反例在《线性代数》教学中的运用

潘大勇 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

反例在《线性代数》教学中的运用

潘大勇 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

《线性代数》中的概念十分抽象。为了加深对《线性代数》的概念理解，结合反例，从不同角度阐明概念的实质，呈现概念的正反例证让学生进行辨别判断。教学中适当引入反例，既能增强学生理解概念的准确性、深刻性、灵活性和批判性，又能培养学生的探究精神、提高抽象思维能力和创新意识。

《线性代数》；反例；概念

《线性代数》是一门理工农、经济、管理等专业广泛开设的公共基础课。学生普遍感觉《线性代数》概念众多而且相当抽象，富有挑战性。如何把学术形态的知识转化为教学形态的知识，“化冰冷的知识为火热的思考”，教学中必须遵循教学规律和原则[1]。为了加深对《线性代数》的概念理解，结合反例，从不同角度阐明概念的实质，呈现概念的正反例证让学生进行辫别判断，从而避免出现一些似是而非的错误，对培养学生的抽象思维能力和创新意识大有裨益。通过反例，学生也会培养和增强学习的反思能力❶长江大学精品课程建设项目(2012年)。。

1 构造反例，加深学生理解概念的准确性和深刻性

数学概念的抽象性往往会影响学生的准确理解和把握，如果只是死记硬背，就不能很好地抓住概念的本质，由此还会产生模糊的认识。矩阵是线性代数的核心概念之一，尽管矩阵的运算和性质与数的运算和性质有很多相似之处，但是它们也有很多不同的性质，并不能简单的类比。矩阵本质是一个数表。零矩阵是所有元素都是0的矩阵，记为O，但必须注意零矩阵和数0是完全不同意义的2个概念。在实数中，0是一个数，是介于正数和负数之间的一个中性数。零矩阵严格说，在一般情况下并不是一个确定的矩阵，而是代表一类矩阵，是一类矩阵的统称。对数而言，0就是0，0=0，但对2个零矩阵，如果不是同型矩阵，则当O代表矩阵时O=O未必成立，这里笔者可以给出以下反例：

显然，OA≠OB。这对加深理解矩阵的加、减运算要求矩阵是同型矩阵这个条件是有帮助的，同时也能说明在矩阵运算中，一般而言，A-A=O是不对的，除非这里O是与A同型的矩阵。

2 构造反例，加强学生思维的缜密性和培养学生的批判能力

对于任意2个数a,b，乘法交换律成立，即ab=ba。对于矩阵乘法而言，与数的乘法有着截然不同的性质，这是因为矩阵乘法的意义和数的乘法的意义不同。因此，数的乘法交换律成立，但不意味矩阵乘法的交换律AB=BA总成立。这里有2方面的原因，一是矩阵A与矩阵B相乘，AB可能有意义，AB也可能无意义。若矩阵Am×l的列数l和矩阵Bl×n的行数l相同，则矩阵A的每一行的元素和B的每一列的元素正好能搭配相乘，此时Am×lBl×n有意义。另一方面，AB有意义，BA是否有意义并不能保证，只有当m=n时Bl×nAm×l才有意义，而且AB,BA都有意义，也不一定能保证AB=BA。这些性质通过反例阐述，学生理解得更加缜密和深刻[2]。

此时AB,BA都有意义，但AB≠BA。实际上，绝大部分矩阵乘法都不满足交换律。矩阵乘法从初等变换的角度来说，左乘一个矩阵本质上是矩阵的初等行变换，右乘一个矩阵是矩阵的初等列变换，当且仅当A,B是对称矩阵时乘法才是可交换的。这些不同常规的性质也正是线性代数的魅力所在，它在量子力学和爱因斯坦的相对论中得到了重要的应用。

在数的乘法中，若ab=0，则a=0或b=0，但在矩阵乘法中，AB=O，未必有A=O或B=O。上面的反例3中，BA=O，显然B≠O，A≠O，即矩阵乘法的消去律一般不成立。更进一步，若A≠O,A(X-Y)=O，也不能得出X=Y的结论。因此，矩阵乘法公式(A+B)2=A2+2AB+B2一般也不能成立，当且仅当A,B是可交换时才能成立。

3 构造反例，培养学生的探究能力和思辨能力

几何中相似的几何图形有许多重要性质。类似地，对于n阶矩阵A与B，如果相似，它们有很多好的性质。例如矩阵A,B相似，则A,B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，证明这个结论也不困难。如果2个n阶方阵有相同的特征值，那么这2个方阵是否相似呢？即命题的逆命题是否成立呢？在教学中，对条件与结论之间的“充分”和“必要”性的探索往往是问题的焦点所在，无疑对提高学生探究能力和思辨能力是大有帮助的。通过恰当地构造反例，立刻说明逆命题是不能成立的。

4 构造反例，培养学生思维的灵活性和发散性

向量的线性相关性是《线性代数》的一个重要概念，准确理解尤为重要。命题“若α1可由α2，α3，…，αn线性表示，则α1,α2,…,αn线性相关”不难判断其正确性，但逆命题“若α1，α2，…，αn线性相关，则α1可由α2,α3,…,αn线性表示”是否正确呢？可以通过构造反例来否定。

5 结 语

在《线性代数》教学中，通过构造反例，对于学生理解基本概念和重要结论有着无可替代的作用，可以帮助学生澄清对某些概论和性质的模糊认识，消除对所学知识的某些偏差，构建准确、完整的知识体系，提升思维能力和科学素养。当然，构造反例，有时也不是件容易的事情，有时甚至比给出证明还要困难。教学中，要恰当地利用反例，突破某一种数学方法和手段的局限性，培养学生的思辨能力和创新思维能力，提高教学效果的同时提升学生的能力。

[1]张奠宙，柴俊.关于大学数学教学的一些基本原理[J].高等数学研究，2012(3)：37-38.

[2]同济大学数学系.线性代数 [M].第5版.北京：高等教育出版社，2007：35-36.

[3]胡红萍，胡红莉，杨正民.线性代数教学方法探讨[J].华北工学院学报(社科版)，2004(1)：77-78.

[编辑] 洪云飞

N4

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1673-1409(2013)25-0132-02

2013-06-08

潘大勇(1963-)，男，副教授，现主要从事数学方面的教学与研究工作。