严格π-正则半群上的fuzzy同余*

李春华,刘二根

( 1. 华东交通大学基础科学学院，江西 南昌 330013；2. 华南师范大学数学科学学院,广东 广州 510631)

半群上的同余一直是半群学者的研究热点之一。自Samhan在文[1]中定义了半群上的fuzzy同余关系，对半群上的fuzzy同余进行了研究之后，国内许多学者对各类半群上的fuzzy同余进行了的研究[2-6]。 近几十年来,各种广义正则半群受到了人们的重视,特别地,各种π-正则半群的结构和同余理论引起了不少学者的关注[7-8]。本文利用半群fuzzy同余的概念,研究了π-正则半群上fuzzy同余的性质。在此基础上,给出了严格π-正则半群上fuzzy同余的性质和特征,并给出了严格π-正则半群上群同余的刻画,得到了严格π-正则半群上fuzzy同余为fuzzy群同余的相关条件。文中一般定义及记号均参见[8-12]。

为方便讨论,下面回忆fuzzy理论的有关定义和性质。

设X是一个非空集合,称映射f:X→[0,1]为X的一个fuzzy子集。∀x∈X,称f(x)为x对f的隶属度。令S为半群,称映射μ:S×S→[0,1]为S上的fuzzy关系。

定义1[12]令μ,ν为半群S上的两个fuzzy关系,∀x,y∈S,作如下定义:

1)μ⊆ν⟺∀x,y∈S,μ(x,y)≤ν(x,y);

2)μ∘ν(a,b)=∨x∈S{μ(a,x)∧ν(x,b)}。

定义2[12]令μ为半群S上的fuzzy关系,则称μ为半群S上的fuzzy等价关系,如果∀a,b∈S下列各款成立:1)μ(a,a)=1； 2)μ(a,b)=μ(b,a); 3)μ∘μ⊆μ。

定义3[12]令μ为半群S上的fuzzy关系,则称μ在S上关于乘法是相容的,如果∀a,b,x∈S下列各款成立: 1)μ(ax,bx)≥μ(a,b); 2)μ(xa,xb)≥μ(a,b)。

半群S上的fuzzy等价关系μ称为S的fuzzy同余,如果μ在S上关于乘法是相容的。为方便记,用μa表示半群S上所有与a具有fuzzy等价关系μ的fuzzy子集；用Cρ表示半群S上的二元关系ρ的特征函数。不难验证,ρ为S上的同余等价于Cρ为S上的fuzzy同余。令μ为半群S上的fuzzy同余,按如下定义乘法“*”:μa*μb=μab(∀a,b∈S),则容易验证S/μ={μa|a∈S}关于乘法“*”为半群且∀e∈E(S),μe=(μe)2。

引理1[12]令μ为半群S上的fuzzy同余,a,b∈S,则下列各款成立：

1)μa=μb⟺μ(a,b)=1;

2)μ-1={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}是S上的同余。

半群S上的fuzzy同余μ称为幂等可分的,如果(∀e,f∈E(S))μe=μf⟹e=f。半群S上的fuzzy同余μ称为fuzzy消去同余(群同余),如果S/μ关于半群乘法“*”为消去半群(群)。显然,fuzzy群同余为fuzzy消去的。

定义4 令μ为半群S上的fuzzy同余,称μ为幂等纯的,如果

(∀a∈S,e∈E(S))μa=μe⟹a∈E(S)

据文[12],在半群S上按如下定义关系ΔS:

(∀x,y∈S)ΔS(x,x)=1,ΔS(x,y)=0(x≠y)

则易知ΔS为半群S上的fuzzy同余,且为幂等可分的幂等纯fuzzy同余。

1 性质与特征

引理2 令S为π-正则半群,μ为S上的fuzzy同余,则S/μ关于半群乘法“*”为π-正则半群。

证明可由π-正则半群定义容易推得。

命题1 令S为π-正则半群,μ为S上的fuzzy同余,则以下各款等价：

1) (∀a∈S)μa∈E(S/μ);

2) (∃e∈E(S))μa=μe。

证明2)⟹1)。显然成立。

1)⟹2)。令μa∈E(S/μ),则(∀m∈N+)μa=μa2=μa3=···=μam。又S为π-正则半群, 故对于a2∈S,有n∈N+使得(a2)n=(a2)nx(a2)n,x=x(a2)nx。于是,μa=μa2=μa2n=μa2nxa2n=μa2n*μx*μa2n=μan*μx*μan=μanxan,而(anxan)2=anxananxan=anxa2nxan=anxan∈E(S)。至此,完成命题证明。

