突破陈旧模式，激活数学思维

段卉

摘 要：当前高中数学中，有不少学生存在陈旧的思维模式，影响其对数学学科的深入探索和学习. 那么该如何渗透数学思想，激活数学思维呢？本文从陈旧思维模式的成因入手，提出解决方案，并做了细致的分析.

关键词：数学思维；模式；激活思维

在多年的高中数学教学实践中，笔者发现一个问题：很多学生常常在课堂上貌似什么都能听懂，也能完成例题推导，但是一到独立思考解答的时候，就陷入困境，一筹莫展.到底问题出在哪里呢？笔者认为，首先是学生的思维模式出了问题，其次就是教师的教学方法出了问题. 显而易见，正是陈旧的教学方法导致了陈旧的数学思维模式. 那么在高中生数学思维中，存在哪些陈旧的模式呢？

[?] 高中生陈旧思维模式及其成因分析

笔者在教学中和学生进行了深入交流，也通过一些试题练习逐步挖掘出以下几种陈旧的惯性思维模式：

1. 消极定式

高中生在数学训练中存在着消极定式的问题. 其实这个问题相当普遍.何谓消极？何谓定式？消极就是故步自封，从自己固有的经验出发，不从实际问题考虑，一旦有过以前的解题经验就不再进行深入探索，而是直接将经验拿来套用. 这种不假思索地定式模式，严重影响了高中生数学灵活多变的思维生成. 如试题“求实数m，使方程x2+（m+2i）x+2+mi=0有实根”，不少学生给出的答案是：原方程有实根，当且仅当判别式Δ=（m+2i）2-4（2+mi）≥0，即m2-12≥0，解得m≥2或m≤-2. 为何会有这样的错误结论呢？究其原因，因为受到原有解答定式的影响，也即在实系数一元二次方程根的判别方法的干扰之下，把只能用于实系数的判别方法，机械地搬到复系数方程中来应用，造成了思维的负面定式. 又如刚学立体几何时，只要教师一提到两直线垂直，很多学生竟然下意识地认为这两直线必相交，如此错误的认识，不难看到消极的定式思维造成多么大的危害.

2. 缺乏联想类比

进入高中以后，所学的数学知识犹如高楼，各个层次之间互为关联. 高考中的命题常常将知识综合起来进行考量，如向量和解析几何、函数和数列等，知识之间互为依存又互为迁移. 但问题在于，很多学生学了前边忘了后边，学了后边忘了前边，将数学知识变成了单独的树木，一眼障目，自然看不到森林.高中生因为缺乏类比联想，在数学训练中出了问题往往“头疼医头，脚疼医脚”，无法辨证施治. 有的学生只满足一个答案，而忽略掉解题的逻辑性；有的学生忽视解答题的规范化书写，没有良好习惯；还有的学生只知道一味地做题，缺乏归纳推理等数学思维的建构.

3. 畏难退却

在高中生中还有一个普遍现象：一旦遇到有些难度的题目，他们就会轻易放弃. 如在函数应用题训练中，经常会有学生将简单的二次函数应用题当做“拦路虎”，要么留着不做，要么放到最后进行，好像那是一个很难啃的骨头. 其实这些题目在考试中分数比重较大，但实际问题并不是学生没有掌握相关知识，而是畏难退却的情绪在作怪，如求和：lgcot1°+lgcot2°+lgcot3°+…+lgcot89°，这样的题目一些学生看了，第一个本能就是非常难做，轻易不想动脑筋思考. 实际上这个问题很简单，联系原有的知识就可以解答.

4. 思考肤浅

现在高考题题目新颖，综合性强，注重对高中生分析问题和解决问题能力的考查，如果在数学学习中浅尝辄止，思维停留在一些概念的表层，或者是单纯地记忆一些公式概念，是根本无法进行数学思维的. 在课堂上笔者曾要求学生证明“若

a

≤1，

b

≤1，则ab+≤1”，有相当一部分学生是通过三角代换来证明的（设a=cosα，b=sinα），理由是

a

≤1，

b

≤1（事后统计这样的学生占到近20%）.

究其以上思维模式的原因，笔者发现问题在于：首先，高中生的基础不牢固. 每次接受新知识，都不是在原有的知识衔接上本着应用实践的目的来学习的，而是为了学知识而学知识，为了成绩而学习. 其次，高中生在学习数学的过程中，没有形成一个数学知识的整体框架，一到做题犹如盲人摸象，不能有自己的独立数学思维风格.

