等差数列前n项和公式的两个突显

韩兴元

[摘 要]：本文从在思想方法的角度给出了等差数列前n项和两个公式的侧重点。

[关键词]：等差数列 思想 前n项和公式

一 突显函数方程思想

1） 方程思想：

所谓方程思想就是将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程，通过解决方程来解决问题。

例1 已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.

剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.

解析：设{an}的首项为a1，公差为d，则

解得 ∴S110=110a1+ ×110×109d=-110.

拓展：观察结构特点公式做如下变形： ，在处理问题是会更方便。

例2 如果等差数列 的前4项和是2，前9项和是 ，求其前n项和公式。

解：由变形公式得：

将 代入 得：

2） 侧重于函数思想

将 ，当 ，数列 为常数列；当 ，则 是关于n的二次函数，若令 则 。此时可利用二次函数的知识解决。

例题3 设等差数列满足 ，且 ，则 的前多少项的和最大？

解析：思路一：由3 a8=5a13得：d= a1，若前n项和最大，则 ，

又a1>0得： ，∴n=20，即 的前20项和最大。这一做法为通法。

思路二：

，当且仅当 时 最大。

点评：这一做法突显了数列的函数特征。

思路三：

由 得

，又∵ ，

∴ 的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为 ，故 时Sn最大。

点评：这一做法中几乎没有运算，抓住了题目条件，结合数列的函数特性做处理，显得十分巧妙。

二 突显等差数列性质

1） 侧重于性质：若 则 。

有些涉及等差数列前 项和的题目，常与等差数列的上述性质融合在一起，将 与其他条件进行转换。

例题4 一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）

A. 22B. 21C. 19D. 18

解：设该数列有 项且首项为 ，末项为 ，公差为 ，则依题意有

结合上述性质可得

代入（3）有

从而有

又所求项 恰为该数列的中间项，

故选D

点评：依题意能列出3个方程，若将 作为一个整体，问题即可迎刃而解。在求 时，巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。

2）侧重于等差中项

利用等差中项，可以实施等差数列前 项和 与其通项 的转换：

例题5 在等差数列 和 中，它们的前 项和分别为 ，且 ，则 的值是多少？

分析：利用等差中项建立起等差数列前 项和与其通项的联系是解决本题的关键。

解析：