2013年高考数学必做客观题——三角函数与三角恒等变换

车树勤

三角函数的定义

（★★）必做1 若角θ的终边过点P（-4t，3t）（t∈R且t≠0），则2sinθ+cosθ=_______.

[牛刀小试]

精妙解法 因为x=-4t，y=3t，所以r=5t.

所以当t>0时，sinθ===，cosθ===-，此时2sinθ+cosθ=2×-=.

当t<0时，sinθ=-，cosθ=，此时2sinθ+cosθ=2×

-+=-.

极速突击 直接利用三角函数的定义即可解题.

误点警示 由于t可正可负，所以不能错误地认为r=5t，而忽略r=5t，也别忘了对参数t进行分类讨论.

（★★★）必做2 已知tanα>0，且sinα+cosα>0，那么角α的终边在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

[牛刀小试]

精妙解法 设P（m，n）是角α终边上任一点，

OP

=r>0，则tanα=>0，且sinα+cosα=>0，所以m>0，n>0，即点P在第一象限，所以角α的终边在第一象限，故选A.

极速突击 设点在角的终边上，运用三角函数的定义解题.

同角三角函数的关系及诱导公式

（★★）必做3 若sin

-α=，则cos

+2α=________.

[牛刀小试]

精妙解法 cos

+2α=cosπ-2

-α=-cos2

-α= -1-2sin2

-α=-1+2sin2

-α= -.

极速突击 条件角-α与结论角+2α之间存在这样的关系：2

-α+

+2α=π，因此可通过诱导公式进行转化，求条件角的三角函数值.寻找条件角与结论角之间的关系是三角化简求值中的常见题型，需要仔细分析，看它们之间是否存在互余、互补等关系，通过配凑，转化为可用三角公式求解的形式.

（★★★）必做4 已知sin（3π-α）=cos

+β和cos（-α）= -cos（π+β），且0<α<π，0<β<π，则α+β的值为（ ）

A. π B. π

C. π或π D. π或π

[牛刀小试]

精妙解法 已知条件可化为sinα

=sinβ，①

cosα

=cosβ，②两式平方相加可得sin2α+3cos2α=2，即sin2α=，sinα=±. 因为0<α<π，所以sinα=. 所以α=或. 将α的值分别代入②可求得cosβ=或cosβ=-，又0<β<π，所以β=或. 因此α=，β=或α=，β=. 所以α+β=π或π. 故选C.

极速突击 求角α和β就是要求角α和β的某一个三角函数值. 解决问题的关键是在求出三角函数值后不要漏掉角的限制范围0<α<π，0<β<π.

误点警示 已知三角函数值求角时，一定要考虑角的范围，忽略这一点常常是导致三角函数求值出错的一个原因. 有时限制角的条件是隐含的，如：已知α，β为锐角，且sin（α+β）=，则数值中就隐含了一个缩小α+β范围的条件，因为sin（α+β）=<，且0<α+β<π，所以0<α+β<或<α+β<π.

三角函数的图象

对函数图象平移问题要分三个过程完成：①左右平移；②针对x的伸缩变换；③上下平移. 解答中注意变换的倍数与平移的单位与函数解析式的对应关系. 对于根据平移后的解析式求平移前的解析式，实际上是逆向思维问题，解答时只需将问题“倒过来”求解即可，但要注意题中的关键词“向左（右）、向上（下）、伸长（缩短）”就分别变成了“向右（左）、向下（上）、缩短（伸长）”. 由图象求解析式y=Asin（ωx+φ）+k或由代数条件确定解析式时，应注意：①振幅A=（ymax-ymin）；②相邻两个最值对应的横坐标之差，或一个单调区间的长度为T，由此推出ω的值；③确定φ值，一般将给定的特殊点的坐标代入解析式来确定.

（★★★）必做5 已知函数y=f（x），先将其图象向右平移个单位，再把图象上每一点的横坐标扩大为原来的两倍，所得图象恰好与函数y=3sin

x+的图象相同，则y=f（x）的解析式为_________.

[牛刀小试]

精妙解法 将y=3sin

x+的图象上每一点的横坐标缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到y=3sin2x+

的图象；将所得到的图象向左平移个单位，即y=3sin2x+

+

，所以f（x）=3sin2x+

.

