2013年高考数学必做客观题——导数及其应用

赵攀峰

导数概念及其几何意义

（★★★）必做1 设f（x）=（x-1）·（x-2）…（x-101），则f ′（1）等于（ ）

A. 0 B. 99！

C. 100！ D.101！

[牛刀小试]

精妙解法 设f（x）=（x-1）g（x），两边对x求导，得f ′（x）=g（x）+（x-1）·g′（x），所以f ′（1）=g（1）=（1-2）（1-3）·…·（1-101）=（-1）（-2）·…·（-100）=100！. 故选C.

极速突击 解本题的关键是把f（x）写成（x-1）g（x），求乘积的导数，再赋值.

（★★★★）必做2 已知函数f（x）=f ′（0）cosx+sinx，则函数f（x）在x0=处的切线方程是_______.

[牛刀小试]

精妙解法 f ′（x）=-f ′（0）sinx+cosx，令x=0，得f ′（0）=1，k=f ′

=-1，

所以切线方程为y-1=-x-

，即x+y--1=0.

极速突击 本题先求f ′（0）的值，再求在x0=处的切线斜率.

误点警示 导数f ′（x0）的几何意义是曲线对应的函数y=f（x）在某点x0处切线的斜率，因此切线方程可通过求导数先得斜率，再由切点利用点斜式方程求得. 求过点P（x0，y0）的切线方程时，一要注意P（x0，y0）是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只1条.

（★★★★）必做3 已知函数f（x）=sinx的图象与直线y=kx（k>0）有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于（ ）

A. -cosα B. -sinα

C. -tanα D. tanα

[牛刀小试]

精妙解法 f（x）的图象与直线y=kx（k>0）的三个交点如图1所示，且在π

，内相切，其切点为A（α，-sinα），α∈π

，.

由于f ′（x）=-cosx，所以-cosα= -，即α=tanα. 故选D.

[y][x][O][A][y=kx][π][y=

sinx

][α][2π]

图1

导数的运算

（★★★）必做4 设函数f（x）=，则使得f ′（x）>0的x的取值范围是（ ）

A. -∞

， B. 0

，

C.

，1 D. （e，+∞）

[牛刀小试]

精妙解法 f ′（x）=-，由f ′（x）>0，得lnx+1<0，所以0

（★★★）必做5 设函数f（x）=cos（x+φ）（0<φ<π）. 若f（x）+f ′（x）是偶函数，则φ=______.

[牛刀小试]

精妙解法 f ′（x）=-·sin（x+φ），

g（x）=f（x）+f ′（x）=cos（x+φ）-sin（x+φ）=2cos（x+φ+），

要使g（x）为偶函数，只需φ+=kπ（k∈Z），即φ=kπ-（k∈Z）.

又0<φ<π，所以k只能取1，即φ=π.

极速突击 本题先求f′（x），再利用偶函数的定义求得φ.

（★★★★）必做6 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M02，其中M0为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137的含量的变化率是-10ln2（太贝克/年），则M（90）=_______太贝克.

[牛刀小试]

精妙解法 M′（t）=-ln2×M02，则M′（30）=-ln2×M02=-10ln2，解得M0=600，所以M（t）=600×2，那么M（90）=600×2=600×=75太贝克.

误点警示 指数函数的导数（ax）′=axlna，特别的，（ex）′=ex，熟记公式是解决问题的前提.

定积分及其运算

（★★★）必做7 若设f（x）=x2，x∈[0，1]，

2-x，x∈（1，2），则f（x）dx等于（ ）

A. B.

C. D. 不存在

[牛刀小试]

精妙解法 先画出f（x）的图象，见图2的阴影部分，则

f（x）dx=x2dx+（2-x）dx=x31

0+

2x-x22

1=+4-2-2+

=. 故选C.

[y][x][O][1][2][图2]

极速突击 微积分基本定理：如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）=f（x），那么f（x）dx=F（b）-F（a）. 该公式又叫莱布尼兹公式，称F（x）为f（x）的原函数.

为了方便，常常把F（b）-F（a）记成f（x）dx=F（x）b

a=F（b）-F（a）.

误点警示 求定积分时关键是寻求原函数，积分区间不能出错.

（★★★）必做8 如图3，四边形ABCD是边长为1的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O，且通过点C，则阴影部分的面积为________.

[B][O][A][C][D]

图3

[牛刀小试]

精妙解法 以O为圆心，以OD为y轴建立直角坐标系，抛物线的方程为x2=2y，S=-dx=.

极速突击 在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，通过解方程组确定相应的积分区间.

导数的简单应用

（★★★）必做9 已知函数f（x）=x3-ax2+x+1在区间[1，+∞）递增，则实数a的取值范围是（ ）

A. （-∞，4） B. （-∞，4]

C. （-∞，2） D. （-∞，2]

[牛刀小试]

精妙解法 f ′（x）=3x2-ax+1，由f（x）在区间[1，+∞）递增，则f ′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即3x2-ax+1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，所以a≤3x+对x∈[1，+∞）恒成立.

设g（x）=3x+，x∈[1，+∞），g′（x）=3->0，所以g（x）≥g（1）=4，

所以a≤4，故选B.

极速突击 （1）若函数f（x）在区间D上满足f ′（x）>0，则f（x）为区间D上的增函数；

若函数f（x）在区间D上满足f ′（x）<0，则f（x）为区间D上的减函数.

（2）若函数f（x）为区间D上的增函数，则f ′（x）≥0对区间D恒成立；

若函数f（x）为区间D上的减函数，则f ′（x）≤0对区间D恒成立.

误点警示 f（x）在区间[1，+∞）递增，则f ′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，而不是f ′（x）>0对x∈[1，+∞）恒成立.

（★★★★）必做10 设函数f（x）=ex（sinx-cosx），若0≤x≤2013π，则函数f（x）的各极大值之和为________.

[牛刀小试]

精妙解法 求得f ′（x）=2exsinx，当x∈（2kπ，2kπ+π）时， f ′（x）>0；

当x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时， f ′（x）<0，所以当x∈（2kπ，2kπ+π）时， f（x）递增，当x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）递减，故当x=2kπ+π时， f（x）取极大值，其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π·[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π.

又0≤x≤2013π，所以函数f（x）的各极大值之和

S=eπ+e3π+…+e2013π=.

极速突击 本题先确定函数f（x）的极大值点，再求和.

误点警示 应用导数解函数f（x）的极值，要先求出f ′（x）=0的解，再判断在各个解的两侧导数值的符号，只有满足两侧导数值异号的解才是f（x）的极值点.

（★★★★）必做11 设函数f（x）=lnx-（a<-1），若f（x）在[1，e]上的最小值为，则a的值为_______.

[牛刀小试]

精妙解法 f ′（x）=，因为a<-1，x∈[1，e]，令f′（x）=0，则x=-a.

① 若1<-a0，即f（x）在（-a，e）上递增，所以[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1=，所以a=-；

② 若-a≥e，即a≤-e时，则x+a≤0， f ′（x）≤0在[1，e]上恒成立，即f（x）为[1，e]上的减函数，所以[f（x）]min=f（e）=1-=，所以a=-，矛盾.

故a=-.

极速突击 函数的最大（小）值在极值点或区间的端点取得，需要分极值点是否在区间内进行讨论.

导数的应用问题，首先要确定函数的定义域，再求导数f ′（x），得到导函数的零点后，一般列表判定单调区间与极值或最值；若是含参变量的单调性或极值问题，则应结合定义域对方程根的问题进行讨论；对于某些综合问题，还要进行命题转化（如恒成立、大小比较、数列问题等），逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意分类讨论、数形结合等思想的综合运用.