2013年高考必做创新题

第一类：集合

集合的含义

（★★★）必做1 给出如下定义：若平面点集A中的任意一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）

①{（x，y）

x2+y2=1}；② {（x，y）

x+y+2>0}；③{（x，y）x+y ≤6}；④ {（x，y）

0

[牛刀小试]

精妙解法 画图进行判断：

对于①（如图1），显然不存在一个面集?点集，该集合不符合题目要求.

[O][-1][1][x][y][（x0，y0）][图1]

对于②（如图2），显然存在面集?面集，该集合符合题目要求.

[O][x][y][（x0，y0）][-2][-2][图2]

对于③（如图3）， 在边界上的（x0，y0），怎么取也难以得到符合题目要求的圆，所以该集合不符合.

[O][x][y][（x0，y0）][-6][-6][图3]

对于④（如图4），显然存在面集?面集，该集合符合题目要求.

[O][x][y][（x0，y0）][图4]

所以综合上面的分析得答案为②④.

（★★★）必做2 点集{（x，y）

x

-1

+

y

=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是（ ）

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

[牛刀小试]

[图5][O][1][1][3][x][2][y]

精妙解法

x

-1

+

y

=2可化为

y

=2-

x

-1

，即

y=

x

-1

-2，y<0，

2-

x

-1

，y≥0.根据曲线

y

=2-

x

-1

的对称性可以作出图象的变换，即由y=

x

的曲线向下平移一个单位，得y=

x

-1，再将y轴下方的图象对折到x轴的上方，可得y=

x

-1

，关于x轴对称可得y=-

x

-1

，再向上平移两个单位可得y=2-

x

-1

，最后可得

y

=2-

x

-1

的图象如图5所示，其面积为4×

×（1+2）×1+

×2×2=14，故应选A.

集合的运算

（★★★）必做3 定义集合运算：A☉B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为（ ）

A. 0 B. 6 C. 12 D. 18

[牛刀小试]

精妙解法 根据定义可得z的取值为：当x=0，y=2或3时，z均为0；当x=1，y=2时，z=6；当x=1，y=3时，z=12，所以A☉B={0，6，12}，则其所有元素之和为18.

（★★★）必做4 设A，B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B}. 已知A={x

y=}，B={y

y=2x，x>0}，则A×B等于（ ）

A. [0，1]∪（2，+∞）

B. [0，1]∪[2，+∞）

C. [0，1]

D. [0，2]

[牛刀小试]

精妙解法 因为A=[0，2]，B=（1，+∞），所以A×B={x

x∈A∪B且x?A∩B}=[0，1]∪（2，+∞）.故选A.

第二类：函数

函数的性质

（★★★）必做1 设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M>0，使

f（x）

≤M

x

对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”. 现给出下列函数：①f（x）=2x；②f（x）=x2+1；③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=. 其中是“倍约束函数”的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

[牛刀小试]

精妙解法 ①f（x）=2x显然存在M符合题目要求，所以它是“倍约束函数”.

②当x=0时， f（0）=1，此时不可能存在M符合题目要求，所以f（x）=x2+1不是“倍约束函数”.

③当f（0）=1时不可能存在M符合题目要求，所以f（x）=sinx+cosx不是“倍约束函数”.

④f（0）=0，且经过分析可以确定其图象大致如下：

[-5][5][2][-2][图6]

可以肯定存在M符合题目要求，所以 f（x）=是“倍约束函数”

所以①④均符合题目要求，选B.

（★★★）必做2 已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）

a≤t≤x}（x∈[a，b]）， f2（x）=max{f（t）

a≤t≤x}（x∈[a，b]）. 其中，min{f（x）

x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）

x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值. 若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”.

（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f1（x）， f2（x）的表达式；

（2）已知函数f（x）=x2，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；

（3）已知b>0，函数f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围.

[牛刀小试]

精妙解法 （1）由题意可得：f1（x）=cosx，x∈[0，π]， f2（x）=1，x∈[0，π].

（2）f1（x）=x2，x∈[-1，0），

0，x∈[0，4]，f2（x）=1，x∈[-1，1），

x2，x∈[1，4]，由此可得f2（x）-f1（x）=1-x2，x∈[-1，0），

1，x∈[0，1），

x2，x∈[1，4].当x∈[-1，0]时，1-x2≤k（x+1），所以k≥1-x，k≥2；当x∈（0，1）时，1≤k（x+1），所以k≥，所以k≥1；当x∈[1，4]时，x2≤k（x+1），所以k≥，所以k≥. 综上所述，k≥，即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4阶收缩函数.

（3）f′（x）=-3x2+6x=-3x（x-2），令f′（x）=0得x=0或x=2. 函数f（x）的变化情况如下：

[x＼&（-∞，0）＼&0＼&（0，2）＼&2＼&（2，+∞）＼&f′（x）＼&-＼&0＼&+＼&0＼&-＼&f（x）＼&＼&0＼&＼&4＼&＼&][→][→][→]

令f（x）=0，解得x=0或3.

（i）当b≤2时，f（x）在[0，b]上单调递增，因此f2（x）=f（x）=-x3+3x2， f1（x）=f（0）=0.

因为f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，所以，①f2（x）-f1（x）≤2（x-0）对x∈[0，b]恒成立；②存在x∈[0，b]，使得f2（x）-f1（x）>1·（x-0）成立.

①即-x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，由-x3+3x2≤2x，解得0≤x≤1或x≥2，要使-x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0

②即存在x∈[0，b]，使得x（x2-3x+1）<0成立. 由x（x2-3x+1）<0得x<0或.