极速突击 对函数y=3sin

x+的图象作相反的变换，寻求应有的结论即可. 此题为逆向求解，对图象作变换时要注意，横坐标的扩大与缩小只与ω有关，与其他参量无关. 图象的左、右平移应先把ω提到括号外，然后根据加减号向相应方向移动. 本题也可以设所求函数f（x）的解析式为f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），通过“正向变换”得到f（x）=Asin

x-+φ，与y=3sin

x+是同一函数，进行相应系数的比较后也可以得出结论.

误点警示 变换的先后顺序是易错点.如果由y=3sin

x+先向左平移个单位，再把图象上每一点的横坐标缩小为原来的一半，则将得错误结果y=3sin

2x+.

（★★★）必做6 图1为函数y=Asin（ωx+φ）图象的一段，其解析式为_________.

[y][x][O][-][][][M][][-][N]

图1

[牛刀小试]

精妙解法 法1：由图可知A=，T=--

=π，即=π，所以ω=2. 此时解析式为y=sin（2x+φ）. 因为图象过点

，0，所以0=sin

+φ. 所以+φ=0，解得φ=-. 所以解析式为y=·sin2x-

.

法2：由法1可得解析式y=·sin（2x+φ），因为图象过点-

，0，所以0=sin-

+φ. 所以-+φ=π，得φ=π+. 所以y=·sin2x+π+

. 所以所求解析式为y=-sin2x+

.

极速突击 由图象求函数解析式，一是根据图象的最高点和最低点得A；二是从图象求函数周期，利用周期公式得ω；三是把特殊点带入函数解析式得φ. 在确定A，ω值时没有疑义，但在求φ值时，往往寻找“五点法”中的第一零点

-，0作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置. “第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx+φ=；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π；“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx+φ=；“第五点”为ωx+φ=2π.

误点警示 在解法2中，“-+φ=π”是个易错点，如果写成-+φ=0，得φ=，则会得到错误的解析式y=sin2x+

. 如果图象中指明了最值的坐标，就最好选用最值的坐标代入式子求解，因为最值不存在图象的走势问题.

三角函数的性质

（★★★）必做7 函数y=3· sin

-

的单调递增区间为_______.

[牛刀小试]

精妙解法 设μ=-，则y=3sinμ. 当2kπ+≤μ≤2kπ+时，y=3sinμ随μ的增大而减小. 又知μ=-随x的增大而减小，所以当2kπ+≤-≤2kπ+，即-4kπ-≤x≤-4kπ-时，y随x的增大而增大. 所以y=3sin

-

的单调递增区间为-4kπ

-，-4kπ

-（k∈Z）.

极速突击 将-看做一个变量μ，求出μ的范围，结合μ=-是x的单调减函数，由复合函数的单调性可求得函数的单调区间. 也可以提出负号变成y=-3sin

-

，y=3sin

-

的单调递减区间即为y=3sin

-

的单调递增区间.

误点警示 本题一定要注意变量x的系数是负数，所以要把-放在μ的单调递减区间里求解. 但有时容易误以为求递增区间，即把μ=-放在y=3sinμ的递增区间2kπ-

，2kπ

+（k∈Z）里求解x的取值范围，而得到错误的结果.

（★★★）必做8 函数y=-2cos2x+2sinx+3的值域为_______.

[牛刀小试]

精妙解法 原式可化为y=-2（1-sin2x）+2sinx+3=2sin2x+2sinx+1=2sinx

++. 令t=sinx，则y=2t

++，t∈[-1，1]. 由二次函数的图象可知，当t=-时，y=；当t=1时，y=5. 所以所求值域为

，5.

极速突击 形如y=asin2x+bcosx+c型的函数，其实质同上面情况一样，特点是含有sinx，cosx，并且其中一个是二次，另一个是一次. 处理方式是应用sin2x+cos2x=1进行化简，使函数式只含有一种三角函数；再应用换元法，转化成二次函数求解.

误点警示 要注意换元后t的取值范围，若忽视了sinx∈[-1，1]，则结果就会出错；若题中x的取值范围不是R，而是给定的一个取值范围，则sinx换元后的t的取值范围就要相应发生变化.

三角函数的性质的难点是与三角函数图象相关的性质.要突破这一难点，就要牢固把握三角函数的图象：三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象在其对称轴处取到最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值之间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心之间的距离也是函数的半个周期；函数取最值的点和相邻的与x轴的交点之间的距离为函数的个周期.

和差角公式运算

当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果.要善于逆用公式，即从右往左用公式，将单角往复角转化.掌握常数三角化的运用，如1=tan45°等，这对解决形如“”型的问题特别重要.若题目中出现tanα±tanβ和tanαtanβ的结构，通常利用两角和与差的正切公式的变形式解决问题：tanα±tanβ=tan（α±β）·（1?tanα·tanβ）.

