北江流域径流时间序列的分形特征解析*

陶 谨，陈晓宏，汪丽娜，谢毅文

(1.中山大学 水资源与环境研究中心，广东 广州 510275；2.广东省东莞市水务局,广东 东莞523888；3 .华南地区水循环与水安全广东省教育厅重点实验室,广东 广州510275；4.华南师范大学 地理科学学院，广东 广州 510631；5. 东莞理工学院 化学与环境工程学院， 广州 东莞 523808)

径流作为水文循环中重要的子要素，受多种因素的影响，加上人类活动的影响，使得径流时间序列表现出高度的非线性、复杂性和不确定性的特征。因此，传统的非线性方法很难将径流时间序列的内部表征进行较为全面的描述和研究。但非线性动力学的研究表明，一些看起来貌似随机的过程实际并不是随机的而是混沌的，具有某种内在的分形特征。随着混沌、分形理论引入到水文、气象学科中，人们逐渐认识到径流时间序列并非是纯随机过程，今天的径流量受到昨天的径流信息量的影响，本文采用R/S分析方法证实径流时间序列的长程相关性。由于多重分形(也称为分形测度) 研究的是一种物理量在一个支体或支集上的分布状况[1]，利用多重分形理论可提供定量刻划分形测度在支集上的分布状况，多重分形理论被广泛地应用在金融、地震、气象和水文上。本研究采用多重分形理论，进一步探究径流时间序列的分形性。

北江，是珠江的三大支流之一，分析北江流域控制站——石角站的径流时间序列的分形特征，不仅为北江流域的水资源综合利用提供理论依据，也为流域的可持续发展奠定研究基础。因此，本研究以北江流域石角站为研究对象，根据1954-2006年的径流资料序列，采用R/S分析方法和多重分形理论研究石角站53年各年年平均径流量的分形特征。

1 研究方法

1.1 R/S方法和V统计计算方法

R/S方法:上世纪50年代，英国水文学专家Hurst在研究尼罗河的水库流量与水库储存能力的关系时，提出一种R/S的非参数统计分析方法[2-4]，从而给出了一种判别时间序列是否对时间有依赖的统计量[5-7]。在此基础上，Hurst发现许多自然界现象的统计能很好的由有偏的随机游走来刻画，芒德勃罗特[8]也在上世纪60、70年代对此进行了广泛的探讨，并把它们称为分数布朗运动，目前，大家普遍称之为分形时间序列[9]。

其基本原理和方法[10]一时间序列ξ(t),t=1,2,···,N，将它划分为int[N/n]个，时间长度为n的独立时间序列，对于第m个时间序列样本，时间序列的特征值如表1所示。

表1 时间序列的特征值

设一时间序列ξ(t),t=1,2,···,N，是相互独立、方差有限的随机序列，即布朗运动。赫斯特和费勒证明了，如果存在：

R/S∝(n)H

(1)

则说明所分析的时间序列存在赫斯特现象，H称为赫斯特指数。假设R和S之间的正比系数为C，则：

lg(R/S)=lgC+Hlgn

(2)

利用最小二乘法回归求出斜率，便是Hurst指数，即式(2)中H的值。

V统计值的计算方法:通过绘制lg(R/S)与lgn的图形可以估计时间序列的非周期循环性，对于R/S分析的log/log图，每一个循环的结尾，就是下一个循环的开始，通过寻找图中的转折点，可以估计何处发生突变，进一步可以估算出平均循环的长度。V统计得计算方法，最初有Hurst在1951年用于检验稳定性，它可以给出更加精确的算出循环长度的度量值，统计值V的计算式，如下式所示：

(3)

1.2 多重分形模型

多重分形是通过一个谱函数来描述分形结构上不同的局域条件、或分形结构在演化过程中不同层次所导致的特殊的结构行为与特征，是从系统的局部出发来研究其整体的特征，并借助统计物理学的方法来讨论特征参量的概率测度的分布规律。

对于时间序列x(t),t∈[0,T]，幂谱在无标度区间内满足如下关系：

E(ω)∝ω-β

(4)

其中，ω=1/T，表示为频率，β是指数(又称幂谱指数)。满足幂律的频率区间及相应的时间区间作为分形关系成立的尺度区间。在无标度区间内，研究对象具有无标度性，即具有自相似性，表明研究对象在形状、性质或其他方面是自相似的。

如果在分形体中，具有相同α值的小区域数目为Nα，则：

Nα(r)～r-f(α)

(5)

因此，f(α)就是用指数α所标征的子区域构成的子集的分维数。对于复杂的分形体，其内部可用一系列不同α值表示的子集，相同的α值，具有相同的奇异程度。因此，知道了f(α)是α的某一函数，就确定了这一系列子集的分形特征。且有：

maxf(α)=D

(6)

对于均匀分形，f(α)=α=D0，f(α)在f～α平面上只是一个点。

若统计矩具有如下形式：

M(λ,q)∝λτ(q)

