2013年高考数学必做解答题——平面向量，解三角形

向量工具在平面几何中的应用

（★★★★）必做1 如图1，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点， =x·+y·.

（1）若=，求x，y的值；

（2）若=3，

=4，

=2，且与的夹角为60°时，求·的值.

[O][A][P][B][图1]

[牛刀小试]

破解思路 考查向量的加减运算及向量的几何特征，借助向量的数量积代入运算即可.

精妙解法 （1）因为=，所以+=+，即2=+.

所以=+，即x=，y=.

（2）因为=3，所以+=3+3，即4=+3.

所以=+.

所以x=，y=.

·=

+

·（-）=·-·+· =×22-×42+×4×2×=-9.

极速突击 平面向量是高中数学的重要知识，近几年对向量的命题主要体现在垂直、共线、模长、夹角等问题中，灵活处理向量的数量积以及向量的模也是处理综合问题的关键.

（★★★★）必做2 在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若=sinθ·，=cosθ·，其中θ∈0，

.

（1）求sin2θ的值；

（2）记△OMN的面积为S，平行四边形OABC的面积为S，试求的值.

[牛刀小试]

破解思路 此题既涉及向量的加减运算，又综合了三角公式化简，是向量与三角、解三角形的交汇题，彰显向量在解平面几何问题时的工具价值.

精妙解法 （1）由题意可得==-，

所以=-=-（1+sinθ）·.

又=-=cosθ·-sinθ·，M，N，C三点共线，

所以=，则sinθ-cosθ=sinθ·cosθ ①.

①式两边平方，得1-2sinθ·cosθ=sin2θ·cos2θ，即sin22θ+4sin2θ-4=0.

解得sin2θ=2-2或-2-2（舍去）.

（2）由题意得S=

·

·sin∠AOB=sin2θ·S=S，即=.

极速突击 重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点.

向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量可转换性解决问题.

向量工具在三角函数中的应用

（★★★★）必做3 已知向量m=（sinx，-1），n=

cosx，

-，函数f（x）=m2+m·n-2.

（1）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；

（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f（B）=1，求+的值.

[牛刀小试]

破解思路 运用平面向量建立三角函数式，进而考查三角函数式的化简、求值以及三角函数的性质.

精妙解法 （1）f（x）=（m+n）·m-2=sin2x+1+sinxcosx+-2

=+sin2x-=sin2x-cos2x=sin

2x-.

故f（x）=1，此时2x-=2kπ+，k∈Z，得x=kπ+，k∈Z.

所以f（x）取最大值时x的取值集合为x

x=kπ

+，k∈Z.

（2）f（B）=sin

2B-=1，因为0

由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，于是

+=+=

===.

极速突击 向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.三角函数也是解决几何问题的有力工具，但较向量而言，具有公式多、变形复杂、技巧性强等弊病，因此，可以在与三角函数有关的问题中适当引进平面向量的方法，让思路更直观、解答更简洁.

（★★★★）必做4 已知△ABC的面积为S，且·=S.

（1）求tan2A的值；

（2）若已知B=，

-=3，求△ABC的面积S.

[牛刀小试]

破解思路 运用平面向量求三角形中角的三角函数值，为后继使用正、余弦定理奠定基础.三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意.

精妙解法 （1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.

因为·=S，所以bccosA=·bcsinA，

所以cosA=sinA， 所以tanA=2.

所以tan2A==-.

（2）

-=3，即

=c=3，因为tanA=2，0

所以sinA=，cosA=.

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=·+·=.

由正弦定理知：=?b=·sinB=，

所以S=bcsinA=××3×=3.

极速突击 本题主要考查和差三角函数，倍角公式，正弦定理的应用，平面向量的运算；考查运算变形和求解能力.

三角函数问题主要集中在：一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为y=Asin（wx+φ）（A>0，w>0）的形式，再研究其性质.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和方法去分析、解决问题，一定要突出向量的工具性作用.

向量工具在解析几何中的应用

（★★★★）必做5 如图2，已知椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M，若AM=MN，求∠AMB的余弦值.

[图2][A][O][F][B][M][y][N][l][x]

[牛刀小试]

破解思路 先由解析几何的知识得到向量的坐标，进而借助向量的数量积的坐标运算完成解答.

精妙解法 由已知可得A（-4，0），B（4，0），F（2，0），直线l的方程为x=8.

设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M2

，.

由M在椭圆上，得t=6，故点M的坐标为M（2，3）.