（★★★）必做9 已知函数f（x）=asinx-bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f

-x是（ ）

A. 偶函数，且它的图象关于点（π，0）对称

B. 偶函数，且它的图象关于点

，0对称

C. 奇函数，且它的图象关于点

，0对称

D.奇函数，且它的图象关于点（π，0）对称

[牛刀小试]

精妙解法 因为f（x）=asinx-bcosx=sin（x-θ）（其中tanθ=），由题意知-θ=-+2kπ（k∈Z），所以θ=-2kπ（k∈Z）. 所以f（x）=sinx-

+2kπ=· sin

x-，所以y=f

-x=· sin（-x）=-sinx.

所以y=f

-x是奇函数，且它的图象关于点（π，0）对称. 故选D.

极速突击 公式y=asinx±bcosx=sin（x±θ）（a，b为不同时为零的实数）可以化简函数表达式，解决三角函数问题时有重要的应用.

（★★★）必做10 已知cosα=，cos（α+β）=-，且α∈0，

，α+β∈

，π，则β=_______.

[牛刀小试]

精妙解法 因为0<（α+β）+（-α）<π，所以β∈（0，π）. 又cosβ=cos[（α+β）+（-α）]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα= -·+·=，所以β=.

极速突击 观察已知角和所求角，可作出β=（α+β）+（-α）的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角. 将条件中的角拆成结论中的角，或将要求的角拆成已知中的角，这种方法是连接、沟通已知与结论的重要手段；当角或三角函数可以分别进行拆项或添项处理时，若不能直接达到变换的要求，则可观察各角之间的关系，借助诱导公式来完成.

误点警示 有的同学会这样做：sinβ=sin[（α+β）+（-α）]=sin（α+β）·cosα-cos（α+β）sinα=·+·=，所以β=或β=.由于当β∈（0，π）时，sinβ不是单调函数，所以由sinβ=求角β还需要进一步讨论角β的取值范围；但当β∈（0，π）时，cosβ是单调函数，所以取余弦函数求角β更简捷.

（★★★）必做11 已知0<β<<α<，cos

-α=，sin

+β=，则sin（α+β）的值为_______.

[牛刀小试]

精妙解法 由于cos

-α=sinα+

=， 又<α+<π，所以cosα+

=-.

因为sin

+β=，<β+<π，所以cos

+β=-. 所以sin（α+β）=-sinα+

+β+

= -sinα+

cosβ+

+cosα+

·sinβ+

=.

极速突击 比较给出的角与待求式中角的关系，能发现

+β-

-α=+（α+β），当然也可先将cos

-α变化为sin

+α，再考虑

+α+

+β=π+（α+β），接下来只需求出相应角的正、余弦值，利用两角和与差的三角公式求解即可.

误点警示 在根据已知的三角函数值求未知的三角函数值时一定要先求角的范围，只有根据这个范围才能正确地求出三角函数值，这个过程一定不能省略.

倍角公式的运算

（★★★）必做12 已知x∈

-，

，且sin2x=sinx-

，则x=_________.

[牛刀小试]

精妙解法 因为sin2α= -cos2α+

=-cos2α+

=1-2cos2α+

，所以原方程可化为1-2cos2x+

=-cosx+

，解得cosx+

=1或cosx+

=-.

又x∈

-，

，所以x+=0或x+=. 所以x=-或x=.

极速突击 观察已知角和要求的角，发现它们之间是二倍角的关系，所以用二倍角公式求解.

二倍角公式常用的有：

变式1 sin2α=sin2α+

-cos2α+

=1-2cos2α+

=2sin2α+

-1，

变式2 cos2α=2sinα+

·cosα+

=2sinα+

sin

-α.

这两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为α+

.

（★★★）必做13 函数y=2sinx·（sinx+cosx）的最大值为（ ）

A. 1+ B. -1

C. D. 2

[牛刀小试]

精妙解法 y=2sin2x+2sinxcosx=1-（1-2sin2x）+sin2x=1-cos2x+sin2x=1+sin2x-

≤1+. 故选A.

极速突击 本题主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式. 在不少的三角函数题的解答中，都需将三角公式逆用，这里是指运用2sinαcosα=sin2α，2cos2α-1=cos2α，1-2sin2α=cos2α等.

误点警示 本题中x的取值范围是R，如果给定x一个限制范围，那么就要根据2x-的取值情况来确定sin2x-

的取值范围.