一类竞赛不等式的统一的概率证法

张会军

摘 要：本文通过构造适当的概率模型，利用詹森不等式巧妙地给出了一类数学竞赛中不等式的统一的证明方法. 看得出来，这种方法不但新颖，简捷，同时也具有一定的创造性.

关键词：詹森不等式；凹凸函数；概率模型

[?] 概率意义上的詹森不等式

设随机变量X取值于区间（a，b），-∞≤a，b≤+∞，f是区间（a，b）上的连续凹（凸）函数，则当EX，E[（f（x）]存在时，有f（EX）≤（≥）E[f（X）]，等号当且仅当X服从单点分布时成立（这里EX，E[f（x）]分别表示随机变量X和f（x）的数学期望）.

下面我们就通过具体事例加以说明，以期开阔读者视野，为这类问题的解决注入新的活力.

上述几例，我们都避而不谈它们的一般证明方法，这里采用概率证法无疑给这一类不等式的证明增添了一条新的途径，从而使我们感受了一种新思路，诱发了数学思维的新视野，同时也为数学问题的解决注入了新活力.