对中学数学中“数学问题”的思考*

● 戚其祝

由于受到过去教学实践中一些偏差行为的影响，人们对数学问题存在不同程度的偏见，认为强调数学问题就是要学生陷入“题海”。

事实上，无论课内还是课外，数学问题都有其存在的必要性。数学问题具有引入新知识、帮助学生加深对所学知识的理解、培养学生数学兴趣等作用。在课堂教学中，课堂导入阶段，教师给学生“以适合他们程度的问题去引起他们的好奇心”[1]能够有效激发起学生的思考热情，给课堂教学开一个好头；新知识讲解阶段，一个接一个紧密联系、逐步推进的数学问题的提出能够引导学生的思考方向，直至得到最终的数学结论；练习阶段，经过教师悉心编排的高质量的习题，能够帮助学生加深对当堂课内容的理解；课堂小结阶段，提出基于当堂课教学内容而又高于当堂课所讲内容的数学问题，能够引起学生课下的思考，为后续内容的学习埋下伏笔。在数学课外，教师通过介绍一些经典的、富有趣味性的数学问题，能够帮助学生增进对数学的理解，培养学生的数学兴趣。所以，从数学教学的角度来看，中学数学教育活动中需要大量数学问题。

一、数学问题要有质量有意义

陈省身先生讲，有好的数学，也有不好的数学。同样，中学数学教育中也有好问题和不好的问题之分。真正为学生所讨厌、也是我们所反对的是那些毫无意义、仅仅是简单重复的不好的数学问题。例如斐波那契数列 1，1，2，3，5，8.13……是一个比较经典的、对数学发展有一定影响的数列，它有许多奇妙的性质，在实际生活中也有非常广泛而有趣的应用，深入挖掘它的文化价值、向学生展示它的惊奇有趣的那一面应该是教学中要努力追寻的。但是一些人仅仅是抓住该数列的“规律”不放，人为编造出大量的规律并不是那么明显、而且事实上也没有什么应用的问题来让学生反复练习，这无疑是把好的材料用偏了。所以，对于数学问题的选择，教师一定要进行筛选，选择那些高质量的、有意义的数学问题提供给学生。至于好的数学问题的标准，大卫·希尔伯特认为，一是问题本身必须提得“清晰”、“易懂”；二是问题“应该是困难的，但却不应是完全不可解决而使我们白费力气”，即“难而又可解决”。[2]

二、数学问题的来源应该多样化

一般来说，推动数学发展的力量主要有两点：社会生产发展的需要 （包括物理等非数学学科的需要）和数学内部发展的需要。数学中的问题也就可以相应的分为两类：来自于数学外部的问题和来自数学内部的问题。体现在中学数学教育中就是数学问题有的是从生活中提出来，带有浓厚生活味道的数学问题，有的是纯粹的数学问题。人们不应该为了培养学生的数学应用意识就仅仅强调第一类问题，也不应该让学生只做后一类问题而无法让其看到数学具有广泛应用的一面。任何只强调一类问题的做法都是不恰当的。尤其是现在新课改强调数学要体现其应用价值的情况下，人们对于纯数学问题应该有一个正确的看法。事实上，中学数学中许多纯数学问题尤其是数学竞赛的试题，都具有比较大的教育价值，同样可以引起学生的探究欲望，培养其数学学习的兴趣。

需要特别指出的是，中学数学中的数学问题是经过加工的具有教育功能的数学问题，属于教育数学的范畴。在从现实生活中提炼加工数学问题的过程中，人们已经省略掉了一些非主要因素，也就是已经做了中学数学建模中的问题假设工作，这样，到中学生面前的数学问题已经不可能百分百忠实于生活 （事实上，也没有必要）。所以对于中学数学教育中数学问题的“真实性”人们不应该有太高的要求。一个数学问题只要能够做到引起学生的探究欲望，对实现教育的目的有积极的作用，那么它的教育价值就应该被肯定。

三、中学数学教育中的数学问题并非都要有解

数学问题并不是都有解的，中学数学教学中也应该介绍一些“无解”或者是对于中学生来说“无解”的经典数学问题。哥德巴赫猜想“每个大于或等于6的偶数都是两个素数之和，每个大于或等于9的奇数都是3个素数之和”内容简单易懂，但是很多人却将问题的证明简单的理解为要证明“1+1=2”，而不去了解猜想的内容。如果中学数学中介绍一下哥德巴赫猜想这个目前“无解”的问题，或许能够让相当一部分人纠正对数学、数学家及其研究工作的偏见。又比如费马大定理经过几代数学家的工作，历时358年，才最终获得证明。安德鲁·怀尔斯的整个证明过程洋洋洒洒足有二百多页。在中学数学中介绍该定理自然不是为了让学生掌握其证明方法，但是却完全可以作为一个研究性课题出现：学生在学习了勾股定理后，老师让学生对此结论进行推广，猜想三元方程Xn+yn=Zn当n≥3时的正整数解的情况。然后要求学生课下查阅资料获得对该问题的尽可能多的信息，最后进行汇报。整个过程既培养了学生查阅资料、整理资料的能力，又可以通过安德鲁·怀尔斯证明该定理的过程让学生了解数学家是如何进行研究工作的，拓宽学生的视野，帮助学生对数学形成正确的认识，发展数学观。

数学问题在数学教学中具有积极的作用，但是所谓过犹不及，我们又应注意不可过分强调数学问题在教学中的地位。美国在20世纪80年代提出“问题解决”，认为必须把问题解决作为学校数学的核心，但是世纪之交又提出了平衡基本技能、概念理解和问题解决，重新强调基础知识的重要性。所以一方面我们要发挥数学问题和问题解决在数学教学中的积极价值和作用，另一方面又必须重视数学基础知识和基本技能的培养，以更好完成培养创新型人才的目的。

[1]波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]黄忠裕.初等数学建模[M].成都：四川大学出版社，2004.