一元二次不等式的解题方法探析

吕瑜芳

摘 要：一元二次不等式解题方法有很多，选用好的方法，可使解题快速、准确，收到事半功倍的效果.本文通过实例分析探讨了一元二次不等式的四类解法.

关键词：一元二次不等式 因式分解 数形结合

一元二次不等式及其解法不仅仅是对一类不等式进行求解，更是对模块一中有关函数内容的一种延续和上升，还是解决其他数学问题的一种重要工具.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的解法的延续和深化，对已学习过的集合、函数知识的巩固和运用具有重要的作用，也与数列、三角函数、线性规划、直线与圆锥曲线，以及导数等内容密切相关.许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用.本文对解一元二次不等式的方法作探讨，以抛砖引玉.

一、因式分解法

这种解法的优点是思路简单，容易理解，同学也易于接受，因式分解法求解一元二次不等式的主要解题步骤如下：

（1）先将一元二次不等式进行标准化为：ax+bx+c＞0（＜0），（其中a＞0）；

（2）如果ax+bx+c＞0在实数范围内能被因式分解，就可把它分解成为：a（x-x）（x-x）＞0（＜0）（其中a＞0），从而得到ax+bx+c＞0（＜0）的等价的不等式组，由不等式组的解而得到不等式的解；

（3）如果ax+bx+c＞0在实数围内不能被因式分解，则ax+bx+c＞0（＜0）的解只有两种可能：一是一切实数，二是空集.

注：分式不等式＞0?圳f（x）＞0g（x）＞0或f（x）＜0g（x）＜0；

分式不等式≥0?圳f（x）≥0g（x）≥0或f（x）≤0g（x）≤0.

二、数形结合法

数形结合思想，可以直观明了问题，降低难度，易掌握少出错，数形结合法求解一元二次不等式的主要解题步骤如下：

（1）观察二次系数的符号；

（2）弄清楚方程ax+bx+c=0的根的判别式△与0的大小关系，判定实根的个数；

（3）若方程y=ax+bx+c有两个不相等的实数根x和x，比较两者的大小；

（4）依据二次函数的图像写出解集（表1）.

表1 一元二次不等式图像与解集对照表

注：对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再进行运算.

三、区间符号分析法

区间符号分析法求解一元二次不等式的主要解题步骤如下：

（1）先将一元二次不等式进行标准化为：ax+bx+c＞0（＜0），（其中a＜0）；

（2）如果一元二次方程ax+bx+c=0有两个解，求出一元二次方程的两个解x，x，这样x，x两个数把实数轴分成三段：（-∞，x），（x，x），（x，+∞）；

（3）在区间（x，x）中随便找一个数β，计算aβ+bβ+c的值，由aβ+bβ+c的值的符号而选择符合的区间.

四、方程法

对基础较差的学生来说方程法是一种简单有效的好方法.应用方程法求解一元二次不等式的主要步骤如下.

（1）方程ax+bx+c=0的根的判别式△与0的大小关系；

（2）当△≥0，a与所求解的是同号时，则结果是用“或”；反之，a与所求解的是异号时，则结果是夹中间；

3）当△≥0时，a与所求解的是同号时，则结果是R（全体实数）；反之，a与所求解的是异号时，则结果是?覫（空集）.

下面我们分别利用四种方法求一元二次不等式2x+3x-2≤0的解集.

方法一（因式分解法）：

原不等式等价的不等式组为2x-1≤0x+2≥0或2x-1≥0x+2≤0，由此可得：x≤x≥-2或x≥x≤-2，所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤}.

方法二（数形结合法）：

求得2x+3x-2=0的两个根分别为和-2，而a=2＞0，所以图像的开口朝上（如图1），即不等式的解集为{x|-2≤x≤}.

方法三（区间符号分析法）：

求得2x+3x-2=0的两个根分别为和-2，这两个根把实数轴分成三段：（-∞，-2），（-2，），（，+∞）.

（图2）

在区间（-2，）中随便找一个数0，即2×0+3×0-2=-2＜0，得不等式的解集为{x|-2≤x≤}.

方法四（方程法）：

求得2x+3x-2=0的两个根分别为和-2，因为a=2＞0而求的是“△”异号，所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤}.

由上可知，在不等式的教学或复习中要有意识地注意方法的选择，在解决不等式类的习题中要确定好观察角度，对代数表达式的几何意义要具有主观感知，灵活地有潜意识地恰当运用方法，这样不仅了解并体会了数学思想方法的奥妙，而且提高了解题速度，同时优化了解题过程.

参考文献：

［1］刘朝斌.解一元二次不等式的几点技巧［J］.数学教学通讯，2004，（3）.

［2］贺小虎.一元二次不等式的新解法［J］.雁北师范学院学报，2005，（2）.

［3］张荣萍.不等式恒成立中的问题［J］.咸宁学院学报，2007，（6）.