运用分类方法 突破高考难点——关于带电粒子在匀强磁场中运动问题的求解策略研究

周栋梁

(灌南高级中学 江苏 灌南 222500)

1 问题的提出

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题一直是高考中的热点和难点；解决此类问题的关键是确定运动轨迹的圆心.为此，本文首先找出确定圆心的三种基本方法，然后以此为基础提出新的分类标准，突出分类方法对研究方向的导向作用，进而形成有效的求解策略．

2 确定圆心的三种基本方法

带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时，有多种确定圆心的方法，但是下面三种方法是最基本的．

2.1 中垂线法

已知入射点、入射方向及出射点，但其轨道半径未知，可用“中垂线法”确定圆心位置．

如图1(a)所示，一带负电离子，以速度v垂直于界面s经过小孔O射入图示的匀强磁场中，并能通过磁场中的P点．对于此类情况，其确定圆心的方法如下:

(1)过O点作入射方向的垂线;

(2)作OP连线的中垂线，两线交点O′即为其圆心，如图1(b)．

图1

如果已知入射点、出射点及出射方向，其确定圆心的方法与此相同．

2.2 角平分线法

已知入射点及运动方向、出射方向，且它们的交点位置也是确定的，但其轨道半径未知，可用“角平分线法”确定圆心位置．

如图2(a)所示，一带正电的粒子从M点沿图示方向垂直射入匀强磁场中，并沿图示方向射出匀强磁场．对于此类情况，其确定圆心的方法如下:

(1)过M点作入射方向的垂线;

(2)反向延长出射方向所在的直线，与入射方向交于点O;

(3)作角α的角平分线，则两线的交点O′即为其圆心，如图2(b)．

如果已知出射点、出射方向及入射点，确定圆心的方法与此相同．需要说明的是，如果入射方向与出射方向的交点未知，则无法确定圆心的位置．

图2

2.3 量取法

如果轨道半径r已知，且入射点、入射方向也是已知的，则可用“量取法”确定圆心位置．具体方法是：过入射点作入射方向的垂线，在粒子所受洛伦兹力方向上量取距长为r的线段，对应的点即为带电粒子做圆周运动的圆心．如果已知出射点和出射方向，方法同上．

以上三种方法是确定圆心的最基本的方法，对于其他情况，可用这三种基本方法的组合来确定．

3 题型分类方法及其求解策略

3.1 题型分类方法

圆心的位置是由入射点、入射方向、出射点、出射方向及轨道半径五个因素中的某几个决定.但如以这五个因素的组合作为分类标准，所得的类别太多，不便于对求解策略进行研究．为此，本文以入射点、入射方向、出射点、出射方向四个因素的组合为分类标准，计有C44+C43+C42+C41=15种，再在此基础上，结合圆心确定方法的异同，进一步进行归类，计有表1中9类题型．

表1

3.2 分类研究

在以上9类题型中，第1、2类问题较为简单，限于篇幅不再分析．另外，在各类题型中，仅以表中的第一种情况加以研究，另外一种情况与其相同，故也不再分析．

(1)第3类 已知入射点、入射方向和出射方向

对于此类问题，分两种情况进行研究．

1)已知带电粒子的轨道半径，用“量取法”确定圆心．

2)如果带电粒子的轨道半径未知，则

a.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定出射点的位置，由“中垂线法”确定出圆心的位置；

b.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定入射方向与出射方向的交点位置，由“角平分线法”确定出圆心的位置．

【例1】(根据2004年宁夏等地高考题改编) 一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面．在xOy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内．一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向．后来，粒子经过y轴上的P，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图3所示．不计重力的影响．求：

(1)磁感强度B的大小；

(2)xOy平面上圆形磁场区域的最小半径R．

图3 图4

分析：本题是一种典型的运用“角平分线法”确定圆心的问题．反向延长出射方向所在的直线，交入射方向于M点，作∠OMP的角平分线交于y轴上的O′，则O′为带电粒子做圆周运动的圆心．

过O′作PM的垂线，其交点P′即为带电粒子射出磁场区域的位置(图4)，OP′即为磁场区域的最小直径，至此容易求出磁感强度B的大小和圆形磁场区域的最小半径．

(2)第4类 已知入射点及入射方向

对于此类问题，分两种情况研究.

1)已知带电粒子的轨道半径，用“量取法”确定圆心.