综合①②可得：

（ii）当b>2时，显然有∈[0，b]，由于f（x）在[0，2]上单调递增，根据定义可得：f2

=， f1

=0，可得 f2

-f1

=>2×=3，此时f2（x）-f1（x）≤2（x-0）不成立.

综合（i）（ii）可得：

函数的基本性质是这部分内容的重点，主要涉及函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等.解决这部分的创新题，主要是将问题转化到函数的基本性质上来进行解决.

第三类：三角函数

三角函数基本性质

（★★★）必做1 如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”.

（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：①f（x）= ；②g（x）=sinx（x∈（0，π））.

（2）若函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数，求M的最小值.

[牛刀小试]

精妙解法 （1）① f（x）= 是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a+b>c，b+c>a，c+a>b， f（a）= ， f（b）= ， f（c）= . 因为（+）2=a+2+b>c+2>（）2，所以+>.同理可以证明：+>，+>. 所以f（a）， f（b）， f（c）也是某个三角形的三边长，故 f（x）=是保三角形函数.

②g（x）=sinx （x∈（0，π））不是保三角形函数. 取，，∈（0，π），显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长. 而sin=1，sin=sin=，不能作为一个三角形的三边长.

所以g（x）=sinx （x∈（0，π））不是保三角形函数；

（2）M的最小值为2.

①首先证明当M≥2时，函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a，b，c∈[M，+∞），且a+b>c，b+c>a，c+a>b，则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc.

因为a≥2，b≥2，a+b>c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b>c，所以lnab>lnc，即lna+lnb>lnc.

同理可证明lnb+lnc>lna，lnc+lna>lnb.

所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.

故函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞），M≥2）是保三角形函数.

②其次证明当0

当0

因为0M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnM+lnM=2lnM=lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，

所以h（x）=lnx不是保三角形函数.

所以，当M<2时，h（x）=lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数.

综上所述：M的最小值为2.

第四类：平面向量

平面向量的基本运算

（★★★★）必做1 在空间直角坐标系中，对其中任何一向量X=（x1，x2，x3），定义范数

X

，它满足以下性质：

（1）

X

≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；

（2）对任意的实数λ，

λX

=

λ

·

X

（注：此处点乘号为普通的乘号）.

（3）

X

+

Y

≥

X+Y

.

试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有向量X=（x1，x2），下面给出的几个表达式中，可能表示向量X的范数的是_______（把所有正确答案的序号都填上）.

①； ②；

③； ④.

精妙解法 由（1）知，当且仅当X为零向量时，=0， 因此可以排除②③.按照解题经验，本题答案应该是①④.

下面进行验证：现在探索一下①是否满足性质（3），+≥?2abmn≤a2n2+b2m2，这是显然成立的，所以①满足性质（3）. 又①显然满足性质（2），所以①能表示X的范数. 同理可知④也可以表示向量X的范数. 所以正确答案是①④.

第五类：立体几何

几何体表面积与体积

（★★★★）必做1 有这样一个事实，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，把一个正方形的中心固定在另一个正方形的某顶点，然后转动这个正方形，则无论怎样转动这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，试想有两个棱长均为a的正方体，把一个正方体的中心固定在另一个正方体的某顶点，再转动这个正方体，则不论这个正方体转动到何位置，则这两个正方体重叠部分的体积恒为（ ）

A. B. C. D.

[牛刀小试]

精妙解法 在平面图形中，取特殊位置，重叠部分可以是一个边长为的小正方形，其面积S=a·a=a2. 类比推理到空间，可知重叠部分是一个棱长为的小正方体，其体积V=

a3=，选A.

第六类：数列

数列的概念

（★★★★）必做1 已知数列{an}（n∈N?）满足：an=logn+1（n+2）（n∈N?），定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的数k（k∈N?）叫做企盼数，则区间[1，2005]内所有企盼数的和M=_______.

[牛刀小试]

精妙解法 因为an=logn+1（n+2）（n∈N*），

所以a1a2a3 …ak=log23·log34·…·logk+1（k+2）=··…·=log2（k+2）.

要使log2（k+2）为正整数，可设k（n）+2=2n+1，即k（n）=2n+1-2（n∈N?）.

令1≤2n+1-2≤2005?1≤n≤9（n∈N?），

则区间[1，2005]内所有企盼数的和M=k（n）=（2n+1-2）=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）

=（22+23+24+…+210）-2×9=-18=2026，所以M=2026.

（★★★★）必做2 给定集合A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N?，n≥3），定义ai+aj（1≤i

[牛刀小试]

精妙解法 ①因为2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，所以L（A）=5.

②不妨设数列{an}是递增等差数列，则a1

又据等差数列的性质：当i+j≤m时，ai+aj=a1+ai+j-1；当i+j>m时，ai+aj=ai+j-m+am，

因此每个和ai+aj（1≤i

数列的基本运算

（★★★★）必做3 设Sn为数列{an}的前n项和，若（n∈N?）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.

（1）若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{bn}是否为“和等比数列”；

（2）若数列{cn}是首项为c1，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，试探究d与c1之间的等量关系.

[牛刀小试]

精妙解法 （1）因为数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn=2·4n-1=22n-1，

因此bn=2n-1. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn=n2，T2n=4n2，所以=4，

因此数列{bn}为“和等比数列”.

（2）设数列{cn}的前n项和为Rn，且=k（k≠0），

因为数列{cn}是等差数列，所以Rn=nc1+d，R2n=2nc1+d，

所以==k对于n∈N?都成立，

化简，得（k-4）dn+（k-2）（2c1-d）=0，

则（k-4）d=0，

（k-2）（2c1-d）=0.因为d≠0，所以k=4，d=2c1，

因此d与c1之间的等量关系为d=2c1 .