不同坐标系下描述的圆周运动

吴振朋

摘 要：主要研究了直角坐标系、自然坐标系和极坐标系在圆周运动中的应用.另外还给出了在研究质点运动时如何恰当选择这三种坐标系的方法.

关键词：直角坐标系；自然坐标系；极坐标系；圆周运动

曲线运动是相对于直线运动而言的一种物理运动形式，指物体的运动轨迹是曲线.当物体所受的合力和它运动的方向不在同一直线上，物体的运动就是曲线运动.在曲线运动中，当力矢量与速度矢量间的夹角等于90°时，作用力仅改变物体速度的方向，不改变速度的量值；当夹角小于90°时，作用力不仅改变物体运动速度的方向，并且增大速度的量值；当夹角大于90°时，同样改变物体运动速度的方向，但是却减小速度的量值.曲线运动中速度的方向时刻在变，因为它是个矢量，既有大小，又有方向。不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度矢量发生变化，也就具有了加速度，所以曲线运动是变速运动.

匀速圆周运动是常见的曲线运动.为了描述物体的运动而引

入了参考系.参考系指研究物体运动时所选定的参照物体或彼此不做相对运动的物体系.根据牛顿力学定律在参考系中是否成立

这一点，可把参考系分为惯性系和非惯性系，两类参考系的选择是任意的，但应以观察方便和使运动的描述尽可能简单为原则.研究地面上物体的运动常选择地面为参考系.

从运动学的角度来讲，参考系的选择原则上是任意的，但是参考系选择不同，对运动学问题研究的难易程度有很大影响，因此，选择参考系通常遵循简单、方便的原则.在选择了恰当的参考系以后，要定量地描述物体的运动，还必须建立合适的坐标系.目前经常用到的坐标系有直角坐标系、自然坐标系和极坐标系，这三种坐标系在描述物体的运动方面有异曲同工之妙，但针对不同的运动形式，三种坐标系处理问题的繁简程度却迥异.下面我们从圆周运动的角度分别来分析这三种坐标系的应用特点.

一、直角坐标系下的圆周运动的分析

参照图1，圆周运动的运动学方程在直角坐标系中可描述为

根据质点的瞬时速度的定义，可以得出质点做圆周运动时各个时刻的瞬时速度和合速度

速度与x轴的夹角为

直角坐标系下圆周运动的加速度可表示为：

其中β=■为角加速度.如果物体做匀速圆周运动，则β=0，进而可知其合加速大小为■=R？棕2，与x轴负半轴方向夹角为θ，

即指向圆心.

由以上分析可见，直角坐标系在分析一般圆周运动时，涉及加速度的研究计算结果比较繁琐.因此关于涉及圆周运动加速度分析时，采取自然坐标系.

二、自然坐标系下的圆周运动的分析

参照图2，圆周运动的运动学方程在自然坐标系中可描述为：

s（t）=Rθ（t）（6）

其中θ（t）是物体从参考位置B点到任意位置A点转动的角度.在自然坐标系中对矢量分解为沿曲线切线方向且指向s增加方向，记作■，曲线法线方向指向曲线的凹侧，记作■.又因曲线运动的瞬时速度方向始终沿着切线方向，故在自然坐标系下法线方向速度始终为零.

圆周运动的线速度在自然坐标系下表示为■=■■=r？棕■（7）

因为圆周运动的合速度在切线方向，因此切线方向的速度即其合速度.

圆周运动加速度可表示为■=a？子■+an■=■■+r？棕2■（8）

当物体做匀速圆周运动时，■=0，质点的加速度为■=r？棕2■.

三、极坐标系下的圆周运动的分析

参照图3，我们可以建立极坐标下的运动方程：

因为圆周运动的质点在径向的位置矢量为定值，因此■r=0■r，其中■r表示径向方向.在垂直于径向的横向方向速度为■θ=r？棕■θ，其中■θ表示横向方向.质点的加速度可以由加速度的定义式■=■求得，因为在极坐标系下■θ的方向随时间发生变化，因此

通过分析直角坐标系、自然坐标系和极坐标系在圆周运动求解速度和加速度中的应用，可以发现自然坐标系和极坐标系在求物体圆周运动的速度和加速度时比较简洁.因此在有关曲线运动的分析时一般首先考虑自然坐标系.如果质点做螺旋运动，可在极坐标系下分析其运动情况.涉及质点做直线运动，则直角坐标系可以显示出其优越性。

参考文献：

[1]胡盘新，汤毓骏，钟季康.普通物理学简明教程[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]祝之光.物理学[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]向义和.大学物理导论[M].北京：清华大学出版社，1999.

[4]朱荣华.基础物理学[M].北京：清华大学出版社，2000.

（作者单位 山东省德州市第二中学）