转化——初中数学的法宝之一

贺景红

摘 要：转化思想是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化，是解决问题的一种最基本的思想，是初中数学的法宝之一。将生疏问题转化为熟悉问题，利用换元转化、整体代换转化、化归转化、一般至特殊转化、数形转化、合同变换转化等方法，将复杂问题转化为简单问题，对提高学生分析、解决问题的能力有积极的促进作用。

关键词：转化思想；初中数学；教学方法；数学问题

初中数学蕴含多种数学思想方法，但最基本的数学思想方法是数形结合的思想、分类讨论思想、转化的思想和函数的思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。其中，转化思想是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析、解决问题的能力有积极的促进作用。学生学会数学转化的思想方法，有利于实现学习迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。下面就转化思想在初中数学中的应用举若干实例作简单归纳。

一、生疏问题转化为熟悉问题

生疏问题向熟悉问题转化是解题中常用的方法。解题能力实际上是一种创造性的思维能力，而这种能力的关键是能否细心观察，能否运用过去所学的知识将生疏问题转化为熟悉问题。因此，教师应深刻挖掘量变因素，将教材的抽象程度利用学过的知识加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，减小学生接触新内容时的陌生感，避免学生因研究对象的变化而产生心理障碍，从而收到事半功倍的效果。

例1：已知两圆内切于T，过T点的直线交小圆于A，交大圆于B，求证TA：TB为定值。

分析：过T点的直线绕T旋转形成无数个不同的位置，其中过T的直径每个圆只有一条，要证TA：TB为定值，先将直线TAB过圆心，这时TA′：TB′=r：R，在过T点任作一条直线交小圆于A，交大圆于B，连接AA，BB′，即可把要求解的TA：TB为定值转化为证明三角形相似或证明平行线对应线段成比例。

二、复杂问题转化为简单问题

复杂问题简化是数学解题中运用最普通的思考方法。将一个难以直接解决的问题，通过深入观察和研究，转化为简单问题迅速求解。教师通过合理设置问题，将一个复杂的问题分成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再分析说明这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务。问题与问题之间要有一定的梯度，以利于教学时启发学生思维。

1.换元转化

例2：解方程（xx-1）2-5（xx-1）+6=0

分析：此方程形式较复杂，可通过换元化为简单方程。

令xx-1=y，则y2-5y+6=0，通过换元转化为会解的一元二次方程可进一步求解。

例3：解方程x4-5x2+6=0

分析：这是一道一元高次方程，可通过换元进行降次，转化为会解的一元二次方程。

设x2=y，则上式变为会解的一元二次方程y2-5y=0。

2.整体代换转化

例4：设四位数abcd是一个完全平方数，且ab=2cd+1，求这个四位数abcd的值。

分析：设abcd=m2，则32≤m≤99，又设cd=x，则ab=2x+1，

于是100（2x+1）+x=m2，即67×3x=（m+10）（m-10），由于67是质数，故m+10与m-10中至少有一个是67的倍数。若m+10=67k（k是正整数），因为32≤m≤99，则m+10=67，即m=57，检验知572=3249，不符合题意，舍去；若m-10=67k（k是正整数），则m-10=67k，m=77，所以abcd=772=5929。

此问题中，我们在设未知数的时候，采取整体代换，即把cd=x看成整体，从而使问题简化。

3.化归转化

“化归”，即把不熟悉的问题转化为与已熟练掌握的题目或定理联系起来思考。化归方法的特点是简捷、明了、集约化思考。

例5：如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于P点。求证：AB·AD∶CB·CD=AP∶PC.

分析：这个题难度很大，很难下手，但方法对头就由难转易，如果我们采取化归的办法清理思路就不难了。从求证中看出比例式两边方次不同，可能是右边约去了因式。

我们从求证中看到AB·AD与CB·CD都是相邻两边乘积，于是可联想到很容易的一道题，即：已知△ABC内接于⊙O，AD为△ABC中BC边上的高，AE为△ABC外接圆的直径（如右图）。求证：AB·AC=AD·AE.

这个题目是很容易证的，只要连结BE，证明△ABE∽△ADC，或连结EC，证明△ABD∽△AEC即可。这个题用语言叙述就是“三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边上的高之积”。用这个题的结论去证明本例可以发挥绝妙的作用。

4.一般到特殊转化

例6：如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的长。

分析：直角三角形是三角形中最特殊、最简单的情形，因此，构造Rt△解题是转化的重要策略。如图，过A作AD⊥BC于D，此题便迎刃而解。

5.数形转化

运用数形转化，找出形中隐含的数量关系，即可转化为数量关系解决问题。

例7：如图，矩形ABCDAE=ED，若EF把矩形ABCD的面积分为1：2，则■=______

分析：学生对这样的问题总觉得不好下手。如果设一些参数，用方程来解，就显得非常容易。

设BC=a，AB=b，则AE=ED=■，再设BF=x，则FC=a-x，根据梯形面积公式，得方程：■=■，解得x=■，a-x=■a，故■=■.

6.合同变换转化

对称、平移、旋转称为合同变换，在几何中经常出现。

例8：如图，已知梯形ABCD中，CD∥AB，∠BAD+∠ABC=90°，M、N分别为AB和CD的中点。

求证：MN=■（AB-CD）.

分析：本题求证中线段的关系较分散。从题目特点考虑，注意到∠BAD+∠ABC=90°，则将AD、BC向内平移会出现基本图形Rt△NEF，问题转化为证明MN为Rt△NEF斜边上的中线，又转化为AB-CD=EF=2MN即可。

综上所述，数学转化思想是中学数学教育中最活跃、最实用的，许多数学问题的解决都要运用转化思想。教师在平时的教学中要善于引导和鼓励学生在学习上和生活中经常运用转化思想。在解决数学问题时，我们要以不变应万变，不断去探索，通过不断的把问题转化，从而解决数学问题。

参考文献：

[1]陶金瑞，霍凤芹.浅谈数学思想方法——化归与转化[J].成都大学学报（教育科学版），2007，（08）.

[2]张力琼.初中数学教学中渗透数学思想方法的教学策略研究[D].西北师范大学，2007.