二次函数图象与系数的关系问题探究

摘要：根据二次函数图象判断有关系数或代数式的符号问题，是初中数学的重要题型，也是最近几年中考的热点，考查数形结合这一重要数学思想.这种思想贯穿于数学知识之中，在中考中占有重要的地位，判断二次函数系数符号正负问题要熟练掌握并灵活运用数与形之间的的巧妙转换技巧.

关键词：二次函数系数；图象；解题技巧

1 利用二次函数系数符号研究函数性质

对于利用二次函数的系数来研究函数图象的问题，首先要根据题意判断三个系数的符号，然后将题目中所要研究的有关对称轴、函数值大小等问题等价转化为这三个系数表示的代数式，借助系数符号判断所要研究的函数的有关性质正确与否［1］.

例1 抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，clt;0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3.下列四个结论正确的是（" ）.

A.blt;0

B.4ac－b2lt;4a

C.当n=3时，若点（2，t）在该抛物线上，则tgt;1

D.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0lt;m≤13

解：图象经过点（1，1），由clt;0，知抛物线与y轴的负半轴有交点.如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在点（1，0）的左侧.

又因为抛物线经过点（n，0），且n≥3，所以

抛物线与x轴的一个交点一定在点（3，0）处或在点（3，0）的右侧.

所以，抛物线的开口一定向下，即alt;0.

把点（1，1）代入y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，即b=1－a－c.

由alt;0，clt;0，可知

bgt;0.

故选项A错误.

由alt;0，bgt;0，clt;0，可知

cagt;0.

所以方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，即mngt;0.

又n≥3，所以

mgt;0.

所以m+n2gt;1.5.

所以，抛物线的对称轴在直线x=32的右侧.

所以，抛物线的顶点在点（1，1）的右侧.

所以4ac－b24agt;1.

又4alt;0，所以

4ac－b2lt;4a.

故选项B正确.

因为抛物线的对称轴在直线x=32的右侧，所以点

（1，1）到对称轴的距离大于点（2，t）到对称轴的距离.

结合图形可知，距离抛物线对称轴越近的点其对应的函数值越大，则

tgt;1.

故选项C正确.

方程ax2+bx+c=x可变为ax2+（b－1）x+c=0.

由该方程有两个相等的实数解，得Δ=（b－1）2－4ac=0.

又1－b=a+c，则（a+c）2－4ac=0，即（a－c）2=0，

于是a－c=0，即a=c.

因为（m，0），（n，0）在抛物线上，所以

m，n为方程ax2+bx+c=0的两个根.

于是可得mn=ca=1，则n=1m.

又n≥3，则1m≥3，解得

0lt;m≤13.

故选项D正确.

综上所述，正确答案为选项BCD.

点评：本题主要考查抛物线上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程根的判别式等，解决的核心就是利用数形结合思想、待定系数法、数形结合法、二次函数与一元二次方程的联系，考查学生的数学运算等核心素养.

2 利用二次函数图象研究代数式符号

根据二次函数的图象判断有关代数式的符号问题，关键就是要明确抛物线的开口方向、对称轴的位置是在y轴的左侧还是右侧，以及抛物线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴还是负半轴等.

例2 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，有下列结论：

①abclt;0；②b2－4aclt;0；③2agt;b；④（a+c）2lt;b2；⑤一元二次方程ax2+bx+c－2=0有两个不相等的实数根；⑥当x1lt;x2lt;0时，y1lt;y2.其中正确的有（" ）.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解：由函数图象的开口向下，得alt;0.由函数图象与y轴的正半轴相交，得cgt;0.由对称轴x=－b2alt;0，得blt;0.所以abcgt;0，故①错误.

由图可知，抛物线与x轴有两个交点，所以

Δ=b2－4acgt;0，故②错误.

由对称轴x=－b2agt;－1，得bgt;2a，故③错误.

由图可知：当x=－1时，ygt;0，则a－b+cgt;0，即（a+c）－bgt;0;当x=1时，ylt;0，则

a+b+clt;0，即（a+c）+blt;0.

所以［（a+c）+b］［（a+c）－b］lt;0.

所以（a+c）2－b2lt;0.

所以（a+c）2lt;b2，故④正确.

而ax2+bx+c－2=0即ax2+bx+c=2，由图可知此方程没有实数根，故⑤错误.

由图可知，当x1lt;x2lt;0时，y1lt;y2或y1gt;y2，

故⑥错误.

故选答案：A.

点评：根据二次函数的图象判断代数式的符号问题时，要认真研究图形的特点和特殊点，从中获得判断符号正负的核心信息.对于比较困难的代数式符号问题，要仔细审核题目给出的隐藏信息，可以考虑根据某些等式进行相互之间的关联分析，或许可以迅速解决问题.

3 利用二次函数系数不等式研究图象

利用二次函数的有关系数不等式来研究二次函数图象，在解决问题时，注意使用数形结合思想，将有关的“形与数”有机结合，找到它们之间的联系，特别要注意图象的开口方向、关键点的坐标，以及各项系数与图象的对应关系等.

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），给出下列结论：①abclt;0；②方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），32，y2是抛物线上的两点，则y1lt;y2；④6a+2cgt;0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b.该二次函数图象的对称轴是直线x=1，根据该函数的图象（如图2），上述结论正确的是.

解：因为抛物线开口向上，所以

agt;0.

由二次函数图象与y轴的交点在负半轴，得clt;0.

由对称轴在y轴的右侧，可知-b2agt;0.又agt;0，

所以blt;0，则abcgt;0，故①错误.

设抛物线与x轴负半轴的交点横坐标为x1，与x轴另一交点横坐标为x2，由对称轴是直线x=1，

得x2－1=1－x1.由图得－1lt;x1lt;0，则1lt;1－x1lt;2，可得2lt;x2lt;3，故②正确.

由对称轴是直线x=1，得1－0gt;32－1，又agt;0，所以y1gt;y2，故③错误.

由对称轴是直线x=1，得－b2a=1，

则b=－2a.由图知当x=－1时，ygt;0，

即a－b+cgt;0，所以a－（－2a）+cgt;0，即

3a+cgt;0，则6a+2cgt;0，故④正确.

由对称轴是直线x=1及agt;0，得

ymin=a+b+c.当x=m时，y=am2+bm+c，

则am2+bm+c≥a+b+c，即m（am+b）≥a+b，

故⑤正确，符合题意.

综上所述，正确答案为②④⑤.

点评：本题考查二次函数图象与系数的关系，解决问题时要注意利用抛物线的开口方向、对称轴方程，以及抛物线与直线的交点个数进行推理，针对每个选项进行认真剖析和判断.另外，要注意数形结合思想的巧妙运用.

综上所述，二次函数系数与图象之间的内在联系问题，是中考的热点和难点，涉及的知识点比较多，解决的方法比较灵活，且这类问题往往比较全面地考查学生对于二次函数知识点的掌握情况，学生需要熟练掌握二次函数解析式中系数a，b，c分别代表的含义，将其与二次函数图象联系起来.另外，要牢牢抓住二次函数三个系数的各种内在联系及有关性质，如此才可以有通透的理解，提升数学核心素养［2］.

参考文献：

[1]陈小菊.深度探究参数 促进思维生长——以“二次函数中二次项系数a的再探究”为例[J].初中数学教与学，2023（20）：20-22.

[2]曹瑾.中考数学二次函数压轴题常见题型及解题策略[J].数理天地（初中版），2024（5）：50-52.