浅谈抽象函数的解题策略

王文龙

在函数部分的综合题中，我们常会遇到一类抽象函数问题.由于其表达形式的现象和性质的隐蔽，使得直接求解的思路常难以寻求.事实上，这类问题都以中学阶段所学的基本函数为模型.只要我们善于联想和类比，挖掘出作为模型的函数，从抽象函数的背景函数出发，变抽象为具体，必能为解题提供思路和方法.笔者以例说明，希望能对同学们有所帮助.

一、正比例函数为背景函数

例1 已知函数f(x)定义在R上，对任意的x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时f(x)>0,f(1)=2,问当-4≤x≤4时，函数f(x)是否存在最小值?若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.

分析：以正比例函数f(x)=kx(k≠0)为背景函数，它满足f(x+y)=f(x)+f(y)或f(x-y)=f(x)-f(y)，因此求函数f(x)在［-4，4］上的最大值与最小值，要从函数f(x)在［-4，4］上的单调性入手来求解.

解：令x=y=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)，