关于数学教学中反思习惯的几点认识

朱军彪

摘 要 在当前的信息社会中，教学模式日新月异，但信息社会相对于工业社会极大程度扩展的是人的思维空间，在这样的思维空间中最基本的生存方式是思维活动，而思维活动的规范，决不能单纯地依靠外在的强制和训练，而必须依靠自己的自觉和认同，因此教学模式必然从教师的教转向学生的学，特别是学生在学习活动中自身内在的反思。

关键词 数学教学 反思性学习 反思意识 反思习惯 反思训练

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1002-7661（2012）04-0044-03

在当前的信息社会中，教学模式日新月异，但信息社会相对于工业社会极大程度扩展的是人的思维空间，在这样的思维空间中最基本的生存方式是思维活动，而思维活动的规范，决不能单纯地依靠外在的强制和训练，而必须依靠自己的自觉和认同，因此教学模式必然从教师的教转向学生的学，特别是学生在学习活动中自身内在的反思。

“反思”在当代认知心理学中属于元认知的范畴。它是指对自身的思维过程、思维结果进行再认知和检验的过程，是对已形成的数学思想、方法和知识从另一角度，以另一方式进行再认识以求得新的深入认识，或提出疑问作为新的思考起点。数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的学生不可能一次性地直接把握数学中学习活动的本质，因此必须坚持反思性学习，才能不断提高问题解决的有效性。

反思性学习是一种有效的学习方式，它的基本特征是探究性，即在考察学习活动的经历中探究其中的问题和答案，重构自己的理解，激活个人的智慧，并在活动中所涉及的各个方面的相互作用下，产生超越已有信息之外的信息，从而帮助学生学会，使他们的学习活动成为一种有目标有策略的主动行为，不断提出问题，发现有益的新知识、新方法，尤其是当把创新意识和问题解决的能力作为衡量和评价学生成绩优劣的主要标准时，更应重视反思性学习。

一、反思的前提

1.教师应具备反思意识

在目前数学教学中为了应试的需要，教师大都采取满堂灌，往往忽略了学习过程中反思这一环节，因此，首先教师要有反思意识，改变教学观念，充分发挥学生主体作用，有意识地引导学生进行反思，进一步为学生良好的个性品质的形成创造条件。

2.激发学生的反思意识

数学教学过程中，学生习惯于“吸取”学习过程中老师给予的，往往忽略了自己的参与。因此，课堂教学中，教师要善于创设情境，引发学生强烈的认知冲突，激发学生的反思意识，而这就要求教师要善于设疑，从学生的角度出发，从学生容易忽视的重要环节中提炼问题，然后通过环环相扣深入研究，并引导学生进行反思，努力减少盲目性，增强学生自觉性。引导学生经常地问及（提问或自问）：“现在在做什么？”或“准备做什么？”“为什么要这样做？”“实际效果如何？”

二、如何培养学生反思习惯

1.课堂教学是培养学生反思习惯的主渠道

培养学生的反思习惯贯穿于整个教学过程中，这就需要在平时概念教学，解题教学，复习教学中逐步培养。

数学概念一般是以准确精练的数学语言运用定义的形式给出的，具有高度抽象的特征，但是学生进行数学思维的核心时不能死记硬背来掌握概念定义，需要教师引导学生在形式概念定义的过程中进行反思。如在传授函数的奇偶性概念时，可以提出下面问题让学生进行反思：（1）为什么先要求定义域？（2）为什么要“任意自变量”？（3）如何来判断函数的奇偶性？（4）若函数在上是偶函数，求的值。通过对上述问题的反思，让学生再回顾定义形式过程，从而对于定义有一个深刻的理解，深化了学生的知识建构，有利于提高学生的数学思维能力。

数学学习效果最终是通过学生的解题来体现，通过解题来体现学生的思维能力及其它一些数学能力，因此解题后的反思就尤为重要，它可以在原有的基础上进一步建立更高层次的认知结构。G•波利亚曾指出：“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事来做。这样，他们错过了解题的一个重要而有效的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。”这一结论对于一般的人来说也是对的。因此，在实现了解题计划后，教师可引导学生针对自己的解题思路，解题规律，解题结果进行反思，可以考虑这样的问题：你能检验这一结果或这一论证吗？你能用不同的方法导出这一结果吗？有没有更为简单直观的方法？你能把这结果或方法用于其他的问题吗？

例1 求函数y=+（0

错解1：∵x∈（0， ），∴sinx∈（0，1]，则y=+≥2。

错解2：∵sin2x-2ysinx+4=0，且sinx∈R，

∴ =（2y）2-4?≥0，则y2≥4，

又∵y>0，∴y≥2.

