2013年高考数学必做解答题——三角函数与三角恒等变换

三角函数的概念

（★★★★）必做1 已知锐角α终边上一点Psin

，cos

，则α的值为_________.

[牛刀小试]

精妙解法 由条件知，点P显然在单位圆上，所以sinα=cos=cos

-

=sin. 又α是锐角，故α=.

极速突击 求角的通法就是求它的个某三角函数值，进而利用角的取值范围确定角. 不同名的三角函数关系要先转化为同名的三角函数关系，即可得到角.

（★★★）必做2 如图1，A，B是单位圆O上的点，且点B在第二象限. C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为

，

，△AOB为直角三角形.

（1）求sin∠COA；

（2）求BC的长度.

[A][B][O][y][C][x][图1]

[牛刀小试]

破解思路 只要熟悉三角函数的定义就可求出三角函数值，点A正好是∠COA终边上的一点，所以很容易求出.求线段BC的长度需要知道点B的坐标，利用两点间距离公式或余弦定理来求距离.

精妙解法 （1）因为点A的坐标为

，

，根据三角函数的定义可知sin∠COA=.

（2）因为△AOB为直角三角形，所以∠AOB=90°，cos∠COA=，

故cos∠COB=cos

+∠AOC= -sin∠AOC=-，

sin∠COB=sin

+∠AOC=cos∠AOC=.

法1：由定义易知B

-，

，所以由两点间的距离公式得BC2==，BC=.

法2：由余弦定理得BC2=OC2+OB2-2OC·OB·cos∠BOC=，BC=.

三角函数的图象与性质

（★★★★）必做3 设函数f（x）=sin

--2cos2+1.

（1）求f（x）的最小正周期.

（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈0，

时，y=g（x）的最大值.

[牛刀小试]

破解思路 要求函数的周期须先对函数解析式进行化简，写成三角函数的标准形式后即可求出周期.求函数y=g（x）的最大值可以先求出其解析式，利用y=g（x）图象上的点关于直线x=1对称后在y=f（x）的图象上可求得；若不求y=g（x）的解析式，则可求出区间0，

关于直线x=1对称后的区间，y=f（x）在该区间上的最大值就是y=g（x）在区间0，

上的最大值.

精妙解法 （1）由已知得 f（x）=sinxcos-cosxsin-cosx

=sinx-cosx=·sin

x-.

故f（x）的最小正周期为T==8.

（2）法1：在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于直线x=1对称的点为（2-x，g（x）） .

由题设条件，点（2-x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2-x）=sin

（2-x）

-=·sin

-

x-=cos

x+.

当0≤x≤时，≤x+≤，因此y=g（x）在区间0，

上的最大值为 g=cos=.

法2：因区间0，

关于x=1的对称区间为

，2，且y=g（x）与y=f（x）的图象关于x=1对称，所以y=g（x）在0，

上的最大值为y=f（x）在

，2上的最大值.

由（1）知， f（x）=sin

x-，当≤x≤2时，-≤x-≤，因此y=f（x）在

，2上的最大值为f=sin=. 所以y=g（x）在0，

上的最大值为.

极速突击 本题的突破点就是能正确地化简函数解析式，对诱导公式、和差公式、二倍角公式能够熟练运用.根据一个函数图象求关于某直线对称后的函数图象一般利用转化法，把要求的函数图象上的点关于直线对称到已知的函数图象上再代入其解析式即可求得.

误点警示 在用转化法求对称问题中的函数解析式时，一定是把要求的函数图象上的点转化到已知的曲线上来求，不能颠倒.

（★★★★）必做4 如图2，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC则是函数y=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，

φ

<，x∈[4，8]的图象，图象的最高点为B5，

，DF⊥OC，垂足为F.

[O][E][F][x][M][D][B][P][C][y][图2]

（1）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；

（2）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？

[牛刀小试]

破解思路 求三角函数的解析式，由最高点坐标可求出振幅A，由周期可求出ω，再代入一个点即可求出φ.根据点D的坐标可求出抛物线的方程，点P在抛物线上移动，则可设出点P的坐标，进而列出矩形PMFE的面积关系式，结合导数求导来求最值.

精妙解法 （1）对函数y=Asin（ωx+φ），由图象可知，A=，ω===，将B5，

代入到y=sin

x+φ中，得+φ=2kπ+（k∈Z）. 又φ<，所以φ= -，故y=sin

x-.

