2013年高考数学必做客观题

何晓勤

集合的含义以及集合之间的关系

（★★★★）必做1 已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）

x∈A，y∈A，x-y∈A}，则集合B中所含元素的个数为（ ）

A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

[牛刀小试]

精妙解法 当x=2时，y=1；当x=3时，y=1，2；当x=4时，y=1，2，3；当x=5时，y=1，2，3，4. 所以集合B中所含元素的个数为10个，选D.

（★★★★）必做2 已知A={x

x2+2x-3=0}，B={x

mx-1=0}，若B?A，则实数m的值为__________.

[牛刀小试]

精妙解法 A={x

x2+2x-3=0}={1，-3}，由于B?A，下面对集合B进行分类讨论：①当m=0时，方程mx-1=0无解，此时B= ，满足B?A，所以m=0符合题意；②当m≠0时，B={x

mx-1=0}=

，由B?A得=1或=-3，解得m=1或m=-. 综上可得，实数m的值为0或1或-.

极速突击 求解含参方程的根或不等式的解集时，往往要对参数进行分类讨论，分类讨论的实质是将整体化为部分.

误点警示 在分类讨论时要注意做到“不重不漏”. 本题比较容易忽视m=0即B= 的情形，由于 有很多性质，如 ?A， ∪A=A， ∩A= 等，所以解题时要多留心.

集合的运算

（★★★★）必做3 若集合A={x

0≤x≤2}，B={x

x2>1}，全集U=R，则A∩（CUB）等于（ ）

A. {x

0≤x≤1}

B. {x

x>0或x<-1}

C. {x

1

D. {x

0

[牛刀小试]

精妙解法 因为B={x

x2>1}={xx>1或x<-1}，所以CUB={x-1≤x≤1}.所以A∩（CUB）={x0≤x≤1}，故选A.

极速突击 正确求解不等式的解集是集合运算的关键，注意在求补集时要在全集范围内求解.

（★★★★）必做4 已知集合A={x

x

1

[牛刀小试]

精妙解法 因为B={x

1

x≥2或x≤1}. 如图1，若要A∪（CRB）=R，必有a≥2.

[R][B][A]

图1

极速突击 在研究两个集合的交集、并集和补集的运算时，可以利用韦恩图或数轴来帮助理解.

四种命题及其关系

（★★★★）必做5 命题“若a>b，则2a-1>2b-1”的否命题为（ ）

A. 若a>b，则2a-1≤2b-1

B. 若a

C. 若a≤b，则2a-1≤2b-1

D. 若2a-1≤2b-1，则a≤b

[牛刀小试]

精妙解法 将原命题的条件和结论都否定即可，所以命题“若a>b，则2a-1>2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a-1≤2b-1”，故选C.

误点警示 注意命题“若p，则q”的否命题和否定的不同，否命题要求条件和结论同时否定，而命题的否定只需否定结论.

（★★★★）必做6 下列有关命题的说法正确的是（ ）

A. 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为假命题

B. 命题“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题

C. 命题“若∠A=∠B，则sinA=sinB”的否定是“若∠A≠∠B，则sinA≠sinB”

D. 命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题

[牛刀小试]

精妙解法 “若xy=0，则x=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，是真命题，所以A错误；“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”，是真命题，所以B正确；“若∠A=∠B，则sinA=sinB”的否定是“若∠A=∠B，则sinA≠sinB”，所以C错误；“若cosx=cosy，则x=y+2kπ或x=-y+2kπ”，所以D错误. 综上，选B.

极速突击 正确把握四种命题及其关系，在原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，原命题和逆否命题同真假，否命题和逆命题同真假.

充分必要条件

（★★★★）必做7 已知条件p：x≤1，条件q：<1，则p是?q成立的（ ）

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既非充分也非必要条件

[牛刀小试]

精妙解法 由<1得x<0或x>1，所以?q：0≤x≤1. 所以p：x≤1推不出?q但?q能推出p. 所以p是?q成立的必要不充分条件，选C.

极速突击 判断p是q的什么条件，关键是看p能否推出q，以及q能否推出p.

