有关数列求通项题的归类分析

杨晓光

近年的高考题中考查数列的题越来越注重综合，突出能力，其中求通项公式的题比较多.下面将近年的一些高考数列题中关于求通项的部分归纳总结.

一、利用数列的前n项和，求通项的表达式

1.已知数列的前n项和求通项公式的解法是利用当n=1时n１=S１，当n≥2时aｎ=Sｎ-Sn-1，注意验证a１是否在数列中.

例1 已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，其导函数f′（x）=6x-2，数列｛aｎ｝的前n项和为Sｎ，点（n，Sｎ）（n∈N＊）均在y=f（x）的图象上.求｛aｎ｝的通项公式.

解：依题意设f（x）=ax２+bx（a≠0），则f′（x）=2ax+b，

因为a=3，b=-2，即f（x）=3x２-2x．所以Sｎ=3n２-2n.

当n≥2时，aｎ=Sｎ-Sn-1=（3n２-2n）-3（n-1）２+2（n-1）=6n-5；

当n=1时，a１=S１=f（1）＝１，满足上式．所以aｎ=6n-5．

2.aｎ与Sｎ的关系问题.（1）一般情况下可用n-1代替原式中的n，联立两式相减后通过关系式aｎ=Ｓ１ （n=1），Sｎ-Sn-1（n≥2） 求解，转化成数列中相邻两项如aｎ与an-1之间的递推关系.（2）将aｎ换成Sｎ-Sn-1，转化成前n项如Sｎ与Sn-1之间的递推关系.（3）可先算前几项，猜测其规律，用数学归纳法证明.

例２ 正项数列｛aｎ｝前n和为Sｎ，S１ >1，6Sn=（aｎ+1）（aｎ+2），n∈N＊，求aｎ.

解:由a１ =S１ = （a１ +1）（a１ +2），解得a１ =1或a１ =2．因为S１ >1，所以a１ =2．

因为6Sｎ= ａ2ｎ＋3aｎ+2， ①

所以6Sn-1=ａ2ｎ－１+3an-1+2. ②

①-②得（aｎ+an-1）（aｎ-an-1-3）=0（n≥2）.

因为aｎ>0，所以aｎ-aｎ-1=3．即｛aｎ｝是公差为3，首项为2的等差数列.

所以aｎ=3n-1.

二、根据递推关系求通项

1. 迭乘法和迭加法: 形如aｎ-an-1=f（n）（n≥2），迭加后为aｎ-a１ = f（n）=（a２-a１ ）+（a３-a２ ）＋…＋（aｎ-an-1）.形如 =f（n）（n≥2） 迭乘后为 =f（2）f（3）…f（n）= • •…• .一般而言，迭加即为右侧可求和数列共n-1项的和，迭乘即为右侧可求积数列共n-1项的积.但仍需根据实际问题确定迭加或迭乘项是否为（a２-a１）或 .

例３ 数列｛aｎ｝，a１＝2，an+1=aｎ+cn，a１，a２，a３成公比不为1的等比数列，求aｎ.

解：由题意a１=2，a２=2+c，a３=2+3c，ａ2２ =a１a３，（2+c）２=2（2+3c），解得c=0或c=2．

因为公比不为1，所以c=2．

故an+1-aｎ=2n，aｎ-a１=（a２-a１）+…+（aｎ-an-1）=2+4+…＋2（n-1）=n（n-1）.

即aｎ=n２-n+2（n≥2）．当n=1时，上式也成立.所以aｎ=n２-n+2.

2. 构造特殊数列.形如an+1=caｎ+f（n）（c≠0），一般采用待定系数法构造等差或等比数列来求出通项.（1）f（n）为常函数时，则构造｛aｎ+x｝为以（a１+x）为首项，以c为公比的等比数列.（2）f（n）为一次函数时，则构造｛aｎ+kn+b｝为以（a１+k+b）为首项，以c为公比的等比数列.（3）f（n）为二次函数时，则构造｛aｎ+an２＋ｂｎ+ｄ｝以（a１+a+b+ｄ）为首项，以c为公比的等比数列.（4）f（n）为指数型函数如aqｎ时，要根据q与c是否一样来确定构造等比数列或是等差数列．例略．

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”