命题2 令S为严格π-正则半群,则下列各款成立:

1) Reg(S)/μ=Reg(S/μ);

2) 若μ为fuzzy消去的,则(∀e,f∈E(S))μe=μf。

证明1)仅证Reg(S)/μ⊇Reg(S/μ)(反包含的证明过程可直接推得)。为此,令μa∈Reg(S/μ),则存在x∈S,使得μa=μa*μx*μa=μa*μxa。注意到μxa∈E(S/μ)， 故由命题1,μxa=μe,其中e∈E(S)。于是μa=μa*μe=μae。又S为严格π-正则半群,故ae∈Reg(S),即μa=μae∈Reg(S)/μ。

2) 令e,f∈E(S),则由S为严格π-正则半群,得ef∈Reg(S)。注意到Reg(S)为S的完全正则子半群。故∃x∈V(ef)使ef=(ef)x(ef)。于是μeff=μef=μefxef。即μef*μf=μef*μxef。由μ为fuzzy消去的,得μf=μxef。同理,μe=μefx。而μxef=μefx，故μe=μf。

定理1 令S为严格π-正则半群,μ为S上的fuzzy同余,则S/μ关于半群乘法“*”为严格π-正则半群。按如下定义映射:μ#:S→S/μ,μ#(a)=μa,则μ#为S到S/μ的同态。反之,若μ#为S到半群T的同态,则Sμ#为严格π-正则半群,且∀g∈E(Sμ#),∃e∈S,使μe=g。

证明由引理2,S/μ为π-正则半群。下证Reg(S)/μ为S/μ的理想。令μa∈S/μ,μb∈Reg(S)/μ,则b∈Reg(S)。又由S为严格π-正则半群,得ab∈Reg(S)。于是μa*μb=μab∈Reg(S)/μ。即Reg(S)/μ为S/μ的理想。另一方面,由S为严格π-正则半群,易证Reg(S)/μ为S/μ的完全正则子半群。 因此,由命题2,Reg(S/μ)为S/μ的理想,且为S/μ的完全正则子半群。即S/μ关于半群乘法“*”为严格π-正则半群。按上述定义μ#为S到半群T的同态是显然的。而定理的余下证明可由命题1推得。

2 群同余与fuzzy群同余

定理2 令S为严格π-正则半群,μ为S上的fuzzy同余,H为S满的、自共轭的子半群，记μH={(a,b)∈S×S|∃x,y∈H,μ(xa,by)=1},则μH为S上的群同余。

证明先证μH为等价关系。为此,可令a∈S,则存在n∈N+使得an为正则元,且an-1(an)′a,an(an)′∈E(S)。又H为S满的,故an-1(an)′a,an(an)′∈H。注意到,μ[an(an)′]a=μa[an-1(an)′a]。于是由引理1的1),μ(an(an)′a,aan-1(an)′a)=1。故(a,a)∈μH。 即μH为自反的。令(a,b)∈μH,则∃n,m∈N+使an,bm为正则元,且有x,y∈H使得μ(xa,by)=1。由引理1的1),μxa=μby。于是

μa(an-1)(an)′*μxa*μbm-1(bm)′b=μan(an)′*μby*μbm-1(bm)′b

即

μa[(an-1)(an)′xa bm-1(bm)′b]=μ[an(an)′ bybm-1(bm)′]b

进而,由引理1的1),

μ(a(an-1(an)′xabm-1(bm)′b),

(an(an)′bybm-1(bm)′)b)=1

注意到H为自共轭的,故an-1(an)′xa,bybm-1(bm)′∈H。又bm-1(bm)′b,an(an)′∈H,且H为S的子半群。因此,an-1(an)′xabm-1(bm)′b,an(an)′bybm-1(bm)′∈H。于是,由μH定义,得(b,a)∈μH,即μH为对称的。为了证传递性,又令(a,b)∈μH,(b,c)∈μH,则∃x,y,s,t∈H使得μ(xa,by)=1,μ(sb,ct)=1。即μxa=μby,μsb=μct。于是

μsxa=μs*μxa=μs*μby=μsby=μsb*μy=μct*μy=μcty

即μ((sx)a,c(ty))=1。故(a,c)∈μH,即μH为传递的。因此,μH为等价关系。

下证μH为同余关系。令a,b,c∈S,且有(a,b)∈μH,则∃n,m∈N+使an,cm为正则元,且有x,y∈H使得μ(xa,by)=1。 即μxa=μby。 上式两边分别右乘μan-1(an)′cm-1(cm)′ca及左乘μc,得