陈旧的数学数学思维模式不但阻碍了高中生的知识吸收能力，更不利于学生下一步在社会实践中的身心发展. 因此，作为高中数学教师，就要从突破陈旧思维模式开始做起，激活学生的数学思维.

[?] 从激活数学思维入手，突破陈旧模式

通过调查和分析不难知道，高中生陈旧的思维模式和教师课堂教学方法有很大关系. 那么该如何突破陈旧模式呢？笔者认为，要从课堂教学中的每一个环节开始，寻找激活高中生数学思维的有效途径，以下是几种探索：

1. 尊重差异性，因材施教

高中学生个性有差异，数学思维模式也有不同，在接受高中数学知识的起点上也有所不同. 这就要求教师要从个性上把握好不同学生的数学思维水平，采用分层次、多角度、步步推进的模式，让学生循序渐进. 如在题型设计上，笔者常常要照顾不同学生能力的问题，既要突破知识的难点，又要对优等生有很大的帮助，而且在整个操作过程中，要让学生保持足够的兴趣和活跃度.

如下列题目中，笔者这样设计：

（1）求出下列函数在x∈[0，3]时的最大值、最小值：①y=（x-1）2+1；②y=（x+1）2+1；③y=（x-4）2+1.

（2）求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值.

（3）求函数y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值.

上述设计层层递进，从基础到提高，照顾了不同层次学生的能力，有效调动积极性，让高中生克服为难情绪，乐于探索.

2. 渗透数学思想

数学教学的本质目标在于激活数学思维，建立数学思想，进行灵活多变的迁移和应用，而如何才能把握这些问题，就要求教师在教学中从渗透数学思想入手. 有的学生面对数学问题，首先想到的是套公式，模仿做过的题目求解，对没见过或陌生一点的题型便无从下手，这实质上就是缺乏数学思想的表现，如“设x2+y2=25，求u=+的取值范围”，若采用常规的解题思路，u的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：u=+，转而构造几何图形容易求得u∈[6，6]，这里对u的适当变形实际上就是数学思想的积极转化和应用.

3. 替换旧有消极定式

在教学中，教师要善于发现和挖掘学生本身的消极定式，并且只有当教师找到其消极性所在，才能够引导其找到解决办法. 那么在课堂教学中怎么才能做到呢？这就需要教师多从建设性的意义上进行鼓励，正面引导. 笔者在教学实践中采用替换的方式. 值得一提的是，替换并不是简单地换掉原来的定式，而是要分层次地等待学生获得认知和经验，等到学生意识到自己的问题所在，这个时候再进行比对，自然而然就会发现自己之前的问题错误，找到正确的方法和策略.

如在学习了“函数的奇偶性”后，学生出现了一些错误. 笔者发现主要原因在于其忽视定义域问题而导致判别无效，为此设计如下问题：判断函数f（x）=2x-

在区间[23-a-6，2a]上的奇偶性.这是个过渡和替换的过程，警醒学生进行细致思考. 不少学生由f（-x）=-f（x）立即得到f（x）为奇函数，这个时候笔者设疑问：（1）区间[23-a-6，2a]有什么意义？（2）y=x2一定是偶函数吗？学生这才意识到函数f（x）=2x-

只有在a=2或a=1即定义域关于原点对称时才是奇函数.

高中生的思维定式不是一朝一夕就能够被消除掉的，教师除了要有足够的耐心，还要有高度的热情和信心，给予学生关怀和鼓励. 更重要的是，教师还要有洞察的能力，一眼看到学生的消极定式，而后循序渐进，层层突破.

显而易见，高中数学思维模式的建构是一个长期的工程. 对于教师来说，这项任重道远的工程，不但要求能够激活高中生的数学思维，而且还要引导高中生进行深入的数学探索，灵活冷静地处理数学问题，并且将数学思维模式应用到实际的科技、科研当中，而这正是数学教育的本质所在. 为了这个目标，笔者将不遗余力，继续深入探索高中数学陈旧思维模式的突破和建立这个课题，寻找到更有效的途径改变当前的陈旧模式. 笔者相信，未来会有更多的同道者加入到这个探索的队伍中来.