2013年高考数学必做客观题——平面向量与解三角形

向量的概念与运算

掌握平面向量的线性运算的三种运算形式，利用平面向量“数”和“形”的双重属性，借助平面图形的几何性质简化运算，这两条性质在解题中经常用到：

（1）已知A，B，C三点在直线l上，且直线不过点O，则有=α+β，其中α，β∈R，且α+β=1，反之亦然；

（2）已知A，B，C三点不共线，且点O满足++=0，则点O为△ABC的重心.

（★★★★）必做1 在△ABC中，点M满足++=0，若++m=0，则实数m的值为______.

[牛刀小试]

精妙解法 因为++m=（-）+（-）-m=0，所以（-m-2）++=0. 所以-m-2=1. 所以m=-3.

极速突击 解决该题的一种思维是将已知向量向目标向量进行分解，得出结果；另一种思维是理解已知向量条件的几何意义（点M是△ABC的重心），再结合三角形中线的向量形式，观察得出结论.

（★★★★）必做2 点O为△ABC的外心，已知AB=3，AC=2，若=x+y，x+2y=1，则cosB=_____.

[牛刀小试]

精妙解法 如图1，设点D为线段AC的中点，则=x+y=x+2y·=x+2y.

[C][B][A][D][O][图1]

因为x+2y=1，所以B，O，D三点共线. 所以AB=BC=3. 所以cosB=.

极速突击 源自课本例题的知识点在熟练理解的基础之上可以上升成结论，并应用于解题中时能起到事半功倍的效果.

平面向量基本定理及坐标表示

（★★★）必做3 已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量am=（-1，），n=（cosA，sinA），且m·n=0，则角A的值为________.

[牛刀小试]

精妙解法 由m·n=0得-cosA+sinA=0，所以tanA=. 又A∈（0，π），所以A=.

极速突击 通过对平面向量的坐标的学习，掌握用坐标进行向量运算的公式和定律.

（★★★★）必做4 如图2，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为150°，且

=

=1，

=2. 若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为_________.

[][y][x][O][A][-][1][-0.5][-3][C][B]

图2

[牛刀小试]

精妙解法 如图建立平面直角坐标系，则=（1，0），=

-，

，=（-3，-），代入=λ+μ（λ，μ∈R）得λ

-μ=-3，

μ

=-，解得λ=-4，μ=-2，故λ+μ=-6.

极速突击 坐标的引入，使向量真正成为数形结合的载体，为向量与其他代数知识的结合创造了前提条件.

（★★★★）必做5 如图3，在△ABC中，AD⊥AB，=，

=1，则·=_________.

[C][B][A][D]

图3

[牛刀小试]

精妙解法 以点A为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，建立直角坐标系，得B（xB，0），C（xC，yC），D（0，1），

=（xC-xB，yC），=（-xB，1）.

因为=，

所以xC-xB

=（-xB），

yC

=.

所以xC=（1-）xB，yC=.

所以=（（1-）xB，），=（0，1）.

所以·=.

极速突击 向量有几何法和坐标法两种表示形式，因此它的运算也有两种方式，此题还可通过向量的加减运算代入数量积的定义完成.

向量的数量积（模与夹角问题）

（★★★★）必做6 已知向量=（3，1），=（-1，a），a∈R，若△ABC是直角三角形，则a的值为_______.

[牛刀小试]

精妙解法 ①当A=90°时，⊥，即3×（-1）+1×a=0，所以a=3.

②当B=90°时，⊥，因为=-=（-4，a-1），所以3×（-4）+1×（a-1）=0. 所以a=13 .

③当C=90°时，⊥，所以-1×（-4）+a×（a-1）=0，此时a?R.

综上a=3或13.

极速突击 运用向量数量积的定义建立方程是解题的关键.

误点警示 容易忽略对直角的分类讨论，从而使得答案不完善. 涉及解决需要讨论的问题时，要从多角度出发，以确定符合条件的元素的多样化.

（★★★★）必做7 在正三角形ABC中，点P在线段AB上，满足=λ，若·=·，则实数λ的值是_________.

[牛刀小试]

精妙解法 如图4，取AB的中点D，设AD=BD=1，PD=x，

[C][B][A][D][P]

图4

则·=（+）·=·，即2x=（x+1）（1-x），

解得x=-1，所以λ=.

极速突击 向量的长度与角度问题要求较高，仍将是重点考查的内容，运用向量的数量积处理其他数学问题是一种新的趋势.

向量的应用

（★★★★）必做8 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ

+

，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A. 外心 B. 内心

C. 重心 D. 垂心

[牛刀小试]

精妙解法 因为，分别是与，同向的单位向量，由向量加法的平行四边形法则知+是与∠BAC的角平分线（射线）同向的一个向量，又-==λ

+

，所以点P的轨迹是∠BAC的角平分线. 从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心. 答案为B.

极速突击 熟悉向量加法的平行四边形法则以及向量减法的三角形法则.

（★★★★）必做9 如图5，E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则·=__________.

[F][B][A][C][E]

图5

[牛刀小试]

精妙解法 ·=（+）·（+）=

+

·

-

=·-

2+·（-）=

2=（62+32）=10.

极速突击 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，在直接求解困难时，可根据题设特点建立适当的直角坐标系，运用向量的坐标运算完成解答（此题就可以建立直角坐标系，运用向量的坐标运算求解）.

用向量法求解或证明几何问题时，要注意挖掘题目中的隐含条件及其几何性质的应用. 注意在知识的交汇点处设计的试题，如与平面几何、三角函数、解析几何的综合尤为突出.

正、余弦定理

（★★★★）必做10 在△ABC中，∠B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为_________.

[牛刀小试]

精妙解法 因为===2，所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin

π-A+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ）.

所以（AB+2BC）max=2.

极速突击 此题先运用正弦定理将边化角，再通过消元的思想统一角，最后进行三角运算得出结果，这是此类题型的通法.

（★★★★）a必做11 在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC， b，c分别表示角B，C所对的边长，则+的取值范围是____________.

[牛刀小试]

精妙解法 2≤+===+2cosA=+2cosA=sinA+2cosA=sin（A+φ）≤（其中a为BC的长）. 所以答案为[2，].

极速突击 余弦定理的代换是化简此题的关键，同时对已知条件的分析一定要到位.

正、余弦定理常以三角形为主要依托，所以处理三角形问题时必须结合三角形中的有关定理完成解题. 近几年的考题中，正、余弦定理出现的频率较高，因此要加强对正、余弦定理概念的研究，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形. 一般地，解三角形问题主要有以下四类问题：

已知两边及夹角求其他，利用余弦定理，此时三角形唯一确定；

已知三边求其他，利用余弦定理，此时三角形唯一确定；

已知两边及一边对角求其他，利用正弦定理，此时三角形可能不唯一；

已知两角及一边求其他，利用正弦定理，此时三角形唯一.