意义，如图4所示.

这里，第一个图表示了分数的意义，第二个图表示了百分数的意义，所以，在教学这些概念时，可借助几何直观，把抽象的概念变得简明. 同时，也可以通过几何直观设计如上述“国测”之类的习题，以考查学生是否将概念本质掌握到位.

几何直观——丰盈计算算理

首先，我们来看一看几何直观在计算算理中的应用. 比如，在小数乘法计算教学中，可以通过以下两种途径来帮助学生理解计算法则.

以0.15×3为例：

左图中，将整数1平均分成100份，其中1小格表示0.01，15小格表示0.15，3个0.15合起来是0.45. 右图中，先将整数1平均分成10份，每份表示0.1，3个0.1合起来是0.3；再将整体1平均分成100份，每份表示0.01，3个0.05，总共合起来0.45. 这里，借助几何直观用不同的方式呈现了乘法计算，“数”与“形”实现了完美统一，乘法法则也因此变得丰满起来.

其次，几何直观可以为学生发现计算规律积累经验. 在2013年全国第十一届深化小学数学教学改革观摩交流会中，来自北京的薛铮老师在“积的变化规律”一课的导入部分，就巧妙地运用了几何直观.

课中，教师创设了这样的导入情境：“一只小熊乘着热气球以同样的速度上升，小熊飞2秒、4秒、6秒、8秒，能飞多高？”

如图6所示，学生在具体情境中感悟到：在速度不变的情况下，上升的高度随着时间的变化而变化.

在此基础上，教师提出这样的问题：“如果10秒、20秒、30秒，乃至更多秒，会怎样？”引导学生思考其中的“变”与“不变”， 为接下来探索积的变化规律积累经验.

再者，几何直观可以为计算的多途径提供背景材料，如图7所示：

左边的方格图给学生提供了观察的背景材料，同时提供了想象的空间，将最底层的5个方格移1个给顶层，这样，每一层方块的个数相等（右图）. 从中，形象地得出了3+4+5=4+4+4=4×3，计算得以多途径，同时，学生也找到了此类计算的最佳方法.

以上所举，不管是计算法则，还是计算规律或计算多途径，本与图无关，但几何直观的介入，使计算的算理得以丰盈. 正如波利亚所说：“图形不仅是几何题目的对象，而且对于与几何图形一开始没关系的题目，图形也是一种重要的帮手. ”

几何直观——明晰解题思路

利用几何直观，在解决问题时可以使解题思路更加明晰. 张莉老师在“解决问题”一课中，运用几何直观，使得一些本来模糊的数量关系直观、明了.

例题 ？摇每个方阵有8行，每行有10人，3个方阵一共有多少人？

有这样三种算式：

（1）8×10×3=240（人）；

（2）3×8×10=240（人）；

（3）3×10×8=240（人）.

从题目的条件出发，前两个算式学生不难表述每一步所求，但第三个算式却很难用语言表述. 课中，教师及时提供了几何直观图（图8），使得学生对第三个算式的数量关系一下子就豁然开朗了.

把3个方阵看成1个整体，3×10表示的是整体中一行的人数，再乘8，表示方阵的总人数. 在这里，教者充分发挥几何直观在解决问题过程中的作用，利用直观来描述问题、解释算理，发展了学生几何直观能力和解决问题的能力.

利用几何直观，在解决问题中还可以帮助学生将思维变得有序、形象化. 在2013年全国第十一届深化小学数学教学改革观摩交流会中，来自安徽的喻巧月老师在“抢数”一课中，也正是通过几何直观帮助学生理解，将看不见的“数”转化为看得见的“形”，一步一步地找到“抢数”取胜的策略.

课中，师生从最简单的“抢3”开始研究，游戏规则为：两人从1开始轮流报数，每人最少报1个数，最多报两个数，谁抢到“3”谁胜. 在明确游戏规则后，师生开始分析并寻找策略，这时课件呈现相配合的线段图：

学生发现：对方报1个数，我就报2个数；对方报2个数，我就报1个数. 所以后报就一定能抢到3. 线段图的展示，比单一的、抽象的数来得形象、直观，便于学生理解、发现、体会、感悟解题策略.

在找到“抢3”取胜策略后，教师继续通过线段图启发学生寻找“抢6”的取胜策略.

这样，学生通过观察、比较，发现了“抢6”与“抢3”的联系，体验了化归的方法，并在此基础上进行猜想：用这样的方法抢下去，还能抢到几？这里，“几何直观”是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态. （蒋文蔚）

其实，不管是表征数学概念，还是丰盈运算算理，或是探索规律和解决问题，几何直观的介入，都是帮助学生渗透相关的数学思想方法，这正是《课标》之要求，也是今后考试评价之标向.