2013年高考数学必做客观题——函数与基本初等函数

陶友根

函数及其表示

（★★★）必做1 若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数g（x）=的定义域是_________.

[牛刀小试]

精妙解法 要使式子有意义，则0≤2x≤2，

x>0且x≠1，所以0

极速突击 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，注意分式、偶次根式、对数式等. 由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束；抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.

误点警示 本题可能出现错误解法x∈[0，2]?2x∈[0，4]，得出定义域为（0，1）∪（1，4]，错误原因是没有搞清楚内外函数之间的关系， f（2x）的定义域应是0≤2x≤2的解集.

（★★★）必做2 已知函数f（x）=

x+，x≤0，

-（x-2）2，x>0，则使f（x+1）≥-1成立的x的取值范围是________.

[牛刀小试]

精妙解法 由题意知f（x+1）=

x+1，x≤-1，

-（x-1）2，x>-1，

不等式f（x+1）≥-1，等价于x≤-1，

x+1≥-1 或x>-1，

-（x-1）2≥-1.

解得-4≤x≤-1或0≤x≤2，所以x的取值范围是[-4，-1]∪[0，2].

极速突击 已知函数式求值，将自变量的值代入即可；分段函数，注意自变量值的取值范围，代入相应解析式计算. 注意字母取值范围的变化.

误点警示 没有注意函数f（x+1）中自变量x取值范围的变化，即新函数分段点的改变.

函数的基本性质

（★★★）必做3 函数f（x）=（x∈[1，3]）的值域为（ ）

A. [2，3] B. [2，5]

C.

，3 D.

，4

[牛刀小试]

精妙解法 因为f（x）=x+-2，其在区间[1，2）单调递减，在（2，3]单调递增，故f（x）在x=2处取极小值， f（2）=2，而f（1）=3， f（3）=，所以函数值域为[2，3]，故选A.

极速突击 函数的单调性判断方法很多，如：定义法、图象法、复合函数法、导数法等；求函数值域的方法主要有：单调性法、换元法、均值不等式法、图象法等.

误点警示 错解： f（1）=3， f（3）=，所以选C.

错因：没有注意到函数在[1，3]没有单调性，而直接将端点值代入.

（★★★）必做4 已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，2）时， f（x）=log（x+1），则f（-2011）+f（2012）的值为_________.

[牛刀小试]

精妙解法 由函数是R上的偶函数，知f（-2011）=f（2011），

因为x≥0，都有f（x+1）=-f（x），所以f（x+2）=f（x），即T=2，

所以f（-2011）+f（2012）=f（2011）+f（0）=f（1）+f（0）=log22+log21=1.

极速突击 利用函数的性质（奇偶性、周期性等），将已知区间外的自变量的取值变到已知区间内，代入解析式进行计算，是解决这类问题的常用方法.

（★★★）必做5 定义在R上的函数f（x）在（-∞，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于y轴对称，则（ ）

A. f（-1）f（3）

C. f（-1）=f（3） D. f（0）=f（3）

[牛刀小试]

精妙解法 函数f（x+2）的图象关于y轴对称，则f（x）关于直线x=2对称.

因为函数f（x）在（-∞，2）上是增函数，所以在（2，+∞）上是减函数，所以f（-1）=f（5）

极速突击 研究函数间的关系，通常利用函数图象的平移、翻折、伸缩等；研究函数相关区间的单调性，常用对称性（一般轴对称会改变函数的单调性，中心对称保持原来的单调性），最典型的如奇函数和偶函数的图象特点.

函数的单调性、奇偶性、周期性是函数的主要性质，理解和应用时注意抓住定义，以及反映在图象上的特征，注意数形结合.对于有关单调性问题的选择题和填空题，我们可用一些命题求解，如两个增（减）函数的和函数仍为增（减）函数；而解决与抽象函数有关的单调性问题一般用单调性定义解决.

基本初等函数

（★★★）必做6 若函数f（x）= -x2+（2a-1）

x

有四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（ ）

A. a> B.

C. a> D. a<

[牛刀小试]

精妙解法 f（x）=-x2+（2a-1）

x

是由函数g（x）=-x2+（2a-1）x变化得到，先去掉g（x）在y轴左侧的图象，保留g（x）在y轴右侧的图象，再作其关于y轴对称的图象. 由题意，g（x）=-x2+（2a-1）x的对称轴在y轴的右侧，所以>0，即a>. 选C.

（★★★）必做7 设a=22.5，b=log，c=

，则a，b，c的大小关系是（ ）

A. a>c>b B. c>a>b

C. b>a>c D. a>b>c

[牛刀小试]

精妙解法 a=22.5>20=1，b=log

<1，所以a>c>b. 故选A.