μ[cxan(an)′cm-1(cm)′]ca=μcb[yan-1(an)′cm-1(cm)′ca]

即

μ((cxan(an)′cm-1(cm)′)ca,cb(yan-1(an)′cm-1(cm)′ca))=1

注意到H为S的子半群。故xan(an)′∈H。 又H为自共轭的。故cxan(an)′cm-1(cm)′∈H。而cm-1(cm)′c∈E(S)⊆H。于是由H为自共轭的,有an-1(an)′cm-1(cm)′ca∈H。又由H为S的子半群,得yan-1(an)′cm-1(cm)′ca∈H。故(ca,cb)∈μH,即μH为左相容。类似地,可证μH为右相容。因此,μH为S上的同余。

最后,证μH为S上的群同余。任取a∈S,e∈E(S),则∃n∈N+使an为正则元,且有

μae[an-1(an)′a]=μ[aean-1(an)′]a,μ[ean(an)′]a=μea[an-1(an)′a]

即

μ(ae(an-1(an)′a),(aean-1(an)′)a)=1,μ((ean(an)′)a,ea(an-1(an)′a))=1

而an-1(an)′a,aean-1(an)′,ean(an)′∈H。故 (ae,a)∈μH,(a,ea)∈μH。即aμHeμH=aμH=eμHaμH。因此,对任意e∈E(S),eμH为S/μH的恒等元。即 ∀e,f∈E(S),有eμH=fμH。于是∀a∈S,e∈E(S),有aμH(an-1(an)′)μH=(an-1(an)′)μHaμH=eμH。即an-1(an)′μH为aμH的逆元。因此,μH为S上的群同余。

推论1 令S为严格π-正则半群,μ为S上的fuzzy同余,记

μReg(S)={(a,b)∈S×S|∃x,y∈Reg(S),μ(xa,by)=1}

定理3 令S为严格π-正则半群,μ为S上的fuzzy同余,H为S满的、自共轭的子半群，则下列各款成立：

1)CμH为S上的fuzzy群同余；

2) 若CμH⊆μ,则μ为S上的fuzzy群同余；

证明1) 、2)可由定理2及特征函数定义容易推得。

定理5 令S为严格π-正则半群,μ为S上的fuzzy同余,则下列各款成立:

aρ=(s′s)ρxρaρ=(s′sxa)ρ=(s′sby)ρ=(s′s)ρbρyρ=bρ

即(a,b)∈ρ。因此,结论成立。

2) 显然,ΔS为S上的幂等可分的幂等纯fuzzy同余。因此,由1)直接推得成立。

参考文献：

[1]SAMHAN M. Fuzzy congruences on semigroups[J]. Inform Sci,1993,74: 165-175.

[2]XIE X Y. Fuzzy congruences extensions in semigroups[J]. Advances in Mathematics,2001,30(3): 218-230.

[3]TAN Y J. Fuzzy congruences on a regular semigroup[J]. Fuzzy Sets and Systems,2001,117: 447-453.

[4]LI C H. Fuzzy good congruences on adequate semigroups[J]. Journal of Nanchang University: Natural Science,2007,31(1): 35-37.

[5]LI C H. Fuzzy good congruences on type-A semigroups[J]. Journal of Shandong University: Natural Science,2008,43(2): 40-43.

[6]LI C H. XU B G. Fuzzy good congruences on abundant semigroups[J]. Fuzzy Systems and Mathematics,2008,22(4): 39-42.

[7]TIAN Z J. π- inverse semigroup whose lattice of π-inverse subsemigroups is modular[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Science,1997,17(3): 226-231.

[8]YU B J. Construction of strictly π- regular semigroups[J]. Science in China:Series A,1990,11: 1159-1161.

[9]PETRICH M. Completely regular semigroups[M]. New York: John Wiley and Sons Inc,1999.

[10]ZHAN J M,DAVVAZ B,SHUM K P. A new view on fuzzy hypermodules[J]. Acta Mathematica Sinica,English Series,2007,23(8): 1345-1356.

[11]YING M S.Fuzzy topology based on residuated lattice-valued logic[J]. Acta Mathematica Sinica:English Series,2001,17: 89-102.

[12]JOHN N M,DAVENDER S M,NOBUAKI K. Fuzzy semigroups[M]. New York: Springer-Verlag,2003.