基于“卓越工程师”的高等数学课程教学案例分析

孙玉芹+刘建军+李康弟

摘 要：“卓越工程师教育培养计划” 是教育部率先启动的改革计划，依托这项改革，高等数学课程教学也需要进行改革。主要阐述了高等数学课程五个方面的教学案例，并介绍了一些试点改革的教学内容。

关键词：卓越工程师；高等数学；教学案例

中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2014）03-0028-03

“卓越工程师教育培养计划”（简称“卓越计划”）是我国由工程教育大国迈向工程教育强国的重大举措，旨在培养造就创新能力强且能够适应经济社会发展需要的高质量各类型工程技术人才，对提高工程教育人才培养质量具有十分重要的示范和引导作用[1]。作为第一批实施“卓越工程师教育培养计划”的高校之一，上海电力学院从各个层面开展了相关工作，其中核心变化体现在要求教师授课过程中必须要结合生产实践进行，课程内容要不断更新，更必须及时补充新理论和新技术、新材料和新方法，注重激发学生的求知欲和培养学生的动手能力。不仅要求学生掌握课本上的知识，还要追究和思考知识的背景、应用的条件以及存在的问题，力求做到学生毕业10年后还记得住知识的出处、查得着方法的应用、用得到具体问题的解决方法。

工程教育下的大学数学基础课包括高等数学等多门课程。其中作为通识教育重要组成部分的高等数学教学应如何改革？又怎样提高课堂教学质量和培养学生的动手能力？这些是我们每位大学数学教师深入思考和科学践行的问题。本文介绍一些教学案例和高等数学课程教学中的改革思路。

一、激发学生学习兴趣的案例

高等数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。一般的课堂上，教师习惯性地把多年对教学内容的理解娓娓道出，虽然具有精心设计的引入，但也存在诸多问题：学生思考得少，动手的机会不多，与教材对话的深度不够等。为克服这些缺点，我们根据不同的教学内容以研究式、案例式的教学方法开启一章的内容。以下分针时针的重合问题是学习函数与极限这一章的例题之一[2]。

案例一：分针时针的重合问题。在钟面上，一天之中零点和12 点对应的分针和时针重合，除此之外，分针时针还有哪些位置会重合？具体在什么时刻？

说明：因为时钟是生活中特别经常遇到的物体，所以学生充满了热情来解答这个问题，大家会各抒己见，用多种方法给出自己的答复，甚至有学生用心去观察，从钟面上看出答案。在高等数学课程进行到极限概念和极限运算法则之后，解答这个问题的方法可以如下。

解答：首先将钟面分为60格，分针1分钟转过1格，1小时转过60格，时针1小时转过5格。引入两个数列和一个数值的记号。

（1）分针的位置的数列 ；（2）时针的位置的数列

；（3）分针时针重合的位置α。

从k（k=1，2，…，11）点开始，分针的位置和时针的位置分别为：

分针和时针重复的位置 。

分别讨论k（k=1，2，…，11），得到每个小时内分针和时针都有一次重合，具体时刻是k点 分，一天之中，时针和分针共重合22 次。从本例的解题过程中，学生体会到了数学的妙用，体会到了感性思维和理性思维的交叉，体会到了极限过程的变化，体会到了极限值的含义。

案例二：函数的应用——上海出租车计价函数。

上海的出租车是计程和计时双功能型的，当车子行驶时度低于12公里时开始计算等候时间，每等候5分钟折算成1公里，按超里程基准单价计算，且没超过5分钟的等候也要根据公式计算，以下按照平均等候单价计算。计价器上不出现角和分，最后的结果四舍五入到元，即车费的最小单位是人民币1元。等候时间的单位是分钟，里程的精确度是百米。

白天运营时段为5：00—23：00，起步费14元（包括1元的燃油费），可运营3公里，超过3公里后每公里2.40元，总里程超过10公里后超过部分按每公里3.60元计算，平时每等候1分钟按0.48元计算。夜间运营时段为23：00—次日5：00，起步费18元（包括一元的燃油费），可运营3公里，超过3公里后每公里3.10元，总里程超过10公里后超过部分按每公里4.70元计算，平均每等候1分钟按0.62元计算。