极速突击 指数式、对数式的大小比较，可以“化同底”后利用函数的单调性比较，也可借助参照数，如0，1等比较.

（★★★）必做8 若函数f（x）=loga（x2-ax+3）（a>0且a≠1）满足对任意的x1，x2，当x10，则实数a的取值范围为__________.

[牛刀小试]

精妙解法 由题意知函数f（x）在区间-∞

，单调递减，若设u（x）=x2-ax+3，则y=logau. 因为u（x）在区间-∞

，单调递减，那么y=logau单调递增，即a>1；

由定义域知u

=

-a·+3=-+3>0，所以-2

综上所述，a的取值范围为（1，2）.

极速突击 二次函数的单调性由开口和对称轴决定，对数函数的单调性由底数决定，复合函数的单调性由内外函数共同决定（同增异减）.

误点警示 本题易错解为a∈（1，+∞），原因是忽略定义域的要求.对数函数、幂函数都要注意定义域（使式子有意义）.

函数与方程（不等式）

函数的图象及其应用

（★★★）必做11 函数y=的图象大致是（ ）

[y][x][O][y][x][O]

A B

[y][x][O][y][x][O]

C D

[牛刀小试]

精妙解法 函数y=f（x）=为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B. 当x=1时， f（1）==0，排除C，选D.

极速突击 已知函数式选择函数图象，这类题有两种做法：直接法，结合基本初等函数的图象，用变换法（平移、翻折、伸缩等）得到图象；排除法，用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊点等判断.

（★★★★）必做12 设奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则不等式x[f（x）-f（-x）]<0的解集为_______.

[牛刀小试]

精妙解法 因为奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数， f（-x）=-f（x），x[f（x）-f（-x）]<0，所以xf（x）<0. 又f（1）=0，所以f（-1）=0，从而有函数f（x）的示意图，如图2，由图观察知，不等式x[f（x）-f（-x）]<0的解集为{x

-1

[y][x][O][1][-1]

图2

极速突击 抽象函数相关的不等式问题，通常根据函数的特殊点、性质，作出示意图，再根据示意图得出不等式的解集.

（★★★★★）必做13 函数f（x）=cosπx与函数g（x）=log

x-1 的图象所有交点的横坐标之和为_______.

[牛刀小试]

精妙解法 将两个函数同时向左平移1个单位，得到函数y=f（x+1）=cosπ（x+1）=cos（πx+π）=-cosπx，y=g（x+1）=log

x ，则此时两个新函数均为偶函数.

在同一坐标系下分别作出函数y=f（x+1）=-cosπx和y=g（x+1）=log

x 的图象，如图3，由偶函数的性质可知，四个交点关于原点对称，所以此时所有交点的横坐标之和为0，

[O][y][x][1][-1][2][3][4][-2][-3][1][2][3][4][-1][-2][-3]

图3

所以函数f（x）=cosπx与g（x）=log

x-1 的图象所有交点的横坐标之和为4.

极速突击 对于图象的交点问题（方程的根），直接求解有困难时，利用图象观察特点，整体解决，经常还会用到数列的思想，如：特殊数列的通项、求和；合项求和等.

函数的综合应用

（★★★★）必做14 具有性质：f

=-f（x）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：

①y=x-；②y=2x-；③y=x，0

0，x=1，

-，x>1，其中满足“倒负”变换的函数是________.

[牛刀小试]

精妙解法 当y=x-时，f

=-x=-f（x），所以①是满足“倒负”变换的函数；当y=2x-时，f

=-x≠-f（x），所以②不是满足“倒负”变换的函数；当y=x，0

0，x=1，

-，x>1时，当x>1时，0<<1， f

==-f（x），当01， f

=-x=-f（x），所以③是满足“倒负”变换的函数.

所以满足条件的函数是①③.

极速突击 对于新定义的问题，要抓住定义的关键，充分理解定义，再一一验证.

（★★★★）必做15 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有>0，给出下列命题：

① f（3）=0；②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；④函数y=f（x）在[-9，9]上有两个零点.

其中正确命题的序号为_______（把所有正确命题的序号都填上）.

[牛刀小试]

精妙解法 因为x1≠x2时，都有>0，所以f（x）在[0，3]上递增. 因为f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，得f（3）=f（-3）+f（3），所以f（-3）=0. 因为f（x）为偶函数，所以f（3）=0. ①正确.

因为f（x+6）=f（x），所以f（x）周期为6，画出示意图如下：

[y][x][O][3][6][9][-3][-6][-9]

图4

由图象知②正确，③④不正确，填①②.

极速突击 用函数性质得函数图象，用函数图象进一步研究函数性质.