线中的数学思想

马　静／等

在直线、射线、线段这部分内容中，渗透了许多重要的数学思想方法，下面举例说明.

1. 数形结合思想

例1同学们去公路边植树，每隔3 m植一棵树，那么在21 m长的公路边可植几棵树？

解： 从图1中可以看出，可植8棵树.

[说明：]你可能会不假思索地回答，三七二十一，可植7棵树，那就错了.对于这类题目，要注意考虑线段的端点，否则容易出错.

2. 方程思想

例2如图2，点D、E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2 ∶ 5两部分，点E分AB为4 ∶ 5两部分，若DE=5 cm，则AB的长是多少？

解： 设AB=x cm，则AD=x cm，AE=x cm.

由AE-AD=DE，得x-x=5.

解得x=31.5.

故AB=31.5 cm.

3. 整体思想

例3如图3，C是线段AB上一点，点 D、E 分别是AC、CB的中点，若AB=10 cm，求线段DE的长.

解： ∵D、E分别是AC、CB的中点，

∴DC=AC，CE=CB.

∴DE=DC+CE

=AC+CB

=（AC+CB）

=AB

= × 10

=5（cm）.

[说明：]解答本题的关键是逆用分配律，得出待求线段和已知线段的关系.

4. 分类讨论思想

例4已知线段AB=8 cm，在直线AB上画线段BC，使BC等于3 cm，求线段AC的长.

解： 点C可能在线段AB上，也可能在线段AB之外，因此需要分类讨论.

当点C在线段AB上时，如图4所示，有

AC=AB-BC

=5 cm.

当点C在线段AB之外时，如图5所示，有

AC=AB+BC

=11 cm.

因此线段AC的长为5 cm或11 cm.

5. 归纳猜想思想

例5根据题意，完成下列填空.

l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内再画出第3条直线l3，那么这3 条直线最多可有个交点；如果在这个平面内再画出第4条直线l4，那么这4条直线最多可有个交点……由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可以有个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可以有个交点（用含n的代数式表示）.

解： 画图观察，如图6.根据图6可归纳出表1.

由此猜想：

a2=1；

a3=a2+2=1+2；

a4=a3+3=1+2+3；

a5=a4+4=1+2+3+4；

……

于是，可猜想n条直线最多可有交点个数为：

an=an-1+（n-1）

=1+2+3+4+…+（n-1）

=n（n-1）.

【责任编辑：穆林彬】

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