以下里程变量记作s，等候时间变量记作t，出租车费用记作C，白天费用函数记作C1，夜间费用函数记作C2。则两个函数表达式分别为：

请学生计算下白天打车走13公里，且等候10分钟，需要花费车费多少钱？显然使用C1函数可计算得46.4，四舍五入后即46元。若这个路程是送行动不便的客人，回程路是继续打表还是重新打表划算呢？重新打表假设等候时间不变，则依然是46元，来回合计92元。倘若继续打表则最后付费的总里程是26公里，总等候时间是20分钟，利用C1函数计算可得应付费用为98元，比先前多付费6元。倘若是夜间这么来回的话，两次打表和一次打表的差额更大。

再请学生思考一个实际问题：在地面道路上行使的车辆由于红绿灯限制以及行人影响等原因，往往等候时间比较长，而高架道路虽然不会受到这些因素影响，但往往会绕路几公里，选择哪种道路作为行使路线划算呢？

学生认为这是一个能真实帮到自己决策的函数例题，在教学中选择一些这样的例题有助于提高他们实际问题的解决能力[3]。

二、培养学生思维能力的案例

高等数学的各章节知识内容之间构成了一个严密的逻辑系统。掌握好这样的逻辑很重要的一点是掌握概念。概念的教学无须完全重复前人的思维过程，应该能够简洁明了地指出概念的本质，建立必要的抽象概念也是思维过程锻炼中必需的项目。

案例三：级数求和问题。分别考虑级数

和级数1+2+4+8+16+…+2n+1+…的求和问题。

对于第一个级数，假设 ，两边同乘以2，可得

，

于是，有s=2。

但用同样的方法对第二个级数求和就会导致错误，过程如下：

假设t=1+2+4+8+16+…+2n+1+…，两边同乘以2，可得

2t=2+4+8+16+…+2n+2+…=t-1，

由此应有t=-1，这显然是荒谬的，原因在哪呢？

说明：前一个级数是收敛的，它的和s（也就是极限）真实存在，因此可以进行相应的运算；而后一个级数是发散的，它的和t（极限）本就不存在，当然不能再进行相关运算，如果硬去照搬形式进行运算的话，已经犯了逻辑错误，只能得出一个错误结论[4]。

三、培养学生动手能力的案例

高等数学中许多繁杂的推导可以利用计算机来完成，很多难以用手工绘制的图形同样利用计算机容易显示出来，这些特点给包括高等数学在内的许多课程的教学提供了有利影响。数学软件（如Matlab）有强大的数值计算能力，更具有作图能力强的特征。把使用数学软件的技能教给学生，能增强学生独立分析问题和检验问题的能力，加深对概念和理论的理解，轻松地弄懂艰涩抽象的数学知识，也能提高应用能力，增强学习效果，更为今后工程运算能力打下坚实的基础。这是工程教育下的对学生解决问题的能力和动手操作能力的很重要的培养。下面案例结合使用Matlab软件进行操作。

案例四：在同一坐标系下画出函数f（x）=ex及在x=0处的2次、4次、6次泰勒多项式，并探究自然对数的底数e的两种算法在趋近效率上的差异。

在Matlab命令窗口编程如下：

>>x=-1：0.1：4；

>>f=exp（x）；

>>t2=1+x+x.^2/2；

>>t4=1+x+x.^2/2+x.^3/6+x.^4/24；

>>t6=1+x+x.^2/2+x.^3/6+x.^4/24+x.^5/120+x.^6/720；

>>plot（x，f，'k'，x，t2，'b'，x，t4，'y'，x，t6，'r'）

运行结果在图中由下而上蓝黄红三条曲线分别对应了2次、4次、6次泰勒多项式的曲线，而最上面的黑色曲线则是指数函数f（x）=ex的图象，显然泰勒多项式幂次越高越好地接近了指数函数。这个图象的描述比空洞的语言描述来得一目了然，也教给了学生一个自己进行比较的技能。

另外e存在两种算法，一种是 ，另一种是 ，两种算法的趋近效率有何差异呢？

这里的第一种算法就是上面所采用的方法，而第二种算法则是高数第一章的两个重要极限之一，两种方法计算的数值过程都借助于计算机完成。思路是设定循环运算，并确定该循环停止的条件，如前后值的绝对值小于百分之一。比较两种算法所耗费的循环步数，比较可知，前一种方法的逼近效率较高[5]。

说明：工程教育要培养的人才要在“做中学”，即在做数学的过程之中学会思考以达到个人能力的提高。要进入解决实际问题的全过程， 通过亲自建立数学模型，建立解题思路，挑选可以使用的数学软件，求解结果，并能对结果进行合理解释，如果出现结果与事实不符的情况，要能寻找原因以求改进， 在体会数学解决问题的整个流程中， 有失败有成功最终发展自己的综合实力。

