基于核心素养的高中数学探究性作业设计实践

摘"要"基于核心素养的探究性作业注重基础知识的巩固和基本思想方法的应用，引导学生从不同角度进行思考、探究、发散思维、拓展思维，更好地落实数学核心素养.基于对新课程改革的理解，本文以“直线的方程”探究性作业为载体分享实践过程与心得，旨在倡导数学教师精心设计探究性作业，落实核心素养.

关键词"核心素养；探究性作业；作业设计；直线方程

《普通高中数学课程标准》（2017 年版 2020 年修订）（以下简称为课标）对高中毕业数学学业水平考试、数学高考试题的命题提出了要设置“开放性问题”和“探究性问题”的建议.《中国高考评价体系》指出高考命题时要注重试题的创新性、多样性和选择性，具备一定的探究性、开放性和应用性，落实学科核心素养.基于此，教师要在平时的课堂教学中设置探究性学习环节，要科学设置一些探究性作业，调动学生的探究热情，引导学生从不同角度进行思考探究，发散思维，拓展思维，扎实地落实数学核心素养.本文将通过人教A版选择性必修一（以下简称为教材）第二单元《直线的方程》的探究性作业设计实践，谈谈个人的体会.

1.探究性作业设计实践

1.1"课标及教材分析

直线方程是直角坐标系中直线的代数表示，是确定直线位置几何要素的完全代数刻画.直线方程的建立过程本质上是将确定直线的几何要素（点与方向）代数化的过程.教材主要介绍了由直线上的一个点与倾斜角或者直线的两个点来求出直线方程，从而直线方程有：点斜式、斜截式、两点式、截距式，进一步把四种方程形式统一起来，推出直线方程的一般形式.

对于本单元的内容，课标要求：“根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）”.而在《空间向量与立体几何》的“教学提示”中，课标是这样表述的：“鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合几何方法，从不同角度解决立体几何问题（如距离问题），通过对比体会向量方法的优势”［1］；并且教材第二章《直线和圆的方程》中，几处用向量法进行探讨，第一节《倾斜角与斜率》（教材52、54页）用到直线的方向向量，《探索与发现》的标题是《方向向量与直线的参数方程》（教材68、69页）、平行四边形中一个定理的证明（74页）、点到直线的距离公式的推导（教材76页），还有一些相关内容以练习或者习题的形式出现，不一一赘述.

从此可知，虽然课标只是要求“探索并掌握”直线方程的几种形式，但事实上确定直线位置的几何要素除了直线上的点、倾斜角之外，还有直线的方向向量、法向量.从向量的角度认识直线的方程，能丰富学生对直线方程的深度理解，而且从向量的应用方面、知识探究的角度来看，适当运用向量研究直线的方程，一方面可以从深度“探索并掌握”直线方程的其他形式，另一方面也可把向量的运用拓宽到更大的面，这对于拓展学生思维、提升学科核心素养帮助有很大.

1.2"学情分析

在学习本单元内容之前，学生已经学习了空间向量，熟悉了直线的方向向量、平面的法向量等概念，在前一个单元的倾斜角与斜率中，再次接触到直线的方向向量的坐标表示.本单元第1课时的主要内容是根据给定的条件求直线方程，课堂上围绕直线上的点和倾斜角或者直线上的两点求直线方程，使学生熟悉用代数的方法表示直线的几何要素.

1.3"探究性作业目标分析

通过对课标及教材的分析可确定探究性作业目标为：学生巩固直线点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的推导，经历自主探究建立直线的点向式方程、点法式方程的过程，并拓展到空间中的直线的点向式方程、平面的点法式方程，体会从平面到空间的类比过程，培养化归与转化、类比，发展推理论证、运算求解的能力.

1.4"探究性作业内容设计

1.4.1"结构设计

本单元的作业设计有两个部分——课时作业和探究性作业.课时作业主要用于巩固学生当天所学，会利用给定的条件求出直线的方程——点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，侧重于知识的巩固和基础应用层面，用于基础知识、基本技能的考察；探究性作业用于延续课堂内推导直线方程的思想，并从向量的角度研究直线方程，侧重于数学思想方法的应用，重视基本思想、基本活动经验的考查，两者可以互为补充.

本设计从第1、第2两道课本原题开始，引导学生思考并发现直线的方向向量和法向量藏在直线的方程之中，从基础出发，让学生容易入手；在前面的铺垫下，利用第3、第4题即直线的点向式、点法式方程，引导学生理解课堂学习直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、两点式方程名字的由来；第5题也是课本原题，将研究的内容从平面推广到空间，充分运用类比的思想；第6、第7题从课本的“探究与发现”的阅读材料入手，由浅入深，帮助学生轻松掌握直线的参数方程，拓展学生的认知和思想.

1.4.2"内容呈现

第1题"教材原题（教材67页习题2.2第11题）：设点P0（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，求证：这条直线的方程还可以写成A（x－x0）+B（y－y0）+C=0.

第2题"教材原题（教材102页复习参考题第1题）：直线3x+2y－1=0的一个方向向量是（"）.

A.（2，－3）""""B.（2，3）

C.（－3，2）"""""D.（3，2）

第3题"在平面直角坐标系中，已知直线l过点P0（x0，y0），非零向量n→=（A，B）是它的法向量，设P（x，y）是直线l上的任意一点，则点P（x，y）在直线l上的充要条件是______，x，y所满足的方程是______，此方程是由直线l上一点P0（x0，y0），直线l的法向量n→=（A，B）确定的，试着给该方程取名为______，我们学习过的直线方程中还有哪种方程的形式是这种类型？

第4题"在平面直角坐标系中，已知直线l过点P0（x0，y0），向量n→=（A，B）是它的方向向量（其中AB≠0），设P（x，y）是直线l上的任意一点，则点P（x，y）在直线l上的充要条件是______，x，y所满足的方程是______，此方程是由直线l上一点P0（x0，y0），直线l的方向向量n→=（A，B）确定的，试着给该直线方程取名为______，我们学习过的直线方程中还有哪种方程的形式是这种类型？

第5题"教材原题（教材44页习题4.4第17题）：在空间直角坐标系中，已知向量u→〖DD）〗=（a，b，c）（abc≠0）点P0（x0，y0，z0），P（x，y，z）.

