浅谈职高求函数值域的几种常见方法

徐宝珠

摘 要：函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域。函数的值域及其求法是高考考查的重点内容之一，在高考中经常出现，占有一定的地位。而对于学生求函数值域是一个头痛的问题，近年职高学生生源下降，学生的知识水平差异尤为突出，特别是像数学这种文化基础课底子更差，求函数值域对于学生难度就更大了，于是本篇主要帮助学生总结几种求函数值域的各种方法。

关键词：函数值域 定义域 职高数学

中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）02（c）-0066-01

1 基本函数法

对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解。如：一次函数、二次函数、反比例函数、指对函数。

2 配方法

对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解，一般适用于二次函數类型的函数。

例1：求函数的值域。

解：

3 换元法

适用于代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数但得注意在还原过程中需注意还原后t的取值范围。

例2：求函数的值域。

解：令则：

≥

即

4 分离常数法

适用于分式类型的函数，且在解题过程中注意变量的范围。

例3：求函数的值域。

解：由题意可知函数的定义域为：

5 单调性法

主要适用于能够判断单调性的复合函数。确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域。

例4：求函数的值域。

解：（1）令则

≥3而是减函数

6 反解法

（利用反函数的原理）

例5：求函数的值域。

解：由题意可知函数的定义域为R

≥0

而函数可化为≥0

即

7 不等式法

利用基本不等式≥，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用≥求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：（1）。（2）为定值。（3）取等号成立的条件，三个条件缺一不可。

但均值不等式，在适用中注意适用范围。

例6：求函数的值域：。

解：

≥

当且仅当时，即时等号成立，

≥，所以元函数的值域为。

8 判别式法

一般转化为含参数y的一元二次函数，注意二次项的系数。

例7：求函数的值域。

解：恒成立，函数的定义域为R。

由 得。

①当即时，；

②当即时，时，方程

恒有实根。

≥0 ≤≤5且.

原函数的值域为。

总之：求函数值域的常用方法问题上面主要利用配方法、换元法、分离常量法、单调性法、反解法、不等式法、判别式法等，无论用什么方法求函数的值域都是相互联系有规律可循的，只要我们灵活的掌握数学基础知识、思想和方法，并根据所给函数解析式的特征，结合定义域，灵活的选择适当方法，起到简化运算过程，避繁就简作用。

参考文献

[1] 丘维声，主编.高中数学（第一册）：基础版[M].高等教育出版社.

[2] 程利伟，主编.对口升学复习数学教材[M].珠海出版社.