聚焦典型问题 关注结构生成 提升复习质量

摘要：单元复习教学要关注数学知识的内在联系，将本单元零散的知识点串珠成线，结成网，并将本单元知识置于数学体系中，建立起知识的上下联系，促进知识结构化、认知结构化、方法结构化.通过重组教学内容，设计“典型问题”，借助问题驱动，在应用知识的同时，帮助学生完善知识的自我构建、提升核心素养、培养关键能力.

关键词：结构化教学；典型问题；一次函数；单元复习

《义务教育数学课程标准（2022版）》在“教学建议”中指出：“对内容进行结构化整合”“帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学体系”[1].复习课的一个重要功能就是建构知识体系，因此单元复习课更要注重结构化教学，关注知识的内在联系.

问题是数学的心脏，数学的灵魂是数学问题[2].单元复习课为了避免单纯知识点的简单罗列，实现结构化教学，就离不开问题的驱动，通过“问题引领”回顾梳理知识点，建构知识的关联，形成对知识的整体理解.借助“典型问题”的解决，探究数学本质，领悟数学思想方法，丰富数学活动经验，促进知识和方法结构化.这里提到的“典型问题”是指从数学知识的整体建构出发，对单元复习起着统领作用的关键数学问题，它指向问题的数学本质，体现本单元核心知识，通过递进、变式、引申、逆变等方式生长出具有逻辑关联环环相扣的问题链，从而串联本单元知识点[3].那么，如何设计“典型问题”，进而有效地驱动知识回顾和问题解决，破解单元复习碎片化和课堂题海这两大现实问题呢？下面以沪科版第12章“一次函数”单元复习为例进行说明.

1 教学过程

1.1 问题引领，建构联系

问题1 谈谈你对y=-1/2x+3的认识，可以得到哪些信息？能提出哪些问题？

教学简述：鼓励学生动手操作，大胆发言.在教师引导下能得到以下信息或问题.

（1）它是一次函数;（教师追问：什么是一次函数？它的图象是什么？）

（2）可以画出它的图象;（教师追问：如何画一次函数图象？用到了什么思想？）

（3）图象经过第一、二、四象限，y随x的增大面减小;（教师追问：怎样判断增减性？）

（4）可以求出与直线x轴y轴围成三角形的面积;（教师追问：如何求？）

（5）借助图象可以求方程-1/2x+3=0的解，可以求出-1/2x+3gt;0的解集；

（6）如果把直线y=-1/2x+3向下平移3个单位长度就得到y=-1/2x的图象……

教师根据追问和学生的发言，适时板书出相应的知识点，问题处理完后，将这些零散的知识点按照它们内在的逻辑关系串起来，形成本章的知识结构，如图1所示.

设计意图：教师不是简单通过罗列知识点“炒冷饭”的形式进行复习，而是根据学生已有认知，设置开放性问题，在教师适时的提问下，让学生从显性知识到隐形思维层层深入，驱动学生对整个单元的学习内容进行梳理、整合、重组，将学生头脑中零散的知识点系统化、结构化.学生在对本章知识回忆再认识的基础上，通过回顾本章的学习路径将知识点串成线结成网，建构清晰而明确的知识网络，并呈现本章知识结构图（如图1）.本环节通过开放性问题的设置，激发学生参与探究的热情，对学生的复习起到“知识再建构”的作用，同时提高单元复习课“知识梳理阶段”的学习效能.

1.2 典例探究，递进拓展

问题2 如图2，直线l1：y1=-1/2x+3与直线l2：y2=kx+b交于点P（3，m），l2与x轴交于点（2，0）.

（1）求直线l2的函数表达式y2；

（2）直接写出y=-12x+3，y=kx+b的解；

（3）当y1gt;y2时，求x的取值范围；

（4）当0lt;y1lt;y2时，求x的取值范围.

教学简述：以问题1为生长点，在平面直角坐标中呈现l1，l2两条直线，通过已知解析式y1求交点P的坐标，应用待定系数法求出y2的函数解析式；通过（2）（3）（4）三道题回顾一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式（组）的关系.

设计意图：本环节教学的目的是进一步巩固和理解前面所建构的知识和方法，在问题1的基础上，为学生呈现一些多维度的递进式的探究问题，通过待定系数法求函数解析式，利用函数图象确定二元一次方程组的解以及求一元一次不等式（组）的解集.教师将相关知识贯穿在一起，从知识、方法、策略三个维度层层递进，让学生比较分析，加深对知识的理解，从而建立数形之间的联系，领悟“从形到数，以形解数”的数形结合思想.

