如何求非特殊锐角三角函数值

摘要：在初中阶段，求锐角三角函数值大体有两种，一种是求特殊锐角的三角函数值，另一种是非特殊锐角的三角函数值.前者在教材中已有体现且难度较小，后者尚未体现，但也时常考查，且具有一定难度.因此，本文中结合相关例题探究非特殊锐角三角函数值的求法.

关键词：直角三角形；非特殊；锐角；三角函数；转化思想

初中阶段的学生只要求掌握特殊角的三角函数值的求法，对非特殊锐角的三角函数值的求法并未做要求.但是，在平时练习或检测中，一些题目要求非特殊锐角的三角函数值，这让数学思维本已形成定势的学生难以应对.基于此，本文中尝试分析与探究非特殊锐角三角函数值的求法.

1 疑难呈现

（2018·贵阳）如图1，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（" ）.

A.12

B.1

C.33

D.3

本题作为一道中考题，难度适中，考查了锐角三角函数.但其中的问题是，∠BAC并非在直角三角形中.

在教材中只涉及到特殊角的锐角三角函数值的求法，对这类非特殊锐角三角函数并未介绍[1].因此，对于思路不够灵活、不具备发散思维能力的学生而言，要想解决该题具有较大困难.

2 思路探析

如上题，若学生遇到非特殊锐角三角函数这类问题时，该如何解决呢？下面进行思路探析.

首先，明确命题意图.该题的考点是锐角三角函数，通过本题可考查学生对该知识点的掌握情况，而且学生是否能应用所学知识解决实际问题也能在解决该问题中得到体现.

其次，明确使用前提.既然考查的是锐角三角函数，而锐角三角函数的概念是在直角三角形中提出的，所以和锐角三角函数有关的问题通常与直角三角形有关.

最后，找到突破口.既然求tan∠BAC的值与直角三角形有关，而AB和AC无法构造所需的图形，那么这一矛盾势必会指引解题者尝试构造一个直角三角形.此时，就不难发现构造直角三角形便可将此题解决.但是，如何才能构造出所需的直角三角形呢？笔者提供了两个思路供学生参考：

思路一：过点C作AB的垂线.

该思路经过学生尝试后发现，原来只需将BC连接（如图2）即可，因为可证得∠ABC=90°.如此一来，只需在Rt△ABC中求出tan∠BAC的值.

思路二：过点B作AC的垂线.

该思路经过学生另一番尝试后发现，所作垂线与AC的交点不在格点上，所以有关线段长度的确定难度非常大.

学生经过充分讨论，最后采用了如图2所示的解题方法.具体解题过程如下：

解：连接BC，易证得△ABC是直角三角形.

因为每个小正方形的边长为1，所以

根据勾股定理易得AB=BC=5.

所以tan∠BAC=BCAB=55=1.

故选：B.

3 变式多解

求非特殊锐角三角函数值的方法，除本文上述中的构造直角三角形之外，还有利用转化思想，将原本不在直角三角形中的角转换至直角三角形中，这里往往需要证明三角形全等或利用等腰三角形.如下面这道变式题：

如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，连接CD.若BC=4，CD=3，则cos∠DCB的值为.

分析：∠DCB不在直角三角形中，所以可将之转换至直角三角形中，再求其余弦值.这样一来，可过点D构造出一个直角三角形.同时，认真审题后不难发现，△BDC是等腰三角形，可利用其性质将∠DCB转换至∠B.而∠B在Rt△ABC中，易得其余弦值，于是可间接求出cos∠DCB.

解法一：∵∠ACB=90°，且D为AB边的中点，

∴AD=BD=CD.

∴∠DCB=∠B.

∵CD=3，

∴AB=2CD=6.

∵BC=4，

∴在Rt△ABC中，cos B=BCAB=23.

∴cos∠DCB=23.

解法二：如图4所示，过点D作BC的垂线，垂足为M.

∵∠ACB=90°，且D为AB边的中点，

∴AD=BD=CD.

∴△BDC为等腰三角形.

∵DM⊥BC，

∴BM=CM.

∵BC=4，

∴CM=2.

∴在Rt△DMC中，cos∠DCM=MCDC=23.

∴cos∠DCB=23.

4 方法总结

综上所述，求非特殊锐角三角函数值的方法一般有如下两种.

（1）构造直角三角形

这种方法就是将锐角放入某个直角三角形中，直接求出其三角函数值.如本文的疑难问题及变式题的解法二，都是采用了借助辅助线构造直角三角形的方法.

在利用这种方法求非特殊锐角三角函数值时，应注意以下两个问题：

首先，作辅助线构造直角三角形的方法非常多，至于作哪条辅助线可构造出所需的直角三角形，则需不断尝试.如本文疑难问题的思路二“过点B作AC的垂线”，虽然可构造出直角三角形，且∠BAC也在其中，但这样的直角三角形各边长度极难确定.所以，在解题时不妨多尝试几种作辅助线构造直角三角形的方法.

其次，在构造出所需的直角三角形后，应审清题意，特别要注意边之比是否正确.

（2）将角转换

这种方法就是将一个角转换至另一个角，转换的方式也非常多，如本文变式题中利用等腰三角形实现了这一点.除此之外，还有以下几种方法可将角转换：

第一，利用全等.

如果有两个三角形全等，那么可根据“对应角相等”将角转换.如在证明△ABC≌△DEF后，可得到∠B=∠E，那么cos B=cos E.这种方法需先证明两个三角形全等，而如何在错综复杂的图形中找到两个全等的三角形，对学生确实构成了不小挑战.

第二，利用平行.

如果两直线平行，那么同位角相等、内错角相等.所以，可利用平行先得到两角相等，然后求出其中一个角的三角函数值，就得到了与之相等的角的三角函数值.这一方法主要是利用等量代换，需注意的是，切勿将平行线的性质和判定定理混用.

第三，利用相似.

如果证明了两个三角形是相似三角形，那么可利用“对应角相等”将角转换.如证明△ABC∽△DEF后，可得到∠B=∠E，那么cos B=cos E.相对而言，寻找全等三角形比较容易，而证明两个三角形相似比较困难，因为全等的两个三角形其形状相同、大小相同，而相似的两个三角形则大小不同，学生一般极难区分.

总之，解决问题的思路往往多种多样，学生是否具备灵活解题的能力是教师应在课堂教学中着重关注的问题.如果能帮助学生突破思维局限，让学生找到更多、更好的解题方法，那么对学生核心素养的进一步形成与发展将会产生影响[2].

参考文献：

[1]王云峰.网格中锐角三角函数值的求解策略[J].中小学数学（初中版），2016（Z1）：91-93.

[2]吴慧琳.网格中求锐角三角函数值方法感悟[J].数学学习与研究，2017（19）：141.