系统论视角下的单元整体教学研究

课题信息：淮安市“十四五”规划重点课题“系统论视角下初中数学单元整体教学的实践探究”，课题编号为2021GHKT021，主持人为韩先丽、李强；江苏省“十四五”规划重点课题“新课标背景下APOS理论在初中数学概念教学中的实践研究”，课题编号为B/2022/03/252，主持人为刘勤凤、吴从洋；江苏省“十四五”规划重点课题“跨学科背景下的初中数学项目式学习的实践研究”，课题编号为B/2023/03/286，主持人为沈迎华.

摘要：为了探究系统论视角下的单元整体教学，研究者以苏科版八年级下册第11章第2节“反比例函数的图象与性质”为例，以层层递进的类比探究活动帮助学生积累函数的研究经验.单元建构避免了课时学习造成的知识的碎、散、浅，同时克服了经验学习的“负迁移”现象，大大提高了知识的整体性、联系性和深刻性.

关键词：系统论；整体教学；反比例函数；单元建构

1 教学前思

教材的结构与内容是编者综合考虑学科知识的逻辑顺序、学生认知规律和心理发展特点，按一定的体系自下而上逐步展开的.若每一节课都按部就班地学习一个个“点状”的知识，则极易让学生形成“只见树木，不见森林”的状况，长此以往，学生学习的知识很难整合成为一个整体，学习的迁移度低，思维的提升也会有所限制.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联.......逐步培养学生的核心素养”[1].作为一线教师，我们应该积极探索实践单元整体教学，将学生已学过的知识系统化、结构化，建构深度学习的课堂场域.

2 教学过程

2.1 激活经验，建构路径

问题1 上一节课，我们又认识了函数家族的一位新朋友，你们还记得它是谁吗？

追问1：谁能说出它的一般形式？

追问2：我们是怎么得到反比例函数的概念的？

师：很好.我们从实际问题抽象出了反比例函数的概念，它最终又会用于解决实际问题.从生活中来，又到生活中去.

追问3：那么在解决问题之前，我们还应该研究反比例函数的哪些方面呢？

追问4：大家说得很好.那大家是怎么想到的呢？

师：也就是说我们可以借助之前学习一次函数的研究经验，进行类比学习.波利亚曾说过，类比是一个伟大的引路人.我们之前在学习分式的时候就类比了小学所学的分数.

师：这节课，我们就类比一次函数的研究路径和学习经验，来研究反比例函数的图象与性质.

设计意图：独立思考并观察一次函数的章节目录，猜想本节的研究内容，从而很自然地引入课题.类比一次函数的研究过程，引导学生体会研究反比例图象与性质的必要性.

2.2 类比旧知，构建框架

问题2 在学习一次函数的时候，我们是如何探究它的图象的？

追问1：画出图象后，我们接着又研究了什么？

追问2：类比一次函数的研究过程，对于反比例函数y=k/x（k≠0）的图象，我们要研究它的哪些方面呢？

设计意图：根据以往学习经验，建构反比例函数的整体研究框架，为新旧知识搭建了联系渠道，同时避免了学习的盲目性，提高了课堂效率.以下图1是前面两个环节建构的知识框架，学生在探索活动中不仅形成了数学基本思想，积累了基本活动经验，也培养了高阶思维品质.

2.3 迁移经验，问题探索

2.3.1 取值计算，由数想形

问题3 如果以函数y=6/x为例，让你具体来研究它的图象，你想怎么研究？

追问1：你想用什么方法？

师：描点法是我们研究函数图象常用的一种方法.之前在研究一次函数图象时，没有什么研究经验，我们就通过列表、描点、连线画出了一次函数的图象，发现一次函数的图象是一条直线.现在我们研究反比例函数图象时已有了研究一次函数图象的经验，先不动手画图，只根据函数的表达式来猜想函数图象的特征.这种操作我们称为“由数想形”.

追问2：你能不能根据x，y的取值猜想一下函数的图象有哪些特征？大家先自主思考，再同桌交流讨论.

教学说明：先让学生由数想形，在师生交流之下，层层追问，步步引导，建构反比例函数图象与性质的知识体系（如图2）.

2.3.2 分组操作，由形验数

问题4 反比例函数y=6/x的图象是不是具有上面我们猜想的特征呢？

师生活动：按小组分组画图，教师巡视，展示典型错误，通过追问、师生交流合作引发学生探究与思考，实现由“直”到“曲”的认知突破，同时，也总结归纳出反比例图象的画图规范与注意事项.