（2）在y=sin

x-中令x=4，得D（4，4），得曲线OD的方程为y2=4x（0≤x≤4）.

设点P

，t（0≤t≤4），则矩形PMFE的面积为S=4-

t（0≤x≤4）.

因为S′=4-，由S′=0，得t=，且当t∈0，

时，S′>0，S递增；当t∈

，4时，S′<0，S递减. 所以当t=时，S最大，此时点P的坐标为

，

.

极速突击 求三角函数的解析式就是求三个参数A，ω，φ，通过振幅、周期及图象过一个定点这三步完成.关于最值问题一般要先列出函数关系式，再用基本不等式或导数等方法来求函数的最值.

此类三角函数与其他知识相结合的综合题目，要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.在今后的命题趋势中，综合性题型仍会是热点和重点，并可能逐渐加强.

误点警示 在代入点的坐标求参数φ的时候，要注意与五点作图法中的点对应.在求最值时要注意t的取值范围的限制，否则会解出两个值.

三角函数的和差倍角运算

（★★★）必做5 在平面直角坐标系xOy中，点P

，cos2θ在角α的终边上，点Q（sin2θ，-1）在角β的终边上，且·=-.

（1）求cos2θ的值；

（2）求sin（α+β）的值.

[牛刀小试]

破解思路 要求cos2θ的值，由cos2θ=2cos2θ-1可知需要求出cos2θ的值，利用已知条件中的向量数量积列出等式，求出cos2θ. 结合sin2θ+cos2θ=1便可求出sin2θ，继而也就知道了P，Q两点的坐标，由三角函数的定义可求得α，β角的三角函数值，从而求得sin（α+β）的值.

精妙解法 （1）因为·=-，所以sin2θ-cos2θ=-，

即（1-cos2θ）-cos2θ=-，所以cos2θ=，

所以cos2θ=2cos2θ-1=.

（2）因为cos2θ=，所以sin2θ=，所以点P

，

，点Q

，-1.

又点P

，

在角α的终边上，所以sinα=，cosα=.

同理，sinβ=-，cosβ=.

所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×

-=-.

极速突击 该题的两个问题都是求三角函数值，所以要求我们能根据公式知道要求什么，必须求什么.能熟练运用两角和与差三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是要抓住公式的特征，如角的关系、次数关系、三角函数名等.抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，从而联想到相应的公式，找到解题的切入点. 对公式的逆用和变形也要熟悉.

（★★★★）必做6 已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx.

（1）求函数在

-

，上的值域；

（2）在△ABC中，若已知f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

[牛刀小试]

破解思路 利用二倍角公式对函数解析式进行化简，合并成一个三角函数，把得到的角看成一个整体求出其取值范围，再求整个三角函数的值的范围.根据给出的一个角的函数值可以求出角C的大小，对已知条件进行化简把其中的两个角转化为用一个角来表示即可求出一个三角函数值.

精妙解法 （1）f（x）=1+cos2x+sin2x=2sin

2x++1.

因为-≤x≤，所以-≤2x+≤ .

所以-≤sin

2x+≤1，所以-1≤2sin

2x+≤2.

所以f（x）∈[0，3]. 即函数f（x）在

-

，上的值域为[0，3].

（2）由f（C）=2得2sin

2C++1=2，所以sin

2C+=.

在△ABC中，因为0

所以2C+=，所以C=，所以A+B=.

因为2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因为B=-A，C=，所以可得2sin

-A=sinA.

即cosA+sinA=sinA，即（-1）sinA=cosA.

所以tanA==.

极速突击 求值问题的基本类型：①给角求值；②给值求值；③给式求值；④求函数式的最值或值域；⑤化简求值.三角函数中的求值问题通常要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；注意由切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法解决.

三角函数的图象与性质的问题基本都是与三角函数的恒等变换结合在一起的.基本思想是先弄清其中所涉及角之间的关系，解题的方向是将异角化同角或者将异角的和（差）看做单角（如将α+β看做一个角），从而简化问题，更轻松解决问题.

三角函数的求值、化简与证明的难点在a于：其一，如何牢固记忆众多公式；其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、化简与证明的方法. 突破这两个难点的关键是：①要熟练灵活运用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式以及降幂公式和辅助角公式；②要把握三角函数的求值、化简与证明的常用技巧，如常值代换技巧，特别是“1”的代换；项的分拆与角的配凑技巧；降次技巧（即利用二倍角公式降次）；化弦（切）法技巧（即将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦（切））；引入辅助角技巧等.