（1）若直线l经过点P0，且u→〖DD）〗为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：〖SX（〗x－x0a=〖SX（〗y－y0〖〗b〖SX）〗=〖SX（〗z－z0〖〗c〖SX）〗；

（2）若平面α经过点P0，且u→〖DD）〗为方向向量，P是平面α内的任意一点，求证：a（x－x0）+b（y－y0）+c（z－z0）=0，试给这两个方程取个名字.

第6题"阅读教材68-69页“探究与发现”，了解《方向向量与直线的参数方程》的知识.

第7题"请把平面内直线l的参数方程{x=x0+at，y=y0+bt，（t是参数）化为第3题或者第4题类型的方程.

1.4.3"设计意图

本探究性作业设计着手于直线方程的各种不同形式，意图如下：

（1）源于课本，有机整合：从教材原题和“探究与发现”中的内容入手，进行有机整合，形成逻辑紧密的问题链，环环相扣、层层递进，提升学生的探究愿望和兴趣.

（2）凸显知识之间的联系：学生已经学习过的直线的方程形式中的点斜式、两点式、一般式，课本中提到的直线的参数方程，都与本设计中的点法式或者点向式方程紧密联系，让学生能够进行整合，丰富学生知识网络的连接点和互通性，将思维从“零散”转向“聚合”，有助于提升核心素养的水平.

（3）揭示直线的基本的要素：如果已知直线上的一个点和方向向量或者法法向量，直线即定，之前学习过的已知两点或者已知一点和斜率可以确定直线，丰富了学生对直线的认知.

（4）体现向量的工具作用：直线的方向向量、直线的法向量、平面的法向量都可以作为直线或者平面的一个已知条件，利用向量的共线或者垂直可以得出直线上或者平面内动点的坐标要满足的方程.利用好向量工具，对于后续判断平行垂直、定理证明、距离等问题的解决提供不同的视角.

（5）展示二维平面向三维空间扩展的过程：问题设计了平面内直线的方程、空间中直线的方程、空间中平面的方程，通过类比，学生参与到从二维平面到三维空间扩展的历程.

2.探究性作业设计反思

2.1"思想上要重视

培养科学探究精神是新课标倡导的重要理念.探究性作业的布置，能有效激发学生的学习兴趣，培养学生的探究热情，使学生养成良好的探究习惯.高中数学中涉及的公式、概念、定理比较多，学生只有对这些基础知识充分理解以及灵活运用，才能更好地学习更深层次的数学知识.所以教师需要结合学生的实际情况，设计针对性的练习题，促使学生探究性学习，提高综合能力.探究性习题的设置可以就某一个问题进行深入挖掘，探究出问题的各个方面，各种情形，使得对问题有一个更加全面、更加深入的了解，进而发现一类问题的内在联系及其内在规律，达到“见树木，更见森林”的境界.同时探究性习题的设置也可以是开放性的，包括条件开放型、结论开放型、策略开放型、实践型等几种形式［2］.

2.2"行动上要突破

认识到探究性作业的意义之后，我们就需要，在备课的过程中进行作业设计，组编一些高质量探究性作业，落实好数学核心素养.

高中数学的深度、广度决定了知识内容需不断拓展与更新，这也为探究性数学试题的命制提供了新的思路.例如可从内容入手，在量与质两方面聚焦不同知识的融合，给学生带来解决数学问题的新鲜感与愉悦感，重点考查学生对知识的综合学习能力与应用能力，彰显核心素养的培育目标［3］.同时也可挖掘教材的资源进行有机整合，拓展基础知识、基本思想在不同情境中的应用.总之，探究性作业必须从教学实际、学生学情与课程标准出发，结合高考要求，保证试题的科学性，凸显课程资源的整合性，同时能够对教师的教与学生的学起到一定的引导作用.

2.3"落实上要多样

学生作业的反馈和评价，教师可以采用多种方式，可以学生自己批改，更正纠错；可以同桌之间相互批改，相互讲解；也可以小组内批改，然后讨论交流；必要的时候教师挑选几个特别对象重点面改，当面解决疑惑；如果需要全面了解全班的作答情况，教师可以全批全改.批改之后，对于重点内容或者普遍掌握不够好的问题，可以在课堂上解决，也可以采用多种方式，比如，个别学生板演或讲解，小组展示，或教师讲解.总之，激发学习的兴趣和提升学科核心素养是作业设计的最终目的，落实到位也是关键一环.

3.结语

新修订的课程方案要求“坚持素养导向”，课程建设以培养学生的核心素养为方向、为目标，对数学高考试题的命题建议设置“开放性问题”和“探究性问题”.作为一线的高中数学教师，应深刻认识到探究性教学的重要性和必要性，认识到作业是保证课程改革成功的关键因素，是促进核心素养发展的重要手段，应深入作业设计研究.在课时作业中合理进行分层作业设计，安排一定比较的探究性作业，作为探究性教学的有效补充，提高学生对基础知识和基本思想方法的综合理解和运用，落实数学核心素养.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020：43-45.

［2］吴成强.高中数学作业设计减负增效实验研究［J］.高中数学·高中版，2012，（9）：51.

［3］凌娜. 基于数学核心素养的高中探究性试题的命制［J］.数学大世界，2022，（3）：10.