(7)

式中，τ(q)被称为配分函数，若τ(q)是q的非线性函数，则时间序列是多重分形的，τ(q)若是q的线性函数，则对应的随机过程是单分形过程。

从信息论角度，当r→0时，得到：

Iq(r)=Cr-(1-q)Dq

(8)

2 结果与分析

对于年平均径流量过程，其R/S分析图和V统计图如图1和图2所示。图1表明,北江流域石角站年平均径流量的lg(n)和lg(R/S) 的相关性很强，年平均流量的Hurst指数大于0.8，意味着北江流域的年平均径流量时间序列未来的趋势与过去一致，即北江流域的径流过程具有长程相关性。而V统计量(图2)在刚开始的时候平稳上升，当lgn达到一定值后，统计值V开始上下波动，年平均径流量平稳上升与波动的临界点为1.2

图1 年平均径流量的R/S分析图

图2 年平均径流量的V统计图

北江流域年平均径流量的多重分形谱见图3-6，以年平均径流量的幂谱与频率之间的曲线为例，图3表明年平均径流量的lgE(ω)与lg(ω)之间成正比，且正比系数(a)的绝对值为0.9143，即相应于幂谱与频率之间的关系式的指数β，说明年平均径流量具有无标度性。进一步分析年平均径流量在其无标度范围内的多重分形性，由统计矩，即配分函数的定义可知，配分函数分析的分析方法可以判断研究对象是否具有多重分形的特性，年平均径流量序列的配分函数图可以有效地判别年平均径流量是否具有分形特征，如图4所示。图4为q取不同值时lg(λ)～ lg(xq(λ)) 的曲线簇，最上面的曲线所代表的q值为-50，最下面的曲线所代表的q值为50，从上至下依次为-50、-37.5、-25、-12.5、0、12.5、25、37.5和50。lg(λ)-lg(xq(λ)) 曲线图表明，当q>0时，北江流域年平均径流量的lg(λ)-lg(xq(λ))曲线呈现良好的线性关系；尽管当q<0时，年平均径流量的lg(λ)～lg(xq(λ))曲线有微小的波动，但整个尺度范围内的变化仍旧表现出较好的线性关系。因此可以认为，北江流域的年平均径流量时间序列在相应的标度范围内，具有分形特征。

图3 年平均径流量的幂谱与频率关系曲线

图4 年平均径流量的lg(λ)- lg(xq(λ))关系曲线

北江流域年平均径流量的q～τ(q)的曲线图(图5)表明年平均径流量的q～τ(q)曲线为凹向横轴的曲线，q～τ(q)之间存在非线性关系。因此，进一步说明北江流域年平均径流量的时间序列具有多重分形结构特征。不同的q值具有不同尺度函数的τ(q)值，不同幅度的波动具有不同尺度关系，且τ(q)随着阶数q值的增加而增加，当q>0时， (q)随着阶数q的增加的幅度变小。

图6为北江流域年平均径流量多重分形谱的α～f(α)曲线，α～f(α)曲线表明，年平均径流量具有多重分形随机游走的特征。

图5 年平均径流量的q-τ(q)曲线图

图6 年平均径流量的多重分形谱

多重分形参数分别为：①f(α)max= 0.7769，Δα=0.1600；②由于这年平均径流量的α-f(α)曲线形状呈现非钟型，分别计算f(α)最大值左右两侧的Δf(α)分别为：0.5106、0.6330。③f(α)最大值左、右两侧最小值连线斜率的绝对值为：0.7653。以上3项多重分形参数表明，年平均径流量的α-f(α)曲线反映出年平均径流量的内在动力学特征。上述分析表明，北江流域年平均径流量具有多重分形的特征。

4 结 论

通过对北江流域年平均径流量的研究，揭示了北江流域年平均径流量不是随机游动的，而是有偏随机游走的，具有分形特征。并且北江流域年平均流量的Hurst指数大于0.5，表明北江流域年平均流量具有极强的持续性，即具有长期记忆性和混沌特征。这是由于人类活动的影响、气候的变化等外部等因素的作用，加之外部力量具有非周期性循环的特点，使得北江流域年平均径流量的具有长程记忆性，其消失的时间约为15-20年。

根据多重分形的分析法，本文得出北江流域年平均流量具有多重分形的特征，且多重分形谱的参数变化较准确、精细地揭示了北江流域年平均流量时间序列分形结构复杂的动力学特征。应用分形广义维数和多重分形的原理，对北江流域年平均流量的时间序列进行科学的分析，对推动非线性数学分析理论在水文时间序列中的实际应用具有重要的意义。北江流域年平均流量的多重分形谱参数具有较明显的变化特征，表明北江流域年平均流量时间序列具有复杂的特性，这为进一步描述北江流域年平均流量的复杂性规律提供了依据。在今后的研究中，如何将这些规律与相应的预测模型相结合，以其对北江流域的年平均径流量进行较好的预测是下一步工作的重点。

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