问题3 如图3，将直线l2向上平移使之经过（0，1）这个点.

（1）求平移后的直线l3的解析式;

（2）求l3与l1的交点坐标.

教学简述：第（1）问通过平移直线过一点求解析式，理解k的几何意义和直线上点的坐标的意义，是利用两点求解析式方法的升级，落实本节课“根据条件求函数解析式”的教学目标.在解决第（1）问时，还可以追问有没有其他方法求解析式，引导学生通过平移来求解析式，求出l2与y轴的交点坐标，发现对应点的平移规律，得到l3是由l2向上平移4个单位长度得到的，通过“一题多解”拓宽学生思维，对知识达到更深层次的理解.第（2）问是求交点坐标，交点坐标就是联立函数解析式所得方程组的公共解，训练学生“以数解形”的方法.

设计意图：求函数解析式是函数中常见的问题，通过问题（1）中利用多种方法求函数解析式，促使学生多维度思考解题策略，从而加深对一次函数图象及其性质的理解，并从知识、方法、策略三个层面进行提炼，上升到更高的思维层次，进一步明确求函数解析式所需要的条件和方法，培养学生思维的灵活性和深刻性，使不同的学生得到不同的发展.问题3第（2）问与问题2中第（2）问相呼应，进一步加深对两直线交点坐标与联立两函数解析式所得方程组解的对应关系的理解，从“以形解数”过渡到“以数解形”.

问题4 直线l4：y4=3/2x+m与l1交于点F，当点F在第一象限内时，求m的取值范围.

教学简述：教学本题时，教师可以通过问题驱动引发学生思考.

（1）对于y4的表达式，已知什么，未知什么？

（2）k，b分别决定什么？

（3）你能画出它的图象吗？（图象是运动的，是由y=32x的图象上下平移得到的.）

（4）可以用什么方法解决？（以形解数，数形结合.）

（5）本题有其他解法吗？（以数解数，联立得方程组，用m表示方程组的解，根据x，y均为正，得到m的不等式组求解.）

（6）本题运用了哪些知识点和思想方法？

设计意图：函数的含参问题对于现阶段的学生有一定的难度，在问题3中掌握了平移及k，b的意义的基础上，也降低了难度，本题是这个知识点的再应用和提升.教师通过问题串引发学生思考，最后借助两种解法让学生体会利用函数求解更加形象直观，有时更加简便，感悟数形结合的魅力.

问题5 如图4，l1，l2分别与x轴交于A，B两点，点M是直线l2上一个动点，过点M作x轴的垂线，交l1于点N.

（1）当MN=AB时，求点M的坐标；

（2）设点M的横坐标为x，求MN的长度关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

教学简述：在分析已知条件和所求问题的基础上，教师提出如下问题.

①AB的长度能否求？（介绍利用坐标求“直线段”长度，为接下来表示MN的长度提供知识基础.）

②点M在直线l2上移动时，线段MN如何变化？（用几何画板演示动画过程.）

③如何求点M的坐标？运用什么模型解决？（方程模型，引导学生巧设元，建立相等关系.）

④如何表示线段MN的长度？〔引导学生分类讨论：当点M在交点P右边（含交点）时，此时点M在点N上方，MN=yM-yN;当点M在交点P左边时，此时点N在点M上方，MN=yN-yM.或者直接表示为MN=|yM-yN|.〕

⑤问题③与④有何联系？

设计意图：将点的坐标、线段长度与一次函数相结合，是一次函数应用的疑难问题，教师通过四个从简单到复杂的递进式提问，在知识的生长中逐步发展学生的思维，帮助学生构建全面的知识网络.问题5由静态问题生成动态问题，应用方程、函数模型解决实际问题，从“形”到“数”，将思维引向深入，逐步培养学生建立函数建模的能力，形成数形结合思想和分类讨论思想.

1.3 总结归纳，整体建构

问题6 回忆本节课的学习过程.

问题7 描述本章的知识脉络.

问题8 本节课运用了哪些思想和方法？

问题9 你认为研究函数的一般路径和方法是什么？

教学简述：教师通过回忆学习过程、厘清知识结构、总结思想方法、形成研究路径和方法四个方面，引导学生交流反思，在反思中积累一般活动经验，通过反思总结形成知识、方法的结构化，最终形成可持续发展的能力.