四、培养学生综合素质的案例

巧妙设置第二课堂，布置一些看似可以用其他方法解决的数学问题。如定积分的概念教学中，首先让学生看三张图片，一张是上海电力学院地图，一张是办公室日常摆放的花瓶，一张是小桥的闸门，然后布置给学生算出校园的面积，或计算这个花瓶容积，或测量这个闸门所受的压力。对这些常见的物体，一般学生不会想起来拿它们当目标去做一些数学。

为尝试计算校园面积，有学生在课余时间内利用测量工具对校园进行了估算，显然不够精确。回到课堂上以后，我们提出首先将校园边界曲线进行模拟，不妨记作函数y=f（x）。设想在校园的平面图上作互相垂直的网格线，得到系列长方形、正方形及一种特定的不规则图形（这里引入曲边梯形概念）。为计算曲边梯形面积，进一步分析“分割——取近似——求和——取极限”这个过程，这个分析问题、解决问题的过程实际上是对学生综合素质的培养过程。这正是定积分的核心思想，也就是微元法思想，真正掌握了这个思想，对今后学习多元积分（重积分，线面积分）有着很大的帮助。为增加科学计算能力以及工程实践能力的培养，下面的例题是应用Matlab软件进行操作的实例。

案例五：求图形面积。不规则图形由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成。

解法一：利用定积分定义的方法，将图形分割，近似计算其中小矩形的面积，并求和。多次改变分割的细密程度，利用计算机求和，观察结果。

解法二：在Matlab命令窗口编程，

>>x=0：0.1：9；

>>plot（x，x-4，'b'，x，sqrt（2*x），'r'，x，-sqrt（2*x），'r'）

%画出积分区域图形

>>grid on

>>[x，y]=solve（'y^2-2*x=0'，'y-x+4=0'）

%计算两曲线的交点

x=

8

2

y=

4

-2

>>syms y

%选取积分变量y

>>int（y+4-y^2/2，-2，4）

%确定积分上下限与被积函数进行积分计算面积

ans =

18

说明：第一种方法学生进行了大量的计算，目的是在反复改变划分细密程度的过程中，让学生感受极限过程。由于反复计算最后找到一个在固定数值附近变化的值，本题的结果为接近18的数，让学生感受到了极限的本质。这里还可以拓展其他一些定积分的近似计算方法，如辛普森法、Monte Carlo法等。第二种方法是直接调用软件的命令，容易上手，计算快，在工程计算中可以直接使用，这里也是能力的培养。

五、衡量学生工程素质的案例

在当今工业化和信息化时代各行各业急需各类应用型、行业特色型人才。为适应这一人才培养目标，高等数学教学体系应凸显实践性，但仅仅在教学过程中使用计算软件还不够，还要有配套的考核机制。我们采用上机完成大型作业和撰写小论文等形式考核并计入总成绩，最后学生的高等数学成绩由笔试和大型作业等多个数据按比例合成。下面略举两例，不作详细解释。事实上，在实践中，我们给出了近百个这样的问题，学生也常常能写出不错的小论文，有些想法非常实用，有些想法非常新颖。

案例六：罐装饮料罐的外形设计。

要求学生具体测量某品牌饮料罐的直径、高度，饮料的容积，饮料罐的体积，顶盖和侧边的厚度等数据。应用高等数学知识分析该饮料罐的优化成分体现在哪些方面，是否可以采用其他外形或有没有更好的设计，给出翔实的理由。

案例七：方桌问题。

在不十分平坦但光滑的地面上，能否将四条腿的方桌放平稳，不允许将桌子移到别处，但允许绕其中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时着地？已知方桌的四条腿一样长，且着地时底部构成正方形。