误点警示 在由q：<1求?q时，不能直接将不等式“<1”改为“≥1”，而应该先解出不等式，再求补集，否则容易导致漏解. 在判断充分、必要条件时，容易出现颠倒充分性和必要性的错误，注意准确理解概念.

（★★★★）必做8 已知p：x2-3x-4≤0，q：x2-6x+9-m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）

A. [-1，1]

B. [-4，4]

C. （-∞，-1]∪[1，+∞）

D. （-∞，-4]∪[4，+∞）

[牛刀小试]

精妙解法 p：x2-3x-4≤0即p：-1≤x≤4，记q：3-m≤x≤3+m（m>0）或3+m≤x≤3-m（m<0），依题意，p是q的充分不必要条件，则m>0，

3-m≤-1，

3+m≥4，或m<0，

3+m≤-1

3-m≥4，，解得m≤-4或m≥4. 故选D.

极速突击 准确解出p和q中的不等式是突破本题的关键. 从集合观点来看充分、必要条件，有如下法则：设p：x∈A，q：x∈B，若A?B，则p是q的充分不必要条件；若A?B，则p是q的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；若A?B且B?A，则p是q的既不充分又不必要条件.用集合法来判断命题之间的关系往往十分简明，要点可以概括为“小范围可以推出大范围，大范围不可以推出小范围”.

全称量词和存在量词

QUANCHENG LIANGCI HE CUNZAI

（★★★☆）必做9 下列命题中的假命题是（ ）

A. ?x∈R，2x-1>0

B. ?x∈R，lgx<1

C. ?x∈R，x2>0

D. ?x∈R，tanx=2

[牛刀小试]

精妙解法 因为当x=0时，x2=0，所以C为假命题. 而其他命题均是正确的，故选C.

（★★★★）必做10 命题“?x∈R，ex

A. ?x∈R，ex>x

B. ?x∈R，ex≥x

C. ?x∈R，ex≥x

D. ?x∈R，ex>x

[牛刀小试]

精妙解法 特称命题的否定为全称命题，即“?x∈M，p（x）成立”的否定为“?x∈M，?p（x）成立”，所以命题“?x∈R，ex

极速突击 对特称命题的否定，在否定结论的同时，还要把存在量词变为全称量词，特称命题的否定是全称命题. 对全称命题的否定，在否定结论时，还要把全称量词变为存在量词，全称命题的否定是特称命题.

误点警示 注意含量词命题的否定和不含量词命题的否定在形式上的差异.

（★★★★）必做11 已知命题p：?x0∈R，ax+x0+≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______.

[牛刀小试]

精妙解法 法1：因为命题p为假命题，所以“?x∈R，ax2+x+>0”为真命题. 当a=0时，x>-，不成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有a>0，

Δ<0，即a>0，

Δ

=1-4×a<0，所以a>0，

a>，所以a>. 故实数a的取值范围是

，+∞.

法2：若命题p：?x0∈R，ax+x0+≤0是真命题，则可得a≤0或a>0，

Δ

=1-4×a≥0，解得a≤. 所以，命题为假命题时，实数的取值范围是

，+∞.

极速突击 解法1利用了p为真和p为假互为反面进行转化，体现了“正难则反”的思想；解法2利用了命题p和其否定?p的真假性相反这一性质进行了转化，如果研究p的真假性不方便时，可以转化为研究?p的真假性，体现了等价转化的思想.

要判断一个全称命题“?x∈M，p（x）”是真命题，需要证明对限定集合M中的每一个元素x，都有p（x）成立；但如果在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0）不成立，那么这个全称命题就是假命题（即通常所说的举出一个反例）. 要判断一个特称命题“?x∈M，p（x）”是真命题，只要在限定集合M中至少找到一个x=x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在性命题就是假命题. 要否定全称命题“?x∈M，p（x）成立”，只要在集合M中找到一个x，使得p（x）不成立，也即“?x∈M，?p（x）成立”. 要否定存在性命题“?x∈M，p（x）成立”，需要验证对集合M中的每一个x，都有p（x）不成立，即“?x∈M，?p（x）成立”.