椭圆“顶点三角形”的一个美妙几何性质及简证

摘 要：在椭圆中常遇见以焦点构成的焦点三角形问题，其有一些简单的几何性质；而近年高考试题中也出现了在椭圆上探究定点问题，笔者在一次模拟试题中，发现以椭圆顶点为背景的三角形上一个巧妙几何性质，通过简单论证并意外发现了一个推论，正是高考中研究的定点问题，希望对教学有所启示.

关键词：椭圆；顶点三角形；几何性质

定义 椭圆长轴的两个顶点和椭圆上其他任一点所成的三角形称为“顶点三角形”.

如图1，△ASB（其中A和B是椭圆长轴的顶点，点S是椭圆上异于A，B任一点），即为顶点三角形.

定理 椭圆顶点三角形两边（长轴外）延长线交于同一准线与不同的两点，这两点与顶点三角形长轴上两顶点连线交于一点且交点在同一椭圆上.

证明：如图2，椭圆+=1（a>b>0），顶点A（-a，0），B（a，0）. 点S（x0，y0）是椭圆上不同于A，B的任意一点，即+=1. 在△ASB中，延长AS，SB交椭圆右准线l：x=于点P和Q；

因为直线AS方程为：y=（x+a），

直线SB方程为：y=（x-a）；

连结PB，AQ并延长交于一点，设为T（xt，yt），则直线PB方程为：y=（x-a） ①，直线AQ方程为：y=（x+a） ②，

由于直线交点为T（xt，yt），即同时符合①②两式，①×②得：

yt=（xt+a）（xt-a），

化简得： y=（x-a2）. （*）

因为y=b2-x=（a2-x）代入（*）式，即y=-（x-a2）（**）

整理得：a2y+b2x=a2b2，即+=1；

所以点T（xt，yt）在同一椭圆+=1（a>b>0）上，结论得证.

推论 椭圆顶点三角形两边（非长轴）延长线交同一准线于两点，这两点与顶点三角形长轴端点相连所得直线交于一点，交点与顶点三角形上异于长轴的顶点所在直线必过椭圆焦点.

[图3][A][B][P′][T][Q][S][T′][Q′][P][S′]

说明：如图3，△ASB，△AS′B均是椭圆上的顶点三角形，延长AS，SB交准线于点P，Q，再连接PB，AQ，两直线交于T点，由上述定理知点在椭圆上，则TS与x轴交于点F，即为椭圆焦点.

推论证明类似定点问题，读者可自己尝试证明，这里不再阐释.