关于圆锥曲线中两垂直切线交点的轨迹

李智勇，何涛澜

摘 要：在教学圆锥曲线过程中，有一些非常有价值的结论，对处理问题有事半功倍的效果。

关键词：圆锥曲线；互相垂直切线；交点；结论

笔者通过对圆锥曲线的两条垂直切线交点轨迹问题的研究发现了下面几个结论：

结论1：椭圆+=1两条互相垂直切线的交点的轨迹是

x2+y2=a2+b2.

证明：设M（x0，y0）为椭圆+=1①两条互相垂直的切线的交点，k为过M点所作这椭圆的切线的斜率，则这条切线的方程为y-y0=k（x-x0）②

由①②可得b2x2+a2[y0+k（x-x0）]2-a2b2=0，

即（b2+a2k2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0③

由题意可得：

Δ=4k2（y0-kx0）2a4-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，

化简得（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.

当a2≠x20时，设此方程的二根为k1，k2，则k1·k2=-1，即=-1，故得x20+y20=a2+b2.

当a2=x20时，此时切线MT⊥x轴，切线MT′⊥y轴，即x0=a，y0=b故点M的轨迹方程是x2+y2=a2+b2，即点M的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆.

根据双曲线与椭圆的相似性，可以类比得到：

结论2：双曲线-=1两条互相垂直切线的交点的轨迹是

x2+y2=a2-b2.

当a>b时，轨迹是以原点为圆心，为半径的圆；

当a=b时，轨迹是（0，0）；

当a

结论3：抛物线y2=2px两条互相垂直切线的交点的轨迹是x=-.

证明：切线PA的方程为y1y=p（x+x1），切线PB的方程为y2y=p（x+x2）.

∵P（x0，y0）为这两切线的交点，

∴y1y=p（x0+x1）①

y2y=p（x0+x1）（②

①÷②，得：=-，由此得x0===.

①-②，得：（y1-y2）y0=p（x1-x2）

y0===，又kPA·kPB=-1，即

·=-1，故y1y2=-p2，則x0=-，故抛物线的两垂直切线的交点在准线上，故抛物线y2=2px两条互相垂直切线的交点的轨迹是x=-.

（作者单位 湖北省红安县第一中学）