追问：两个点之间为什么用平滑的曲线连接而不是用折线连接呢？

设计意图：以上两个环节通过挖掘“式”背后的故事，分析“式”的结构得出“数”的特点；在此基础上由“数”想“形”，然后再用“描点法”画图，由“形”验“数”，数形结合，从而归纳总结出结论.这种研究方法能够激发学生主动探索、深刻领悟，而不是机械模仿、不求甚解；通过探索活动，潜移默化地让学生积累了类比、数形结合等研究经验;通过问题串引领学生细致认真地观察，积极主动地思考，条理清晰地表达，从而提升核心素养.

问题5 下面我们来逐一验证下刚刚的猜想.图象不经过原点对吗？那图象是如何分布的呢？

追问1：图象关于原点中心对称吗？如何验证？

追问2：可以采用透明纸描一下，再旋转180°观察下是否重合.那图象是否关于直线y=x和y=-x成轴对称图形呢？又如何验证呢？

生：画出四个象限的角平分线，再动手折叠感受下.

追问3：接下来，再来看，“y随着x的增大而减小”这句话对不对？

师：具体该如何准确表述反比例函数的增减性呢？我们以后会具体研究，这里留作悬念.

设计意图：由于描点法毕竟只取了较少的整数点，在每两个整数点之间图象又是怎样的呢？学生会有质疑，这样有部分学生可能会画成平滑曲线，也会有学生会画成折线段的形式.为了让学生亲自验证自己的猜想，释疑解惑，教师适时引导学生采用加密的方法放大函数图象，然后教师结合几何画板再进行二次加密，从而验证反比例函数的图象是平滑的曲线，最后再用说理的方式进行论证.学生经历了知识的猜想、形成与验证的数学活动，积累了图象性质课的活动经验，同时感悟数形结合思想和数学探究的严谨性.下面图3是由形验数环节的知识建构.

2.4 沉淀经验，内化提升

问题6 类比一次函数的研究经验，接下来你想继续研究哪些内容？说说你的想法.

追问1：我们之前在材料题中遇到过绝对值函数，以后还可能遇到对勾函数，初三还会学习二次函数，那研究我们不熟悉、陌生的函数图象时，你会采用什么方法呢？

追问2：除了利用描点法画图外，还有其他方法吗？

设计意图：通过总结反思，学生再次回顾整理知识的猜想、形成与验证的数学活动过程，感悟数形结合思想和数学探究的严谨性，同时为图象性质课的研究积累了宝贵的活动经验.

3 教学后思

3.1 整体建构，拓展认知高度

本节课首先通过问题引领学生类比八年级一次函数的学习，建构反比例函数的整体研究框架，然后再具体研究特殊反比例函数的图象和性质，这样不仅为后续学习提供了研究方向和路径，同时避免了知识的碎、散、浅，大大提高了知识的整体性、联系性和深刻性.新知的探究过程要遵循知识发生发展和学生的认知规律，这样，学生才可以在探索活动中形成数学基本思想，积累基本活动经验，培养高阶思维品质.

3.2 互动探究，提升课堂效度

本节课在探究反比例函数图象及其性质的过程中，通过观察“式”的结构分析出“数”的特点；在此基础上由“数”想“形”，然后再用“描点法”画图，由“形”验“数”，数形结合，从而归纳总结出结论.这种研究方法可以激发学生主动探索、深刻领悟，而不是机械模仿、不求甚解；通过探索活动，潜移默化地让学生积累了类比、数形结合的研究经验，并且课堂活动的设计引领学生细致认真地观察，积极主动地思考，条理清晰地表达，从而提升核心素养.

3.3 问题引领，激发思维深度

在整个教学中，教师以环环相扣的问题串，引领学生自主探究.以学生的类比学习为主线，通过回顾、猜想、画图等环节建构路径，归纳方法，感悟思想，进而发展核心素养.这节课充分地体现了学生学习的主体性、主动性.

通过一次函数学习经验的迁移，确实可以大大提高学习效益，但是，也正是因为学习过一次函数，学生容易产生“负迁移”，学生会想当然地用直线段连接两个点.“为什么是曲线而不是直线呢？”课堂中，教师要鼓励学生自我追问、敢于质疑的精神，培养学生发现问题、提出问题的能力，从而发展学生思维的自觉性.在层层递进的问题串的引领下，学生的思维才会走向深处.