等差数列与等比数列的类比

白春雷

摘 要：类比是提出新问题和做出新发现的一个重要源泉。作为高考重点知识的等差、等比数列之间有较强的相似性。从类比中发现联系，在类比中发现异同点，发现问题的实质。

关键词：类比；数列；隐含条件

郑信教授认为应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚。本文通过等差数列与等比数列之间相似性的解说来明确二者清晰的相似性。

1.从熟悉的知识中寻求运算方面的相似性。

等差数列 等比数列

从以上比较可看到如下的相似性：

d→p；加法→乘法；

减法→除法；乘法→乘方。

2.答疑解惑

的除法应相似于等比的开方吗？

解：d与q之间的相似性可通过下面的两个例题来说明：

例题1.在等差数列{an}中，若a10=0则有等式a1+a2++an=a1+a2+…+a19-n（n<19，n∈N+），类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式a1·a2…an=a1·a2…a19-n成立。

例题2.在等差数列{an}中，“d≠0”是“若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m、n、p、qn∈N+）”成立的充要条件，类比上述性质相应的在等比数列中，命题“若am·an=ap·aq，则m+n=p+q（m、n、p、q∈N+）”成立的充要条件是“公比q≠±1”。

由此可知公差d=0，一般相似于等比数列的公比q=±1（有时d也可能相似于q=1或q=-1中的一个）。但等差数列中的“0”与等比数列中的“1”不一定只对应公差与公比。

等比数列的开方是相似于等差数列的除法。

3.突战演练

类比虽是伟大的引路人，也可能产生美丽的错误，它的或然性与创造性紧密联系在一起。“大胆地猜想，小心地求证”可防止类比“惹祸”。

（作者单位 江苏省徐州市张集中等专业学校）