“微元法”在高中物理解题中的应用

龚建成

(石庄高级中学 江苏 如皋 226531)

随着新课改的深入发展，新的教育理念更加注重对学生各种能力的培养，尤其在高中物理教学中还应注重对学生物理思想方法的渗透.其中“微元”思想渗透于一些物理概念、公式中.近年来“微元法”在高考物理压卷题中频频应用，这既说明这种方法的重要性，也体现了新课程理念的要求.但许多学生对此感到困惑，无从下手.对此，下面就“微元法”谈谈在一些物理问题中的具体应用和做法.

1 用“微元法”解决问题的基本方法

“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无穷多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法.一般步骤可归纳为：

(1)确定研究对象，选取微元；

(2)列出相关微元方程；

(3)对相关微元进行累积求和.

2 “微元法”在解题中的应用

2.1 “微元法”应用于求非匀变速运动中的位移

【例1】从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时问变化规律如图1所示，t1时刻到达最高点，然后再落回地面.落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动．求：

图1

(1)球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；

(2)球抛出瞬间的加速度大小；

(3)球上升的最大高度 ．

解析：本题在第(3)问中用到“微元法”，球在上升阶段就是一个非匀变速运动问题，一般解题方法就难以处理.此时我们可以把上升过程分割成无限多个元过程，任取一个元过程分析其受力和运动情况，确定加速度大小.由于所选的元过程可以近似看成匀变速问题，这样就可列出速度大小的微元方程，最后进行累积求和，就能得到球上升的最大高度 .

(1)由动能定理得

克服空气阻力做功

(2)空气阻力

f=kv

由落地时匀速运动有

mg-kv1=0

设刚抛出时加速度大小为a0，则

mg+kv0=ma0

解得

(3)设上升至速度为v时加速度为a，则

-(mg+kv)=ma

取极短时间Δt，其速度变化为Δv，有

又因为vΔt=Δh

对上升全过程有

解得

2.2 利用在微元中变力做功的特点推导出力所做的总功

【例2】如图2(a)所示，质量为m的小车以恒定的速率v沿半径为R的竖直圆环做圆周运动.小车与圆环间的动摩擦因数为μ.试求小车从轨道最低点运动至最高点的过程中摩擦力所做的功.

图2

解析：本题中小车的运动为圆周运动，小车对轨道的压力大小方向在不断地变化，导致轨道与小车间的摩擦力大小方向也在不断地变化，这是个求变力做功的问题.把握住小车的运动相对圆心有明显的对称，利用“微元法”，我们取两个对称的微元进行研究.

如图2(b)，在圆环上取两个对称点A和B，OA和OB与竖直的直径的夹角均为θ，小车在做圆周运动，在A、B两点的向心力为

在A、B两点取两段无穷小的圆弧，摩擦力在A、B两点所做的微元功为

则小车由最低点运动至最高点的过程中，摩擦力所做的总功为

W总=ΔW1+ΔW2+ΔW3+ΔW4+…=

对称是解本题的特点，“微元法”是具体的解法.若本题不采用对称的方法求解，又不能用W=Fscosθ求功，则必须研究小车的牵引力，利用动能定理来求解.而这对于本题是不可能有结果的.因此，对称法也是物理解题中一种常用的方法.

2.3 “微元法”应用于求非匀变速运动中的时间

【例3】如图3所示，质量为m、边长为L的正方形闭合线圈，从有理想边界的水平匀强磁场上方高h处由静止起下落.磁场区域的边界水平，磁感应强度B垂直纸面向里.线圈的电阻为R，线圈平面始终在竖直面内并与磁场方向垂直，ab边始终保持水平.若线圈一半进入磁场时恰开始做匀速运动，重力加速度为g.求：

(1)此匀速运动的速度v;

(2)从静止起到达到匀速运动的过程中，线圈中产生的焦耳热Q;

(3)从线圈cd边进入磁场到开始做匀速运动所经历的时间t.

图3

解析：(1)线圈做匀速运动时，受到的重力和安培力平衡

mg=BIL

得

(2)线圈从开始下落到匀速运动过程中，由能量守恒定律

得

(3)设线圈进入磁场过程中的加速度为a

线圈进入磁场过程中，设极短时间Δt内的速度变化为Δv

对上式取和并用到Δx=vΔt

则

其中

得

2.4 “微元法”应用于求非匀变速运动中的速度

【例4】如图4所示，两平行光滑的金属导轨AD、CE相距L=1.0 m，导轨平面与水平面的夹角α=30°，AC端用导线连接R=0.40 Ω的电阻，导轨电阻不计．PQGH范围内存在方向垂直导轨平面的磁场，磁场的宽度d=0.40 m，边界PQ、HG均与导轨垂直．质量m=0.10 kg、电阻r=0.10 Ω的金属棒MN垂直放置在导轨上，且两端始终与导轨电接触良好，从与磁场上边界GH距离也为d的位置由静止释放，取g=10 m/s2．

图4

(1)若PQGH范围内存在着磁感应强度随高度变化的磁场(在同一水平线上各处磁感应强度相同)，金属棒进入磁场后，以a=2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，求磁场上边缘(紧靠GH)的磁感应强度；

(2)在(1)的情况下，金属棒在磁场区域运动的过程中，电阻R上产生的热量是多少？

(3)若PQGH范围内存在着磁感应强度B=0.50 T的匀强磁场，金属棒在磁场中运动过程受到F=(0.75v-0.5) N(v为金属棒运动速度)沿导轨向下的力作用，求金属棒离开磁场时的速度．

解析：(1)设磁场上边缘的磁感应强度为B0，金属棒刚进入磁场时的速度为v0，产生的感应电流为I0，受到的安培力为F0，则有

F0=B0I0L

mgsinα-F0=ma

代入数据解得

B0=0.25 T

(2)设电阻R上产生的热量为Q，金属棒到达磁场下边界时的速度为v，则

v2=v02+2ad

代入数据解得

Q=0.080 J

(3)设金属棒离开磁场时的速度为v′，则

其中

则

代入数据解得

v′=3.0 m/s

总之，“微元法”是分析、解决高中物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法，更是近几年高考提倡的处理物理问题的数学方法，是高考的热点.结合“微元法”，可以考查电磁感应、力学等方面的知识，运用这一方法不仅丰富了处理物理问题的手段，拓展了我们的思维，还为高中阶段的后续学习奠定了思维基础.因此，对于高中特别是高三的学生，应当要熟练掌握.