2)如果带电粒子的轨道半径未知，则

a.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定出射点的位置，由“中垂线法”确定出圆心的位置．

b.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定入射方向与出射方向的交点位置，由“角平分线法”确定出圆心的位置．

【例2】(根据2007年全国高考理综Ⅰ题改编)如图5所示，在 ，y>0,00,x>a，的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿x轴从O点射入磁场，其速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<

图5

分析：带电粒子要打在x轴上，一定是先经右侧磁场偏转后再进入左侧磁场偏转．为找出一般规律，不妨设带电粒子从图6中的M点进入右侧磁场区域，则其在左侧磁场中的运动就变为已知入射点、入射方向及出射点类型，用“中垂线”法可确定其圆心在O1点，线段O1M的长度即为其轨道半径．过M点作O1M的垂线，即可知道它进入右侧磁场的运动方向，由于左右两侧的磁感应强度相等，故其在右侧磁场中运动的轨道半径也等于线段O1M的长度，于是带电粒子在右侧磁场中运动的圆心可归结为已知入射点、入射方向且其半径也是已知的类型，则由“量取法”可知它的圆心位置在x=2a的直线上(图6)．

由图可知，α角越大，它打在x轴上的位置就越近，因此，打在x轴上的最近位置对应于带电粒子的圆心在(a,a)点，打在x轴上的最近位置是x=2a．至于满足条件的最远点位置，由题中的时间关系，计算出α=30°、β=90°，即其圆心在(2a,0)点．至此，本题不难求解．

图6

(3) 第5类 已知入射点及出射方向

对于此类问题，分两种情况研究.

1)如果已知带电粒子的轨道半径，由运动轨迹与边界的交点关系，确定入射方向或出射点的位置，可由“量取法”确定圆心位置．

2)如果带电粒子的轨道半径未知，则

a.由运动轨迹与边界的交点关系，确定出射点的位置，由“中垂线法”确定出圆心的位置；

b.由运动轨迹与边界的交点关系，确定入射方向、出射方向的交点位置，由“角平分线法”确定出圆心的位置.

图7

(1)粒子在A点进入磁场时，其速度方向与x轴方向之间的夹角及打到挡板MN上的位置到x轴的距离；

(2)粒子到达挡板上时的速度大小．

分析：本题为复合场问题，但其关键还是带电粒子在匀强磁场中的运动．通过对其在电场中的运动分析，可确定带电粒子在匀强磁场中的运动属于已知入射点及出射方向，并能求出带电粒子的轨道半径，由“量取法”可确定出圆心的两个可能的位置，见图8，至此问题就很容易得到解决．

图8

另外，要注意到在此类问题中，由于题给信息中已知点与运动方向不是联系在一起的，因而在命题时，常以粒子束的形式出现，此时需要关注一些特殊位置处的粒子的运动情况．比如2009年海南高考试题中的磁场类问题就属于此类问题，限于篇幅，不再赘述．

(4)第6类 已知入射点和出射点位置

对于此类问题，分两种情况研究.

1)已知带电粒子的轨道半径，由“中垂线法”可知，圆心在入射点、出射点连线的中垂线上，再用“量取法”可定出圆心的两个可能位置．

2)如果带电粒子的轨道半径未知.

由运动轨迹与边界的交点关系，确定入射或出射方向，由“中垂线法”确定圆心的位置．

图9

【例4】(1999年全国高考题) 图9中MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在着一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外．O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向．已知先后射人的两个粒子恰好在磁场中给定的P相遇，P到O的距离为L．不计重力及粒子间的相互作用．

( 1 )求所考察的粒子在磁场中的轨道半径；

( 2 )求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔．

图10

分析：在本题中，已知入射点、出射点，并能求出轨道半径 ，因此可以把“中垂线法”和“量取法”结合起来，确定出圆心两个可能的位置O1、O2．

以O1、O2为圆心，r为半径作圆Ⅰ、Ⅱ，连接O、P、O1、O2(图10)，设∠OO2O1=α，则由几何关系可求得

至此，容易求得对应的时间差．

(5)第7类 已知入射方向、出射方向

对于此类问题，分两种情况研究.