六、高等数学教学内容的改革尝试

上海电力学院采用的是同济大学数学系编写的《高等数学》第六版教材。为增强“卓越”班学生的动手能力，压缩部分理论推导内容的教学课时，调整为使用Matlab数学软件演示该内容在工程计算等相关问题实践中的应用。如在《高等数学》上册的“函数与极限”这一章，弱化函数各种性质的理论推导，采用Matlab数学软件的图像功能，演示函数的图像，并通过图像分析函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质。在“导数与微分”这一章，弱化可微性的详细讨论，演示利用微分的近似计算和求方程的近似解，扩充迭代法解线性或非线性方程。在“微分中值定理与导数的应用”这一章，略去中值定理的详细证明，补充演示零点定理在解线性方程和非线性方程中的重要作用。加强经济效益等问题在一元函数极值、条件极值等方面的应用。在“定积分及其几何应用”这一章，略讲定积分的概念和分析，补充演示辛普森法、Monte Carlo法计算不规则图形面积，旋转体体积等。在《高等数学》下册的“微分方程”这一章，补充演示机械振动（包括简谐振动、振动合成、阻尼振动、受迫振动等）模拟。在“无穷级数”这一章，略讲Fourier级数的理论计算和收敛性详细讨论，演示各种函数用Fourier级数逼近的情况。增加通过数学软件求多元函数极值和条件极值的方法。

通过对教学内容的调整，使高等数学课成为一门既普及高等数学知识，又培养数学建模能力，并重视数值计算与编程的学科，最终目的是加强学生的创新能力、科学计算能力以及工程实践能力。

参考文献：

[1]马晓峰，毕渔民.“卓越工程师教育培养计划”视阈下的

大学数学教学模式构建[J].黑龙江高教研究，2012，

（10）.

[2]崔海英，侯文宇，李林杉.把数学建模融入高等数学教学

中的两个案例[J].北京联合大学学报：自然科学版，

2010，（1）.

[3]龙薇.将数学建模思想渗入高等数学教学的思考[J].黑

龙江科技信息，2008，（36）.

[4]王晓东，史丽敏，刘林.高等数学教学与创新能力培养

[J].新乡学院学报：自然科学版，2012，（6）.

[5]杜凤英，钱靖.基于R软件的数学实验在高等数学教学

的应用[J].产业与科技论坛，2009，（3）.

五、衡量学生工程素质的案例

在当今工业化和信息化时代各行各业急需各类应用型、行业特色型人才。为适应这一人才培养目标，高等数学教学体系应凸显实践性，但仅仅在教学过程中使用计算软件还不够，还要有配套的考核机制。我们采用上机完成大型作业和撰写小论文等形式考核并计入总成绩，最后学生的高等数学成绩由笔试和大型作业等多个数据按比例合成。下面略举两例，不作详细解释。事实上，在实践中，我们给出了近百个这样的问题，学生也常常能写出不错的小论文，有些想法非常实用，有些想法非常新颖。

案例六：罐装饮料罐的外形设计。

要求学生具体测量某品牌饮料罐的直径、高度，饮料的容积，饮料罐的体积，顶盖和侧边的厚度等数据。应用高等数学知识分析该饮料罐的优化成分体现在哪些方面，是否可以采用其他外形或有没有更好的设计，给出翔实的理由。

案例七：方桌问题。

在不十分平坦但光滑的地面上，能否将四条腿的方桌放平稳，不允许将桌子移到别处，但允许绕其中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时着地？已知方桌的四条腿一样长，且着地时底部构成正方形。

六、高等数学教学内容的改革尝试

上海电力学院采用的是同济大学数学系编写的《高等数学》第六版教材。为增强“卓越”班学生的动手能力，压缩部分理论推导内容的教学课时，调整为使用Matlab数学软件演示该内容在工程计算等相关问题实践中的应用。如在《高等数学》上册的“函数与极限”这一章，弱化函数各种性质的理论推导，采用Matlab数学软件的图像功能，演示函数的图像，并通过图像分析函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质。在“导数与微分”这一章，弱化可微性的详细讨论，演示利用微分的近似计算和求方程的近似解，扩充迭代法解线性或非线性方程。在“微分中值定理与导数的应用”这一章，略去中值定理的详细证明，补充演示零点定理在解线性方程和非线性方程中的重要作用。加强经济效益等问题在一元函数极值、条件极值等方面的应用。在“定积分及其几何应用”这一章，略讲定积分的概念和分析，补充演示辛普森法、Monte Carlo法计算不规则图形面积，旋转体体积等。在《高等数学》下册的“微分方程”这一章，补充演示机械振动（包括简谐振动、振动合成、阻尼振动、受迫振动等）模拟。在“无穷级数”这一章，略讲Fourier级数的理论计算和收敛性详细讨论，演示各种函数用Fourier级数逼近的情况。增加通过数学软件求多元函数极值和条件极值的方法。

通过对教学内容的调整，使高等数学课成为一门既普及高等数学知识，又培养数学建模能力，并重视数值计算与编程的学科，最终目的是加强学生的创新能力、科学计算能力以及工程实践能力。

参考文献：

[1]马晓峰，毕渔民.“卓越工程师教育培养计划”视阈下的

大学数学教学模式构建[J].黑龙江高教研究，2012，

（10）.

