例谈数列通项公式的求法例谈数列通项公式的求法

唐洪伟

【摘要】新教材改革之后，数列作为高考的必考内容，在高考中以中低档难度为主。而求数列的通项公式研究项与项数之间的关系是进一步考查数列其他问题的基础。本文作者就几种常见数列通项公式求法略作论述。

【关键词】数列；通项公式；求法

新教材改革之后，数列作为高考的必考内容，在高考中以中低档难度为主。而求数列的通项公式研究项与项数之间的关系是进一步考察数列其他问题的基础。下面是几种常见数列通项公式的求法。

一、公式法

已知数列是等差或者等比数列用公式法。

例1 已知数列{an}是等差数列，且a2=7，a5=16,数列{bn}是各项为正数的数列，点(log2bn,log2bn+1)在直线y=x+1上，求数列{an}{bn}的通项公式。

解 由已知得，公差d=a5-a23=3，

∴an=a2+(n-2)d=3n+1。

∵(log2bn,log2bn+1)在直线y=x+1上，

∴log2bn+1=log2bn+1,∴bn+1bn=2。

∴{bn}是等比数列，bn=2n。

二、已知sn,求an

例2 已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,求数列{an}的通项公式。

解 当n=1时，a1=S1=5。

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1。

当n=1时不符合,∴an=5,n=1,

2n-1,n≥2。（此时，必须注意对n=1检验）

三、叠加法

已知an+1-an=f(n)，用叠加法。

例3 （2010年全国新课标）数列{an}满足a1=2,an+1-an=3?22n-1,求{an}的通项公式。

解 由an+1-an=3?22n-1得

a2-a1=3?2,a3-a2=3?23,a4-a3=3?25,…，an-an-1=3?22n-3。

将n-1个式子相加，得

an-a1=3?（2+23+25+…+22n-3)=3?2（1-4n-1)1-4。

∴an=22n-1。

四、叠乘法

已知an+1an=f(n)，用叠乘。

例4 已知数列{an},a1=12,an=n-1n+1an-1,(n≥2),求{an}的通项公式。

解 由已知得anan-1=n-1n+1,(n≥2)。

∴a2a1=13,a3a2=24,a4a3=35，…，an-1an-2=n-2n,anan-1=n-1n+1。

将以上n-1个式子相乘，得

ana1=13?24?35?…?n-2n?n-1n+1。

∵a1=12,∴an=1n(n+1),n=1时也符合。

∴an=1n(n+1)。

五、构造法

当{an}不是等差或者等比数列时，可以构造出等差或者等比数列。

例5 数列{an}满足a1=4,an=3an-1-2，(n≥2)，求an。

解 由an=3an-1-2,得(an-1)=3(an-1-1)。

∴{an-1}为首项是3，公比为3的等比数列。

∴an-1=3n。

∴an=3n+1。

说明 如pan+1=qan+c,构造{an+b}为等比数列。

六、猜想数学归纳法证明

{an}不能用上述方法时，我们可以根据递推公式求出前几项，猜想{an}，然后用数学归纳法证明。

例6 已知数列{an},a2=6，且an+1+an-1an+1-an+1=n,求a1,a3,a4,并求数列{an}的通项式公式。

解 由已知得a1=1,a3=15,a4=28,

猜想an=n(2n-1)。

（1）当n=1，a1=1成立。

(2）假设当n=k时，ak=k(2k-1)成立。

则当n=k+1时，ak+1+k(2k+1)-1ak+1-k(2k-1)+1=k，整理,得

ak+1=(k+1)［2(k+1)-1］。∴当n=k+1时成立。

由（1）（2）可知对衝∈N+命题成立，∴an=n(n+1)。以上是数列通项公式的常见几种求法，在遇到具体问题时应恰当选择方法，转化成我们熟悉的形式。