1)已知带电粒子的轨道半径，则

a.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定入射点或出射点的位置，由“量取法”确定圆心的位置．

b.根据入射方向与出射方向的交点位置，则结合“量取法”和“角平分线法”可确定圆心的位置．

2)如果带电粒子的轨道半径未知，则根据运动轨迹与边界的交点关系，确定入射点或出射点的位置以及入射方向与出射方向的交点位置，由“角平分线法”确定圆心的位置．

【例5】如图11所示，P点与R点关于坐标原点对称，距离为2a．有一簇质量为m、电荷量为q的离子，在xOy平面内，从P点以同一速率υ，沿与x轴成θ(0°<θ<90°)的方向射向同一个垂直于xOy平面的有界匀强磁场，磁感应强度为B，这些离子的运动轨迹对称于y轴，聚焦到R点．

图11

(1)求离子在磁场中运动的轨道半径r；

(2)若离子在磁场中运动的轨道半径为a时，求与x轴成30°角射出的离子从P点到达R点的时间t；

(3)试推出在x=0的区域中磁场的边界点坐标x与y之间满足的关系式．

分析：对于第(2)、(3)两问题，属于已知入射方向、出射方向且轨道半径也是已知的，因此可用“角平分线法”、“量取法”根据题设条件能求出轨道半径，具体方法如下:

1)如图12所示，过P、R作与x轴成30°的直线，其延长线交y轴于Q点．

2)由于轨迹关于y轴对称，故其圆心在y轴上，且y轴为∠PQR的角平分线，∠PQO′=60°．

至此对(2)、(3)两问的求解也就水到渠成了．

图12

(6)第8类 已知入射方向

对于此类问题，分两种情况研究.

1)已知带电粒子的轨道半径，则根据运动轨迹与边界的交点关系，确定出入射点的位置，由“量取法”确定圆心的位置．

2)如果带电粒子的轨道半径未知，要确定圆心的位置，则

a.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定入射点和出射点的位置，由“中垂线法”确定圆心的位置．

b.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定出射方向及入射方向和出射方向的交点位置，则“角平分线法”可确定圆心的位置．

c.如果在题给条件中，以粒子束的方式呈现有关信息，此时需要关注其中的隐含条件、临界条件．

【例7】(根据2009年浙江高考题改编)如图13所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在半径为R的圆内有与xOy平面垂直向外的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电粒子．发射时，这束带电粒子分布在0

图13

分析：本题仅知道粒子束的入射方向和磁场边界的形状，运用三种基本方法都无法确定其圆心，此时需要根据粒子束的运动特点，选取特殊位置的粒子为研究对象，确定轨道半径大小和出射点的位置．具体方法如下.

选择非常接近于O处的带电粒子为研究对象，则其经过磁场的偏转后，其射出磁场的位置应在其下方，由此可以推知，射出磁场的点就是O点；以非常接近于顶端粒子或从C射入的粒子为研究对象，它要经过O点，其轨道半径应等于磁场区域的半径R．在运用上面的极端分析方法后，需要用作图方法进行检验，至此，可以确定出出射点的位置，并求出磁感应强度．

(7) 第9类 已知入射点的位置

对于此类问题，分两种情况讨论.

1)已知带电粒子的轨道半径，则

a.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定出射点的位置，由确定圆心两个可能的位置.

b.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定入射方向，由“量取法”可确定圆心的位置．

2)如果带电粒子的轨道半径未知，要确定圆心的位置，则

a.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定入射方向和出射点的位置，由“中垂线法”确定圆心的位置.

b.根据运动轨迹与边界的交点关系，确定入射方向、出射方向及两方向的交点位置，则“角平分线法”可确定圆心的位置．

【例8】如图14所示，在直角坐标系的原点O处有一放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子．在放射源右边有一很薄的挡板，挡板与xOy平面交线的两端M、N与原点O正好构成等腰直角三角形．已知带电粒子的质量为m，带电量为q，速度为v，MN的长度为L．若在整个空间加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，要使板右侧的 连线上都有粒子打到，磁场的磁感应强度不能超过多少(用m、v、q、L表示)?若满足此条件，放射源O向外发射出的所有带电粒子中有几分之几能打在板的左边?

图14

分析：本题仅知道入射点的位置，故用三种基本方法无法确定其圆心位置，但题给条件中还有部分粒子出射点位置的集合，因此本题在确定临界状态的圆心位置时，首先考虑运用“中垂线法”方法确定圆心位置，具体方法如下．

由于对称性，不妨假设带电粒子带正电，磁场的方向垂直纸面向外．对于本题而言，要计算磁感应强度的最大值，不妨猜测带电粒子恰好能打在MN右侧的临界条件是：带电粒子从O射出经M点后又恰好经过N点，即M、N都在同一圆上，则由“中垂线法”可知，此时带电粒子的圆心既在OM的中垂线上，又在ON的中垂线，故其圆心就是O′点．当然，这种猜测是否正确，需用作图方法加以检验，具体方法如下.

图15

至此运用“猜测—检验”模式，使问题得到解决．这样容易得出磁感应强度的最大值为