[2]崔海英，侯文宇，李林杉.把数学建模融入高等数学教学

中的两个案例[J].北京联合大学学报：自然科学版，

2010，（1）.

[3]龙薇.将数学建模思想渗入高等数学教学的思考[J].黑

龙江科技信息，2008，（36）.

[4]王晓东，史丽敏，刘林.高等数学教学与创新能力培养

[J].新乡学院学报：自然科学版，2012，（6）.

[5]杜凤英，钱靖.基于R软件的数学实验在高等数学教学

的应用[J].产业与科技论坛，2009，（3）.

五、衡量学生工程素质的案例

在当今工业化和信息化时代各行各业急需各类应用型、行业特色型人才。为适应这一人才培养目标，高等数学教学体系应凸显实践性，但仅仅在教学过程中使用计算软件还不够，还要有配套的考核机制。我们采用上机完成大型作业和撰写小论文等形式考核并计入总成绩，最后学生的高等数学成绩由笔试和大型作业等多个数据按比例合成。下面略举两例，不作详细解释。事实上，在实践中，我们给出了近百个这样的问题，学生也常常能写出不错的小论文，有些想法非常实用，有些想法非常新颖。

案例六：罐装饮料罐的外形设计。

要求学生具体测量某品牌饮料罐的直径、高度，饮料的容积，饮料罐的体积，顶盖和侧边的厚度等数据。应用高等数学知识分析该饮料罐的优化成分体现在哪些方面，是否可以采用其他外形或有没有更好的设计，给出翔实的理由。

案例七：方桌问题。

在不十分平坦但光滑的地面上，能否将四条腿的方桌放平稳，不允许将桌子移到别处，但允许绕其中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时着地？已知方桌的四条腿一样长，且着地时底部构成正方形。

六、高等数学教学内容的改革尝试

上海电力学院采用的是同济大学数学系编写的《高等数学》第六版教材。为增强“卓越”班学生的动手能力，压缩部分理论推导内容的教学课时，调整为使用Matlab数学软件演示该内容在工程计算等相关问题实践中的应用。如在《高等数学》上册的“函数与极限”这一章，弱化函数各种性质的理论推导，采用Matlab数学软件的图像功能，演示函数的图像，并通过图像分析函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质。在“导数与微分”这一章，弱化可微性的详细讨论，演示利用微分的近似计算和求方程的近似解，扩充迭代法解线性或非线性方程。在“微分中值定理与导数的应用”这一章，略去中值定理的详细证明，补充演示零点定理在解线性方程和非线性方程中的重要作用。加强经济效益等问题在一元函数极值、条件极值等方面的应用。在“定积分及其几何应用”这一章，略讲定积分的概念和分析，补充演示辛普森法、Monte Carlo法计算不规则图形面积，旋转体体积等。在《高等数学》下册的“微分方程”这一章，补充演示机械振动（包括简谐振动、振动合成、阻尼振动、受迫振动等）模拟。在“无穷级数”这一章，略讲Fourier级数的理论计算和收敛性详细讨论，演示各种函数用Fourier级数逼近的情况。增加通过数学软件求多元函数极值和条件极值的方法。

通过对教学内容的调整，使高等数学课成为一门既普及高等数学知识，又培养数学建模能力，并重视数值计算与编程的学科，最终目的是加强学生的创新能力、科学计算能力以及工程实践能力。

参考文献：

[1]马晓峰，毕渔民.“卓越工程师教育培养计划”视阈下的

大学数学教学模式构建[J].黑龙江高教研究，2012，

（10）.

[2]崔海英，侯文宇，李林杉.把数学建模融入高等数学教学

中的两个案例[J].北京联合大学学报：自然科学版，

2010，（1）.

[3]龙薇.将数学建模思想渗入高等数学教学的思考[J].黑

龙江科技信息，2008，（36）.

[4]王晓东，史丽敏，刘林.高等数学教学与创新能力培养

[J].新乡学院学报：自然科学版，2012，（6）.

[5]杜凤英，钱靖.基于R软件的数学实验在高等数学教学

的应用[J].产业与科技论坛，2009，（3）.