显然这两种解法是错解，但在教学过程中经常会出现这两种解法，当学生有这些解法时，不应轻描淡写说是错解，应引导其进行反思，因为通过错解去挖掘题目及知识点内涵，可以完善数学思维品质。

反思1：为何1是错解？不等式成立的前提条件是什么？从而得出要注重不等式取等号的条件。

反思2：为何2是错解？sin2x-2ysinx+4=0根的情况如何？从而引出正解。

解法1：令t=sinx，x∈（0，1].则f（t）=t2-2yt+4=0不仅有解，而且应是在（0，1]有解。讨论：

（1）在[0，1]上仅有一解，则f（0）f（1）≤0，得y≥。

（2）在（0，1]上有两解，则由分析知，y不存在，∴ymin=。

反思3：除用二次函数来解外，能否用错解1中思路：不等式？

解法2：y=（sinx++）令sinx=t，f（t）=

∵f（t）=，t∈（0，1]上是减函数且sinx+≥2而当且仅当sinx=1时，上两式同时取最小值，∴ymin=。

解法3：∵≥2，

∴-≥-。此两式取等号的条件为sinx=1，

∴y=（-）2+2≥（-）2+2=，

∴ymin=。

反思4：上解法中是利用不等式及函数的单调性，那么能否直接利用某一函数的单调性来求解呢？

解法：设t=sinx，x∈（0， ）则t∈（0，1]，将原函数化为f（t）=+，易证f（t）在（0，1]上是减函数，∴当t=1时，ymin=f（1）=。

反思5：y=其形式上有什么特点？根据其形式特点能否把问题转化？

解法5：∵y=，∴2y=，令u=sinx，v=sin2x，则2y=问题转化为求抛物线v=u2（0≤u≤1）一段上一点与定点（0，4）连线的斜率的最小值，由几何意义知ymin=。

反思6：求函数y=的值域。

反思7：已知方程2sin2x-cosx+a=0有实数解，求实数a取值范围。

复习是联系新旧知识必不可少的手段。在复习过程中可通过反思沟通新旧知识的联系，挖掘知识之间的内在联系，促进知识的同化和迁移，也可有利于帮助学生建立合理的知识结构体系。

2.课后作业是培养学生反思的必要渠道

数学学习往往是通过做作业，以达到对知识的巩固，加深理解和学会运用，从而形成技能技巧，以及发展智力与数学能力。由于作业是在复习的基础上独立完成，能检查出对所学数学知识的掌握程度，能考查出能力的水平，因此在平时作业中可引导学生进行反思，发现存在的问题并及时探取措施加以解决，有着重要的作用。平时可以在以下几个方面对学生进行反思训练：

（1）作业本上的错解

数学学习过程中，由于学生在整体或局部上掌握知识不牢固，作业难免出错，重要的是必须对错误进行反思：

①错误出在何处？题意理解不完整，或是推理论证不严密，还是结论叙述不简洁？

②产生错误的根源是什么？概念理解不深刻，不准确或是解题方法选用不当，还是书写不规范？

③如何得出正确答案？

透过对错误表象的反思，发现错误的实质和导因，进而从导因上消除隐患，从实质上纠正错误，力争不“一错再错”，通过这种反思训练，有利于学生对基础知识的进一步理解和巩固，而且有利于学生思维严谨性的培养。

（2）改变传统作业的形式

作业是师生交流的一种形式，教师可以在作业中获得学生学习的信息，为了使获得的信息更个体化，更有针对性，可以在传统作业的基础上增加日记或学生反思小结，结合自己对知识点的理解对课堂知识进行整理，给出建议并展示自己美妙的解题方法。

例2 设正数p，g满足p3+g3=2，求证：p+g≤2。

经反思，学生在小结中发现了十几种证法，有综合法，分析法，反证法等，其中有两种证法更是别出心裁，独树一帜。

证法1：∵p，g>0，∴p3+1+1≥33=3p，

两式相加得：g3+1+1≥33=3g

p3+g3+4≥3（p+g），∴p+g≤2

证法2：设p，g是方程x2-mx+n=0的二根，

则p+g=m，pg=n（m，n>0）且m2-4n≥0，（1）

又2=p3+g3=（p+g）（p2+g2-pg）=m（m2-3n），∴n=。

代入（1）即得m3≤8，∴p+g≤2。

（3）提倡做开放性作业

在改变传统作业的形式后，可以要求学生做一些延时作业，这种延时作业其特点在于作业内容具有开放性，也不要求学生定时上交。延时作业的内容源于课本，也可以是一个问题的纵向或横向推理，也可以是一个未知结论的探索，可以是一类问题的专题总结，可以是对某些数学问题的探讨等，学生可以通过反思用不同的形式来表现自己的观点和意见。通过延时作业可以变被动学习为主动学习，激发学生对数学的兴趣，改善学习方法，完善知识结构，对培养学生的归纳总结和探索能力促进较大。

反思性学习是以“学会学习”为目的，是学习主动概括和表述数学系统的构建过程，思维过程，从而进一步明确学习目标，体验学习过程，积累教学活动经验，反思性学习同教学的策略与技术相结合，因此在数学教学中让学会有时间、有机会对自己数学学习的思维过程加以反思，让学生在反思中真正领悟数学的思想、方法、优化他们的数学认知结构，提高思维能力，更大地发挥和提高他们的智能和潜能。

（责任编辑 若 曦）