浅谈二次函数在中考题中的综合运用

张仲义

摘 要：二次函数在现实生活当中有比较广泛的应用，也是最近几年中考的重要考点之一。对于二次函数的学习，有利于学生建立起函数方程、数形结合等重要数学思想，可以拓展学生的解题思路，对于中学生智力的发展以及思维能力的培养等都有着相当重要的意义。

关键词：二次函数；中考题；综合运用

对于初中数学的教学而言，二次函数是教学内容

的重点和难点，凡是与二次函数相关的综合题型都是

中考中常见的题型，而和二次函数相关的题也常常会被作为压轴的题型出现在卷面上。很久以来，二次函数都是中考命题的一大热点，它的灵活性比较大，涉及的知识面也比较广，能够同其他的知识紧密地联系起来。

一、关于特殊的二次函数解析式

（2012年 广西柳州的中考题）已知：抛物线y=■（x-1）2-3.

（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；

（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；

（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式.

经过分析，可以得出，在解第一问的时候需要根据二次函数的性质确定其开口的方向和对称轴；第二问首先需要根据a为正数的时候确定其最小值，然后再根据函数的解析式将最小值求出来；第三问首先需要确定P、Q两点的坐标，然后再根据待定系数法求出函数的解析式。

二、二次函数和几何的组合

（2012年 广东省模拟试题）如图1，已知抛物线y=-■x2+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B.

（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；

（2）设P（x，y）（x>0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值

范围；

（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值.

解这道题的时候，令x=0，代入式中就可以求出B点的坐标为（0，4），令y=0代入式中就可求出A点的坐标为（4，0）.然后再设AB的解析式为y=kx+b，代入A、B点坐标就可以得出k值为-1，b值为4，所以AB的解析式为y=-x+4.当点P（x，x）在直线AB上时，可解出x=2，当点Q（■，■）在直线AB上时，可解出x=4.所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，那么2≤x≤4.当点E在直线AB上时，点F也在直线AB上，那么■=-x+4，所以x=■.当2≤x≤■时，直线AB分别与PE、PF相交，交点设为C、D，所以有，PC=x-（-x+4）=2x-4，因为PD=PC，

所以S△PCD=■PC2=2（x-2）2，S=■x2-2（x-2）=-■x2+8x-8=-■（x-■）2+■.

又因为2≤■≤■，所以当x=■时，Smax=■；当■≤x≤4时，直线AB与QE、QF分别相交，交点设为M、N，那么QN=（-■+4）-■=-x+4，因为QM=QN，则S△QMN=■QN2=■（x-4）2，S=■（x-4）2，所以，当x=■时，Smax=■。在这道题中的第三问就是我们所说的最值问题。

作为数形结合的综合性题型，用二次函数来压轴可以开阔学生的知识视野，能够将学生学习知识的全面性和系统性充分考查出来，并且，对于学生的想象力以及逻辑思维能力的培养也起着相当重要的作用，可以帮助学生培养分析问题、解决问题的能力。对于数形结合的综合运用题型，笔者认为，应该充分利用所学的知识点，采取各个击破的办法解决问题。

参考文献：

[1]戎利君，卢万兵.二次函数测试题[J].数学大世界：初中生数学辅导版，2012（Z1）.

[2]张宏亮.二次函数考点“直通车”[J].语数外学习：初中版九年级，2013（Z1）.

[3]王晓春.注重对称性在二次函数中的应用[J].考试：中考版，2012（11）.

（作者单位 福建省泉州市惠安县岞港中学）