联想·探究·推广·应用

苗晓禾

摘 要：通过对基本不等式的探究学习，从中挖掘数学思想方法，归纳、提炼出一些重要的数学结论，使学习更有效，知识掌握更牢固.

关键词：基本不等式；探究学习；拓展应用

基本不等式：

如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）.

如果a，b∈R，那么≥（当且仅当a=b时取“=”号）.

教学时，不能到此为止. 否则，就失去了它应有的价值. 我们可以引导学生进一步探究学习，从问题本身中挖掘数学思想方法，归纳、提炼出一些重要的数学结论，使这个问题成为知识与方法的生长点.

[?] 联想·探究

从项数上对基本不等式进行拓展探究：

结论1 如果a，b，c∈R，那么a2+b2+c2≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时取“=”号）.

证明：因为a，b，c∈R，

所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ac

即a2+b2+c2≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时取“=”号）.

从次数上对基本不等式加以拓展探究：

结论2 （1）如果a，b，c∈R，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b时取“=”号）.

（2）如果a，b，c∈R+，那么≥（当且仅当a=b=c时取“=”号）.

证法一：（1）因为a，b，c∈R，

所以a3+b3-（a2b+ab2）=（a-b）（a2-b2）=（a+b）（a-b）2≥0.

即a3+b3≥a2b+ab2. 同理可得，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥c2a+a2c，

所以2（a3+b3+c3）≥b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）≥6abc，

即a3+b3+c3≥3abc. 当且仅当a=b=c时等号成立.

证法二：a3+b3+c3-3abc=（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=（a+b+c）[（a+b）2-（a+b）c+c2]-3ab·（a+b+c）

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）

=（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0（当且仅当a=b=c时取“=”号）.

（2）可用（1）的结论加以证明. 还可将结论2推广到四项、五项、……，甚至一般情形.

结论3 如果a，b，c，d∈R+，那么a4+b4+c4+d4≥4abcd（当且仅当a=b=c=d时取“=”号）.

证法一：因为a，b，c，d∈R+，所以a4+b4≥2a2b2，c4+d4≥2c2d2，a2b2+c2d2≥2abcd，

所以a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2≥4abcd（当且仅当a=b=c=d时取“=”号）.

证法二：不妨设a≥b≥c≥d，a4+b4+c4+d4-（a3b+b3c+c3d+d3a）

=a3（a-b）+b3（b-c）+c3（c-d）-d3（a-d）

=a3（a-b）+b3（b-c）+c3（c-d）-d3[（a-b）+（b-c）+（c-d）]

=（a-b）（a3-d3）+（b-c）（b3-d3）+（c-d）（c3-d3）.

因为a≥b≥c≥d>0，所以a3≥b3≥c3≥d3，

所以a-b≥0，b-c≥0，c-d≥0，且a3-d3≥0，b3-d3≥0，c3-d3≥0.

所以a4+b4+c4+d4≥a3b+b3c+c3d+d3a （当且仅当a=b=c=d时取“=”号）

同理可证a3b+b3c+c3d+d3a≥a2bc+b2cd+c2da+d2ab，

a2bc+b2cd+c2da+d2ab≥4abcd（当且仅当a=b=c=d时取“=”号），

所以a4+b4+c4+d4≥4abcd（当且仅当a=b=c=d时取“=”号）.

结论4 如果a1，a2，…，an均是正实数，n∈N*，且n≥2，那么a+a+a+…+a≥na1a2·…·an（当且仅当a1=a2=…=an时取“=”）.

在结论3的证法二中，证明不等式a4+b4+c4+d4≥a3b+b3c+c3d+d3a时，可将证明思路推广到一般情形，就得到著名的排序不等式：

结论5 设有两个有序数组0

a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bj1+a2bj2+…+

（同序和） （乱序和）

anbjn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1.

（倒序和）

类似地，我们还可得到基本不等式的一般情形.

结论6 若a1，a2，a3，…，an均为正数，n∈N*，且n≥2，

则≥（当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号）.

结论7 若a1，a2，a3，…，an均为正数，n∈N*，且n≥2，

则≤≤，

（a1+a2+…+an）

++…+

≥n2.

以上均是当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.

评注 这是基本不等式的一般情形，即n个正数的几何平均数不小于它们的调和平均数，不大于它们的算术平均数.

我们把a2+b2≥2ab的两边同加上a2+b2，得

结论8 如果a，b∈R，那么≥

当Δ=0时，方程（a1x-1）2+（a2x-1）2+…+（anx-1）2=0有等根x0，所以a1x0=a2x0=…=anx0=1，

即当a1=a2=…=an时，等号成立.

由结论10的证明给我们的启发是，可以构造不等式（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0，此不等式对任意的实数x都成立，即不等式（a+a+…+a）x2-2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b+b+…+b）≥0的解集为实数集，而a+a+…+a>0. 因此，

Δ=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4（a+a+…+a）（b+b+…+b）≤0，

即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）. 当且仅当“=”号成立时，有Δ=0，此时方程（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2=0有相等的实数根x0，所以，x0===…=. 由此，可得如下结论：

结论11 若a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则

（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）（当且仅当==…=时取“=”号）. （评注：这是著名的柯西不等式.）

[?] 推广·应用

利用以上探究的结论可以解决很多问题，现举例说明.