高中数学函数教学的思考和对策

季小冬

函数是高中数学连接各个知识点的桥梁，是高中数学学习的基础，也是重难点知识之一，因此学好函数是进一步学好高中数学的奠基石.高中函数教学内容较多，课堂密度较大，教学进度要求很紧，知识面牵涉较广，很多题目存在较大的难度，这些问题在教学时都较难把握.面对高中数学函数教学出现的这些新问题和新的变化，我们需要进一步思考高中数学函数教学的对策.

一、新课标对高中函数教学内容的新要求

《高中数学新课标》中关于函数部分的内容，加强了对函数概念定义和函数应用的新要求，要求使学生通过丰富的教学实例，进一步认识函数是由变量变化而发生变化的重要的数学模型；同时要让学生通过实例去体会不同函数类型的含义.例如，高中数学新课标在《高中数学大纲》的基础上对函数的定义域、函数值域等以前较为困难的定义进行了淡化，也不再过于强调反函数的概念，只要求学生知道指数函数y=ax（a>0，a≠1）与对数函数y=logax（a>0，a≠1）互为反函数就可以了，目的是使学生更好地理解函数的基本思想方法和实质.

二、高中数学函数教学实例分析

（一）函数的奇偶性

函数的奇偶性是函数的一个重要性质.我们在教学中可以先概括出函数奇偶性的准确定义，随后再进一步通过例题讲解分析出函数的奇偶性和单调性之间的关系.

例 已知函数f（x）是偶函数，且在（-∞，0）上是减函数.基于此，判断f（x）在（0，+∞）上是减函数还是增函数.

解 由于偶函数的图像关于y轴对称，故猜想f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明如下：

任意取值x1>x2>0，则-x1<-x2<0.

∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，∴f（-x1）>f（-x2）.

又 f（x）是偶函数，∴f（x1）>f（x2）.

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数.

例题点评 这道题主要是要先结合图像的特征，然后进一步找出奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性的关系.

（二）方程根与系数的关系

例 设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0

（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明：x

（Ⅱ）设函数f（x）的图像关于直线x=x0对称，证明：x0

解 （Ⅰ）首先要证明x

∵x1，x2是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax2+bx+c，

∴f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

由于00.

又 a>0，则得出g（x）>0，即f（x）-x>0.∴x

根据韦达定理，有x1x2=c[]a，∵0

根据二次函数的性质，函数y=f（x）在闭区间[0，x1]上的最大值在x=0或x=x1；由于f（x1）>f（0），所以当x∈（0，x1）时，f（x）

（Ⅱ）∵f（x）=ax2+bx+c=ax-b[]2a2+c-b2[]4，（a>0），函数f（x）图像的对称轴为直线x=-b[]2a，并只有一条对称轴，∴x0=-b[]2a.

∵x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据韦达定理，得x1+x2=-b-1[]a.

∵x2-1[]a<0，

∴x0=-b[]2a=1[]2x1+x2-1[]a

解析 由题意可以联想到：方程f（x）-x=0可变为ax2+（b-1）x+1=0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a，b，c之间的关系式，因此利用韦达定理，结合不等式的推导，顺利地解决这道题.

三、有效提高函数教学效果的几点建议

（一）多注意新课程的全套教材

我们在高中数学函数的教学中应要注意研究新课程标准和教材的编写意图，还要对其他版本的教材进行横向比较，了解各学段函数部分的教学内容与要求以及前后教学内容的衔接，进而在教学中充分了解当前的教学活动要从哪里开始，用什么样的教学方法提高教学效果等.

（二）注重学生数学思维的培养

学生的数学思维是衡量其数学素养的重要标志之一，数学思想的强化有助于学生在数学知识和方法上更高层次的提升.因此我们在进行高中数学函数知识的教学时，应当同时注重对学生数学思维的渗透和培养.例如，我们可以通过分类思想的教学，培养学生思维的严密性和全面性；通过数形结合的思想进一步阐述二次函数、一元二次方程与一元二次不等式这三者之间存在的联系，将文字表述、图形或模型等数学方法，相互转换并在每节课中渗透，让学生体会函数与方程的“形”与“数”、“整体”与“局部”的内在联系，让学生站在数学思想的高度处理函数问题，这样有利于学生感悟数学思想方法，有效地提高教学效果.