设计意图：在数学单元复习课的反思环节，学生不仅要有知识、技能和方法的提升，还要有对知识本质的把握和运用的飞跃.反思时，教师要站在系统的高度对知识进行重构，关注知识与能力方法的延伸性，将本节课的复习置于一个对教材整体把握的地位，体会本阶段复习对后续学习的价值，将线索延伸下去.

2 教学思考

2.1 重构知识网络，明确结构化学习的认知空间

单元复习要立足单元，研读课标，解读教材.明确课标对本单元的内容要求，要着眼于数学知识的整体建构，将“零碎的知识”纳入到“单元”之中，分析课时内容与本单元、同主题、学科外相关领域内容的关联，理解知识点、单元、大概念横向和纵向的关联，以大概念为统领建构知识结构网，明确结构化学习的认知空间.构建一次函数单元复习的知识结构化路径可以做好以下两个方面：

（1）学习路径的结构化

一次函数单元学习路径：实际问题—函数概念—一次函数的概念—一次函数的图象及性质—一次函数与方程、不等式的关联—一次函数的应用.

（2）知识内容的结构化

函数的研究内容：函数的定义；函数的图象及性质；函数与方程、不等式的关联；函数的应用.

2.2 设计典型问题，实现结构化学习自我建构

问题是教学的起点，设计好的问题，将学习任务问题化是提高单元复习效能的有效手段[3].典型问题的选取和整合是此类单元复习具有挑战性的任务之一，在明晰了单元知识结构的基础上，还要关注学情，分析研判学生在学习过程中存在的难点、困惑点和易错点，找到复习学习的真实起点.典型问题的设计应基于数学知识结构上的联系，设计有层次性、可拓展、可变式、可持续的问题系统贯穿整个学习过程，形成研究序列.通过典型问题层级任务驱动，将碎片化的知识串联成线，以实现知识点到知识结构再到思想方法的融合，实现知识结构化到认知结构化的自我建构.本课中，通过一个开放性问题梳理本单元的知识联系，引出本章的知识结构图.在此基础上，引入另一条直线，涉及待定系数法、数形结合法将三个“一次”的关系紧密联系起来.问题3和问题4，化静为动，平移直线l2使之经过定点来求解析式，以及求与l1交点在第一象限时系数的范围，通过多解归一，深刻理解k，b的意义；问题5设置有一定挑战性的问题，求线段长度的表达式，具有一定的深度和广度，使学生在经历探究、交流、质疑等一系列的思维活动中，体会知识的横向和纵向联系，发展思维.

2.3 提炼思想方法，发展结构化思维

“从知识结构化到认知结构化的进阶”是知识表层上升到学科本质，是学科知识上升到素养的必经阶段，伴随着思维结构化的发展.在具体的实施过程中，通过典型问题“结构化组织”系列学习活动，引导学生将知识点进行横纵向联系，形成知识结构，并适时梳理、归纳知识形成过程和数学思想方法，使思想方法得到内化，促进“点（知识点）、线（知识结构）、法（思想方法）”的融合，发展结构化思维[4].本课中，在总结提升阶段，主要围绕回顾学习历程，总结思想方法及函数的研究路径和研究方法结构化来归纳，形成解决问题的一般性方法，发展高阶思维.

（1）知识方法结构化

“一次函数”单元复习知识方法结构化如表1：

（2）研究方法结构化

实际问题→函数概念：利用抽象归纳的方法得到函数的概念；

函数→一次函数：从一般到特殊；

一次函数图象→性质：先研究正比例函数的图象及性质，由简单到复杂，数形结合得到一次函数的性质；

一次函数性质→应用：函数建模、数形结合、化归思想、方程思想等.

3 结语

单元复习课要关注数学学科的整体系统性、结构关联性，通过典型问题的整合设计、层级任务的驱动，引领学生经历整体关联的结构化学习活动，自主建构知识结构体系，促进结构化思维的发展，提升核心素养，培养关键能力.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]胡连成.“情境—问题—思维”视角下的问题链教学[J].中学教研（数学），2023（3）：1-5.

[3]薛莺.知识建构：由任务转向问题——以“圆”单元后建构复习课的问题链设计为例[J].中国数学教育，2023（7）：61-64.

[4]程龙军，汪诗超.基于问题驱动的“随机事件的概率”单元复习教学设计[J].数学通讯，2022（21）：8-11，36.