解抽象函数的思路探究

冯爱雪

普通高中数学课程标准中，函数作为贯穿整个高中数学课程的一条主线.历年来，也是高考中重要的考点之一，其中抽象函数屡屡出现在高考试卷上.抽象函数由于只给出函数的某些性质，却不知道函数的解析式，因而成为函数问题中的一个难点.现从以下三个方面作一探讨：

一、重视“模型”，对号入座

高中数学课程中，有许多基本的函数模型，高中数学教学的主要任务之一就是把这些基本的函数模型“留”在学生的头脑中.这些函数模型是学生理解函数和思考其他函数问题的基础，促进学生对函数本质的理解有重要的意义.

常见的抽象函数与初等函数的对应关系：

二、适当赋值，恰当代换

赋值法是数学中一种重要的解题思路,给关系赋式或给未知数赋值,往往起到柳暗花明,峰回路转的功效.抽象函数问题也不例外.

反思：赋值法解决抽象函数问题是常用的有效方法，故通过新给的关系式，对其中的变量进行有效赋值.充分利用题设条件和定义,赋值求解.还要注意借助具体模型思考，联系解题目标赋值.

反思：解决抽象函数问题，需要适当地赋值及恰当地变量代换.本题中就多次赋值，及变量代换.这是解决此类问题的主要思路.

三、联系性质，关注图像

函数的性质和图象是对应关系.首先，要搞清函数的奇偶性、对称性，周期性的联系.其次，还要根据题设条件，掌握指定区间单调性.

反思：本题利用函数的奇偶性、周期性，同时也要考虑到函数在0≤x≤1时，f（x）=x的图象.这样就万无一失了.

例2 设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间［0，7］上，只有f（1）=f（3）=0．

（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间［-2008，2008］上的根的个数，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）因为在［0，7］上，只有f（1）=f（3）=0，

所以f（5）≠0，所以f（-1）≠f（1），

所以f（x）是非奇非偶函数．

（Ⅱ）由已知易得f（x）=f（10+x），

所以10是f（x）的最小正周期，

所以在每一个最小正周期内f（x）=0只有两个根，

所以在［0，2008］上的根的个数是402个，而在［-2008，0］上的根的个数是401个，即在闭区间［-2008，2008］上的根的个数是803个．

反思：这一道题综合考察了函数的奇偶性、对称性，周期性的联系.f（x）=0既考察了函数根的情况，又考察了函数图象的变化情况.学生需要对每一个最小正周期（或每一段区间）内f（x）=0根的情况都要搞清.

例3 已知函数y=f（x+1）的图象如图(1)所示,则函数y=f-1（x+1）的图象是( )

分析：由y=f（x+1）图象向右平移1个单位y=f（x）的图象关于直线y=x对称y=f-1（x）的图象向左平移1个单位y=f-1（x+1）的图象.故应选D.

总之，对于抽象函数，只要熟练掌握了基本初等函数的定义、性质、图象，头脑中再“留住”一批模型.我们就可对关系式赋试，再经过变换，可以揭开其面纱，而识得其“庐山真面目”.

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