所以=（-6，-3），=（2，-3），·=-12+9=-3，

所以cos∠AMB===-，

即∠AMB的余弦值为-（用余弦定理也可求得）.

极速突击 用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，值得同学们重视.

（★★★★）必做6 已知定点A（-1，0），B（1，0），P是圆（x-3）2+（y-4）2=4上的一动点，求PA2+PB2的最大值和最小值.

[牛刀小试]

破解思路 因为坐标原点O为AB的中点，所以+=2，故可利用向量的知识将原问题转化为求向量

的最值.

精妙解法 设已知圆的圆心为C，由已知可得：=（-1，0），=（1，0），所以+=0，·=-1.

又由中点公式得+=2，

所以PA2+PB2=（+）2-2·

=（2）2-2（-）·（-）

=4

2-2·-2

2+2·（+）

=2

2+2.

又因为=（3，4），且点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，

所以3≤

≤7，故20≤PA2+PB2=2

2+2≤100.

所以PA2+PB2的最大值为100，最小值为20.

极速突击 有些解析几何问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手.

由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考也突出了对向量与解析几何的交汇考查，这就要求我们在平时的解析几何复习中，应抓住时机，有效地渗透向量的有关知识，树立应用向量的意识.

解三角形

（★★★★）必做7 在△ACD中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且cosA=.

（1）求sin2+cos2A的值；

（2）若a=2，求△ABC的面积S的最大值.

[牛刀小试]

破解思路 考查三角公式化简、余弦定理、三角形面积公式.

精妙解法 （1）sin2+cos2A=+cos2A=+2cos2A-1=.

（2）因为cosA=，所以sinA=，

因为a=2，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=4，

所以bc+4=b2+c2≥2bc，所以bc≤10.

所以△ABC的面积S=×bcsinA=bc≤3，当且仅当b=c时，S取得最大值.

所以当b=c时，△ABC的面积S的最大值为3.

极速突击 三角形是最简单的平面图形，也是中学数学涉及知识最多的图形，在高考中是重点.常常考查边角关系和正、余弦定理，且结合不等式和方程的知识，尤其是与基本不等式交汇.

（★★★★）必做8 如图3，在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值.

[A][F][C][E][B][D][图3]

[牛刀小试]

破解思路 此题设参数是关键，通过正弦定理把边转化成角，进而由三角函数求最值.

精妙解法 因为△ABC是直角三角形，AB=2，BC=1，所以∠A=30° .

设∠FEC=α，则得α∈0，

，∠EFC=90° -α，∠AFD=180° -60° -（90°-α）=30° +α，

所以∠ADF=180° -30° -（30°+α）=120° -α.

设CF=x，则AF=-x，在△ADF中，有=，

由于x=EF·sinα=DF·sinα，

所以=，

化简得DF=≥=.

所以△DEF边长的最小值为.

极速突击 要善于通过挖掘隐含条件，选准问题的切入点，恰当设参、用参，正确界定参数范围，建立关系，做好转化.

（★★★★）必做9 如图4，在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC=120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示. 已知∠ACD=60°，路宽AD=24 m，设灯柱高AB=h m，∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）.

（1）求灯柱的高h（用θ表示）；

（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记所用材料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值.

[B][C][A][D][θ][图4]

[牛刀小试]

精妙解法 （1）因为∠ABC=120°，∠ACB=θ，

所以∠BAC=60°-θ，因为∠BAD=90°，所以∠CAD=30°+θ.

因为∠ACD=60°，所以∠ADC=90°-θ.

在△ACD中，因为=，

所以AC==16cosθ.

在△ABC中，=，

所以AB==16sin2θ，即h=16sin2θ.

（2）在△ABC中，因为=，

所以可得BC==32cosθsin（60°-θ）=8+8·cos2θ-8sin2θ，

则S=AB+BC=8+8·cos2θ+8sin2θ=8+16sin（2θ+60°）.

因为30°≤θ≤45°，所以120°≤2θ+60°≤150°.

所以当θ=45°时，S取得最小值为（8+8）m.

极速突击 应用题是高考的必考题型，解决应用题的关键是要学会审题，根据条件选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意.

解三角形主要与三角变换相结合，直接在三角形中以处理边角关系的形式呈现.以实际问题为背景，结合向量或几何知识构建综合性题是可能的发展方向. 如何从实际问题中抽象出数学模型及与函数、不等式、几何等知识的转换是难点.