2024年高考数学新课标Ⅰ卷第15题多解探索及教学思考

摘要：解三角形问题作为高中数学中的重要内容，不仅考查学生的基础知识掌握情况，还考验其运算求解能力、逻辑推理能力和创新思维.本文中基于2024年高考新课标Ⅰ卷第15题，深入分析该题目的多种解法，探讨如何在教学过程中有效提升学生的解三角形能力，并提出了相应的教学策略.

关键词：高考数学；一题多解；解三角形问题

解三角形问题广泛出现在中学数学教材中，尤其是三角函数、正弦定理和余弦定理等章节.这类问题不仅有助于学生理解三角形的基本性质，还能培养其空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力.2024年高考新课标Ⅰ卷第15题便是一个典型的解三角形问题，它考查学生对正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式等知识点的综合应用，本题可以提供多种解法路径，具有较高的教学价值.

1 真题呈现

（2024年高考新课标Ⅰ卷第15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2－c2=2ab.

（1）求B；

（2）若△ABC的面积为3+3，求c.

2 解法分析

2.1 第（1）问的解析

解：由余弦定理，得cos C=a2+b2－c22ab=22.

因为0＜C＜π，所以C=π4.

结合sin C=2cos B，则有

cos B=12.

又0＜B＜π，所以B=π3.

2.2 第（2）问的解析

解法1：由（1）可知B=π3，C=π4，则A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.在△ABC中，由正弦定理，得b=2Rsin B，c=2Rsin C，则S△ABC=12bcsin A=12×2Rsin B×2Rsin C×sin A=3+3，解得R=2，所以c=2Rsin C=22.

评析：该解题思路的核心在于巧妙将外接圆半径作为桥梁来求解问题.

图1

解法2：如图1所示，过点A作AD⊥BC于点D.

在Rt△ABD中，AB=c，B=π3，则BD=12c，AD=32c.在Rt△ACD中，c=π4，则CD=AD=32c.

故S△ABC=12AD·BC=12×32c12c+32c=3+3.

所以c2=8，解得c=22.

评析：该解题思路新颖且直观，核心是采用平面几何的基本原理进行求解.

解法3：由（1）可知B=π3，C=π4，则A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.由面积计算公式得S△ABC=12absin C=3+3，则ab=62+26.由正弦定理得absin Asin B=c2222，解得c2=8，即c=22.

评析：该解题思路的核心在于巧妙将ab的值作为桥梁来求解问题.

解法4：由（1）可知B=π3，C=π4，则A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.由面积计算公式得S△ABC=12absin C=3+3，则ab=62+26.由正弦定理，得a=csin C·sin A=3+12c.同理得b=62c.将a=3+12c，b=62c代入a2+b2－c2=2ab，可得3+12c2+62c2－c2=2（62+26），即c2=8，故c=22.

评析：该解题思路运用了正弦定理将a，b的值表示为关于c的式子，然后结合题目所给的a，b，c的关系式，构建了一个关于c的方程，并据此解出c的具体数值.

解法5：由（1）可知B=π3，C=π4，则A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.由面积计算公式得S△ABC=12absin C=3+3，则ab=62+26.在△ABC中，根据正弦定理asin A=bsin B=csin C，可得a=csin Asin C=3+12c，b=csin Bsin C=62c.由ab=62+26，得3+12c×62c=62+26，解得c=22.

评析：解法5和解法4的不同点在于最后将用c表达的a，b的值代入ab=62+26中求解出c的具体数值.

解法6：由（1）可知B=π3，C=π4，则A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.而△ABC的面积S△ABC=12absin C=12acsin B=12bcsin A=3+3，则ab=26+62，bc=46，ac=43+4，解得c=22.

评析：该解题策略独辟蹊径，巧妙地采用了三角形面积计算公式的三种等价形式作为解题的钥匙.

解法7：由（1）可知B=π3，C=π4，则A=5π12，所以sin A=sinπ3+π4=6+24.由△ABC的面积S△ABC=12acsin B=3+3，得ac=43+4.由正弦定理得asin A=csin C，则a=3+12c.所以3+12c2=43+4，解得c=22.

评析：本策略与解法6呈现出高度的相似性，值得注意的是，解法7在构建方程组的策略上更精妙，解题过程也因而更简洁与高效.

3 教学思考

3.1 深耕基础知识体系

在解三角形的教学实践中，对基础知识的牢固掌握是解决问题的核心.这涵盖了正弦定理、余弦定理、三角恒等变换及三角形面积公式等核心内容.教师应当将这些基础知识视为教学的基石.

3.2 强化基本能力训练

运算求解与逻辑推理，作为解三角形问题不可或缺的基本能力，其培养应贯穿于整个教学过程.

3.3 融合平面几何思想

平面几何不仅是数学的重要分支，也是解决解三角形问题的有力工具.教师应积极引导学生利用作图、转化等方法，将复杂的数学问题转化为直观的几何图形问题，以此简化解题过程，培养学生的空间想象与直观感知能力.

3.4 倡导解题方法多元化

解三角形问题解法的多样性，不仅体现了数学问题的丰富性，也为学生提供了探索与创新的空间.教学中，教师应鼓励学生勇于尝试不同的解题思路与方法，通过对比分析，理解各种解法的优缺点及适用情境.同时，通过提问、讨论等互动方式，激发学生的探究欲望，培养其独立思考与解决问题的能力.

3.5 优化练习设计以巩固提升

练习是检验教学效果、巩固知识与提升能力的关键环节.在解三角形的教学中，教师应精心设计练习题目，确保题目类型多样、难度适中、梯度合理.

解三角形问题是高中数学中的重要内容之一.在教学过程中，教师应注重抓住基础知识、强化基本能力、善用平面几何、注重方法多样性、加强练习与巩固等方面的工作，以帮助学生更好地掌握解三角形问题的知识和技能并提高其综合素质和能力水平［1］.

参考文献：

［1］卓晓萍，蔡海涛.多视角剖析一道2021年高考解三角形问题［J］.中学数学月刊，2021（9）：9-11.