高中生学习数学归纳法的思维障碍及应对策略

王慧

数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.然而，大多数学生对理解并掌握数学归纳法感到很困难.究其原因，学生对数学归纳法缺乏感性认识，也缺少认知基础，数学归纳法蕴涵的有限与无限、递归推理、归纳猜想等数学思想学生以前接触不多，更不用说理解了。本文主要从思维维度对高中生学习数学归纳法进行障碍分析，并在分析的基础上，提出相应的应对策略，帮助教师更深入地了解高中生学习数学归纳法认知障碍情况，以便教师在教学过程中能更好地引导学生进行数学归纳法的学习。

1 问题的提出

在数学证明中，数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，对于某些结论是自然数的函数的命题，往往都可以通过数学归纳法来加以证明。

本人长期担任理科班的教学，在实际教学中我发现学生对数学归纳法地理解不够透彻，不能熟练地将之运用于解题。本人申报了课题《高中生学习数学归纳法的认知障碍及应对策略》，分别从感知、记忆、思维三个维度进行研究，本文主要是从思维这个维度进行分析。

2 思维障碍分析

思维是人脑对客观世界的概括的、间接的反映.思维是认知的高级形式，是智力活动的核心.观察为思维提供有关当前事物、现象和过程的信息；记忆则为思维提供以往感知过的事物的表象；想象提供未能亲身感知到的事物的信息；注意则对思维进行调节和监控，保证思维的持续运转.思维则把感知等提供的大量的感性材料、具体事实等进行由表及里、去伪存真的加工改造，揭示出了事物的本质属性。

2.1 思维缺乏灵活性

思维的灵活性是指思考问题时，能根据问题的条件的变化而变化.数学归纳法学习中思维缺乏灵活性表现在三个方面.一是在用数学归纳法解题时，受思维定势影响，常认为归纳基础就是。

事实上：（1）数学归纳法公理中“”是使命题成立的最小正整数.例如，命题“多边形的内角和为（n-2）·180°”中，n的取值应当是大于或等于3的正整数，所以，用数学归纳法证明此命题的归纳基础应该是=3；命题“边数为偶数的圆内接凸多边形，相间诸角的和等于其余诸角的和”中，当n<4时，原命题无意义，所以，用数学归纳法证明此命题的归纳基础应该是=4，然后再对一切偶数进行数学归纳法。

（2）对于某些命题，虽然正整数n（n∈N*）的任意取值都能使其有意义，但并非对一切正整数都成立.对此类命题，应该找出使命题成立的最小正整数作为归纳基础.例如，使命题2n>n2成立的最小正整数为=5.因此在运用数学归纳法证明该命题时，应取归纳基础为=5。

可见，在用数学归纳法解题时，灵活的根据题中的条件选择归纳基础是多么重要。

数学归纳法学习中思维灵活性差的第二个方面表现为：对用和式（或积式）表示的命题，在第一步验证n=时，误认为取式子的前项（或前个因子）加以验证。

2.2 思维缺乏深刻性

思维的深刻性是指，思维能透过现象看到事物的本质，能更深入的思考问题，不被表面现象所迷惑.思维深刻性差的学生不能从本质上正确的区分数学归纳法与完全归纳法，容易被规律表面上的相似性干扰。

2.3 缺乏丰富的感性材料

事实告诉我们，学生学习数学归纳法的主要困难有两点：其一是对方法本身不理解，第一步的意义和第二步的本质分别是什么？其二是由归纳假设P（k）成立推导P（k+1）成立时，变形过程有困难.思维的正常运转离不开感知、记忆、想象提供的丰富感性材料，特别是在抽象的数学归纳法学习中，更离不开直观的感性材料，是建立和理解数学归纳法公理的基础。

3 应对策略分析

3.1 追根溯源，提高学生思维的深刻性

由于数学归纳法原理的抽象性，学生在学习过程中，对于知识发生、发展的过程不会主动地进行深入的理解和思考，一般的学生对数学归纳法原理的理解仅仅停留在表象的概括层面上，不太可能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握原理的本质。

问题是数学的心脏，数学问题是数学思维的动力，并为思维指出了方向；数学思维的过程也就是不断地提出问题和解决问题的过程.课堂教学是实施素质教育的主渠道，而把素质教育落实到课堂教学中，恰恰是以问题解决作为中介的.因此，在数学归纳法学习中，教师要不断向学生提出不同层次的数学问题，追根溯源，为更深入的数学思维活动提供动力和规划方向，从而来提高学生思维的深刻性。

3.2 打破定势，培养学生思维的灵活性

所谓思维定势，指的是思维的方向性、目的性、程序性，它是人们按照一种固定的思路去考虑问题的思维形态.它有两个基本的特征：一是将新问题归结为旧问题的倾向性；二是扩大已有经验的应用范围.它既有积极的一面，也有消极的一面.要使学生解题正确、迅速、合理，势必要使学生掌握解题的通法、解题的思路，通过练习而形成解题模式的心理表象，其外显形式则达到了熟练的水平.但与此同时，思维定势也就产生了。

学习数学归纳法的目的在于应用，使用数学归纳法分析和解决问题，了解数学归纳法的使用条件和适用范围的意义，从而根据条件灵活的选择数学归纳法解决问题，培养学生思维的灵活性.教师应给学生提供解题的示范，帮助学生分析解题过程，教给学生解决问题的方法、步骤.教师还要精心挑选典型习题，让学生作适当训练。

3.3 提供感性材料

在实际教学中，为了帮助学生消除困惑，很好得掌握数学归纳法，常见的教学方法往往是举多米诺骨牌的游戏.由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.教师提出问题：要使n块多米诺骨牌全体依次倒下，需满足什么条件？最后通过讨论得出结论：（1）第一块要倒下；（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.教师把这两个条件迁移到具体的数学问题中，引出数学归纳法证题的步骤，最后让学生套用这个模式解题。

（作者单位：江苏省太湖高级中学）